Методы оптимизации при решении уравнений

  • Вид работы:
    Контрольная работа
  • Предмет:
    Математика
  • Язык:
    Русский
    ,
    Формат файла:
    MS Word
    171,91 kb
  • Опубликовано:
    2010-03-31
Вы можете узнать стоимость помощи в написании студенческой работы.
Помощь в написании работы, которую точно примут!

Методы оптимизации при решении уравнений














Контрольная работа

«Методы оптимизации при решении уравнений»

Задание №1

Определить, существует ли кривая , доставляющая функционалу экстремум и, если существует, то найти ее уравнение.

Решение: Составим уравнение Эйлера и найдём его общее решение:



Используем краевые условия:


Решаем систему уравнений и получаем:


Таким образом, экстремаль имеет уравнение вида

Так как


то функционал на прямой  достигает минимума.

Задание №2

Найти, используя уравнение Эйлера-Лагранжа, оптимальное управление , минимизирующее функционал  для системы, описываемой уравнениями

,

при начальных и конечных условиях соответственно:


A

B

t0

tf

x0

xf

a

b

0 1

0 0

0

1

0

1

1

0

0

0

0

1

Решение

Формируем задачу по исходным данным:

                                 (1)

                                    (2)


Составим функцию Лагранжа и гамильтониан:


и соответственно уравнения Эйлера-Лагранжа (здесь для Н):

                                      (3)

                            (4)

Используя замену (3), подставим выражения (4) во второе уравнение динамики в (1):


и находим общее решение

                                       (5)

Подставим его в первое уравнение (1):


и находим общее решение:

                                            (6)

Для  из (6) и  из (5) используем начальные и конечные условия и получаем систему уравнений для констант С1, С2, С3, С4,:


Таким образом, решение имеет вид:


которое удовлетворяет начальным и конечным условиям.

 

Задание №3

Для системы, описываемой уравнениями

 

с заданными условиями на начальное  и конечное  значение координат, найти оптимальное управление , минимизирующее функционал

B

t0

tf

x0

xf

g0

a

b

0 1

0 0

0

1

0

t

1

0

x1(tf) = -tf2

 

0

0

1

Решение. Формулируем задачу по исходным данным

                                 (1)

                                        (2)

т.е. , подвижна на правом конце, координата  - свободна на правом конце,


Составим функцию Гамильтона Н (или функцию Лагранжа L)

                                        (3)

и соответствующие уравнения Эйлера-Лагранжа:

                                                 (4)

                     (5)

                                (6)

Составим вспомогательную функцию

,      

где . Таким образом:

.                                                 (7)

Поскольку  и  подвижны, то используем условия трансверсальности:


                                               (8)

                               (9)

Так как не фиксирован момент времени , то используем условие трансверсальности


Найдем значение  при  из (3), но учтем, что , а  из (9). Тогда, учитывая (4):


и используя (10) получим:

                                    (11)

Подставляя (4), (5) и (6) в (2), а потом в (1) и интегрируя получим:

                               (12),

                  (13)

Используя начальные условия, можем записать:


Запишем условие  с учетом (13). Тогда:

                                          (14)

Уравнения (9), (11) и (14) составляют систему уравнений с тремя неизвестными С1, С2 и :


Подставляя 1-е уравнение во 2-е, получим:

,

а подставляя 1-е в третье, получим:


Таким образом, решение имеет вид:


Задание №4

Используя метод динамического программирования найти оптимальное уравнение для системы


A

B

t0

tf

F

a

0 1

0 0

0

1

0

0

1 0

0 2

1

 

Решение:

Формируем задачу по исходным данным.

                       (1)

 – не ограничено, то есть .


Составим уравнение Беллмана с учетом того, что  (S-функция Беллмана)

                             (2)

                                    (3)

                                               (4)

Из (3) находим:

                                        (5)

Подставим (5) в (4)

                  (6)

Представим функцию Беллмана в виде квадратичной формы

                                    (7)

причем это должна быть положительно определенная квадратичная форма, а значит

                                              (8)

т.е. матрица должна быть положительно определённой.

Вычисляя выражения:

                                   (9)

подставим их в (6) и обратим коэффициенты при ,  и  в ноль, т.к. справа у нас ноль:


Отсюда:

                                    (10)

                        (11)

                           (12)

Если , то  Þ S < 0, что нельзя допустить. Тогда:

 

а следовательно а12 и а22 должны быть одного знака, так как а11 > 0.

Тогда а12 = 1/2, а22 = 1, а11 = 1. Таким образом, решение имеет вид (из (5) и (9)):

Задача 5

Используя принцип максимума Понтрягина найти оптимальное управление для линейной системы


в задаче:

А

В

t0

tf

х0

xf

|u|

0 1 0

0 0 1

0 0 0

0

0

1

0

1

0

0

0

x1®max

0

0

£1


Решение:

Формируем задачу по исходным данным:


  

                                         (4)

Составим функцию Гамильтона


Уравнения Эйлера-Лагранжа имеет вид:

                                      (5)

                                (6)

                         (7)

Поскольку  – подвижна, то используем условие трансверсальности:

 

Но из (5) видно, что y1 = С1Þ С1 = 1. Тогда из (7) видно, что y3 = t2/2-C2t+C3, - то есть это квадратичная парабола ветвями вверх, которая может дважды пересечь уровень y3 = 0 и возможных порядок следования интервалов знакопостоянства следующий: +, -, +.

Из принципа максимума следует:

,

а следовательно:


Тогда, поскольку y3 меняет знак дважды, (пусть в моменты t1 и t2) можем записать

                                                        (8)

Подставим  в (3) и получим, проинтегрировав уравнение (3)

                                   (9)

Используя начальные и конечные условия для х3 и условия непрерывности  в t1 и t2 получим:

                (10)

Подставим (9) и константы из (10) в (2) и проинтегрируем. Получим:

                              (11)

Используя начальные и конечные условия для х2 и условия непрерывности в t1 и t2, получим:


Используем непрерывность  при  и :

                  

           

Собрав уравнения (10) и полученное уравнение составим систему уравнений:

                            (12-14)

 
Подставив (12) в (13), получим уравнение

.

Подставим (13) в полученное уравнение (вместо ):


Тогда t1 из (12) равно


и, наконец,


Подставим (11), с учетом найденных констант в (1):

                               (15)

Исходя из начального условия и условия непрерывности получим:


Таким образом: моменты переключения: t1=1/4, t2=3/4, а  заданы уравнениями(15), (11), (9) и (8) с известными константами.

Задание №6

Установить управляемость и наблюдаемость линейной системы:


где

.

Решение:

Для оценки управляемости составим матрицу управляемости (учтем, что n=3);

         Y = (B, AB, A2B):                                                       


Таким образом

 

Взяв минор из 1,2 и 3 столбцов можно видеть, что

.

Следовательно, rang(Y)=3=n и система вполне управляема.

Для оценки наблюдаемости системы составим матрицу наблюдаемости (n=3):

H=(CT, ATCT, (AT)2 CT);


.

Таким образом


Взяв минор из 1, 2 и 3 столбцов можно видеть, что


Таким образом rang(H) = 3 = n, а следовательно система вполне наблюдаема.

Задание №7

Для линейной системы и квадратичного критерия


выполнить синтез оптимального управления с обратной связью

B

Q

R

0 1

1 0

1

0

1 0

0 0

1

 

Решение: Требуется выполнить синтез стационарного регулятора. Для этого воспользоваться алгебраическим матричным уравнением Риккати:


где

,

причем матрица l>0 (положительно определена).


Сравнивая коэффициенты матрицы слева и справа, стоящих на одинаковых местах получим систему уравнений:


Решая систему уравнений с учетом положительной определенности матрицы l, получим:


Тогда для уравнения, которое имеет вид


получим:

Похожие работы на - Методы оптимизации при решении уравнений

 

Не нашел материал для своей работы?
Поможем написать качественную работу
Без плагиата!