Методы оптимизации при решении уравнений
Контрольная
работа
«Методы
оптимизации при решении уравнений»
Задание №1
Определить, существует ли
кривая 
, доставляющая
функционалу экстремум и, если существует, то найти ее уравнение.
Решение: Составим уравнение Эйлера
и найдём его общее решение:
Используем краевые
условия:
Решаем систему уравнений
и получаем:
Таким образом, экстремаль
имеет уравнение вида
Так как
то функционал на прямой достигает минимума.
Задание №2
Найти, используя
уравнение Эйлера-Лагранжа, оптимальное управление 
, минимизирующее функционал 
для системы, описываемой уравнениями
,
при начальных и конечных
условиях соответственно:
|
A
|
B
|
t0
|
tf
|
x0
|
xf
|
a
|
b
|
|
0 1
0 0
|
0
1
|
0
|
1
|
1
0
|
0
0
|
0
|
1
|
Решение
Формируем задачу по
исходным данным:
(1)
(2)
Составим функцию Лагранжа
и гамильтониан:
и соответственно
уравнения Эйлера-Лагранжа (здесь для Н):
(3)
(4)
Используя замену (3),
подставим выражения (4) во второе уравнение динамики в (1):
и находим общее решение
(5)
Подставим его в первое
уравнение (1):
и находим общее решение:
(6)
Для 
из (6) и 
из (5) используем начальные и
конечные условия и получаем систему уравнений для констант С1, С2,
С3, С4,:
Таким образом, решение
имеет вид:
которое удовлетворяет
начальным и конечным условиям.
Задание №3
Для системы, описываемой
уравнениями
с заданными условиями на
начальное 
и конечное 
значение координат, найти
оптимальное управление ,
минимизирующее функционал
B
|
t0
|
tf
|
x0
|
xf
|
g0
|
a
|
b
|
|
0 1
0 0
|
0
1
|
0
|
t
|
1
0
|
x1(tf) = -tf2
|
0
|
0
|
1
|
Решение. Формулируем задачу по
исходным данным
(1)
(2)
т.е. 
, подвижна на правом
конце, координата 
-
свободна на правом конце,
Составим функцию
Гамильтона Н (или функцию Лагранжа L)
(3)
и соответствующие
уравнения Эйлера-Лагранжа:
(4)
(5)
(6)
Составим вспомогательную
функцию
,
где 
. Таким образом:
. (7)
Поскольку 
и 
подвижны, то используем условия
трансверсальности:
(8)
(9)
Так как не фиксирован
момент времени 
, то
используем условие трансверсальности
Найдем значение 
при 
из (3), но учтем, что 
, а 
из (9). Тогда, учитывая (4):
и используя (10) получим:
(11)
Подставляя (4), (5) и (6)
в (2), а потом в (1) и интегрируя получим:
(12),
(13)
Используя начальные
условия, можем записать:
Запишем условие 
с учетом (13). Тогда:
(14)
Уравнения (9), (11) и
(14) составляют систему уравнений с тремя неизвестными С1, С2
и 
:
Подставляя 1-е уравнение
во 2-е, получим:
,
а подставляя 1-е в
третье, получим:
Таким образом, решение
имеет вид:
Задание №4
Используя метод динамического
программирования найти оптимальное уравнение для системы
|
A
|
B
|
t0
|
tf
|
F
|
a
|
|
0 1
0 0
|
0
1
|
0
|
∞
|
0
|
1 0
0 2
|
1
|
Решение:
Формируем задачу по
исходным данным.
(1)
– не ограничено, то есть 
.
Составим уравнение
Беллмана с учетом того, что 
(S-функция Беллмана)
(2)
(3)
(4)
Из (3) находим:
(5)
Подставим (5) в (4)
(6)
Представим функцию
Беллмана в виде квадратичной формы
(7)
причем это должна быть
положительно определенная квадратичная форма, а значит
(8)
т.е. матрица должна быть
положительно определённой.
Вычисляя выражения:
(9)
подставим их в (6) и
обратим коэффициенты при 
,
и 
в ноль, т.к. справа у нас ноль:
Отсюда:
(10)
(11)
(12)
Если 
, то 
Þ S < 0, что нельзя допустить. Тогда:
а следовательно а12
и а22 должны быть одного знака, так как а11 > 0.
Тогда а12 =
1/2, а22 = 1, а11 = 1. Таким образом, решение имеет вид
(из (5) и (9)):
Задача 5
Используя принцип
максимума Понтрягина найти оптимальное управление для линейной системы
в задаче:
|
А
|
В
|
t0
|
tf
|
х0
|
xf
|
|u|
|
|
0 1 0
0 0 1
0 0 0
|
0
0
1
|
0
|
1
|
0
0
0
|
x1®max
0
0
|
£1
|
Решение:
Формируем задачу по исходным
данным:
(4)
Составим функцию
Гамильтона
Уравнения Эйлера-Лагранжа
имеет вид:
(5)
(6)
(7)
Поскольку 
– подвижна, то используем условие
трансверсальности:
Но из (5) видно, что y1 = С1Þ С1 = 1. Тогда
из (7) видно, что y3 = t2/2-C2t+C3,
- то есть это квадратичная парабола ветвями вверх, которая может дважды
пересечь уровень y3 = 0 и возможных порядок следования интервалов
знакопостоянства следующий: +, -, +.
Из принципа максимума
следует:
,
а следовательно:
Тогда, поскольку y3 меняет знак дважды,
(пусть в моменты t1 и t2) можем записать
(8)
Подставим 
в (3) и получим, проинтегрировав
уравнение (3)
(9)
Используя начальные и
конечные условия для х3 и условия непрерывности 
в t1 и t2 получим:
(10)
Подставим (9) и константы
из (10) в (2) и проинтегрируем. Получим:
(11)
Используя начальные и
конечные условия для х2 и условия непрерывности в t1 и t2,
получим:
Используем непрерывность 
при 
и 
:
Собрав уравнения (10) и
полученное уравнение составим систему уравнений:
(12-14)
Подставив (12) в (13), получим уравнение
.
Подставим (13) в
полученное уравнение (вместо 
):
Тогда t1 из
(12) равно
и, наконец,
Подставим (11), с учетом
найденных констант в (1):
(15)
Исходя из начального
условия и условия непрерывности получим:
Таким образом: моменты
переключения: t1=1/4, t2=3/4, а 
заданы уравнениями(15), (11), (9) и (8) с
известными константами.
Задание №6
Установить управляемость
и наблюдаемость линейной системы:
где
.
Решение:
Для оценки управляемости
составим матрицу управляемости (учтем, что n=3);
Y = (B, AB, A2B):
Таким образом
Взяв минор из 1,2 и 3 столбцов можно
видеть, что
.
Следовательно, rang(Y)=3=n
и система вполне управляема.
Для оценки наблюдаемости
системы составим матрицу наблюдаемости (n=3):
H=(CT, ATCT,
(AT)2 CT);
.
Таким образом
Взяв минор из 1, 2 и 3
столбцов можно видеть, что
Таким образом rang(H) = 3
= n, а следовательно система вполне наблюдаема.
Задание №7
Для линейной системы 
и квадратичного критерия
выполнить синтез
оптимального управления с обратной связью
B
|
Q
|
R
|
|
0 1
1 0
|
1
0
|
1 0
0 0
|
1
|
Решение: Требуется выполнить
синтез стационарного регулятора. Для этого воспользоваться алгебраическим матричным
уравнением Риккати:
где
,
причем матрица l>0 (положительно определена).
Сравнивая коэффициенты
матрицы слева и справа, стоящих на одинаковых местах получим систему уравнений:
Решая систему уравнений с учетом
положительной определенности матрицы l, получим:
Тогда для уравнения,
которое имеет вид
получим:
