Кривые второго порядка. Квадратичные формы
Высшая
математика
Кривые второго порядка
Квадратичные
формы
Содержание
1. Понятие квадратичной формы и способы ее записи
2. Знакоопределенность квадратичных форм
3. Критерии положительной и отрицательной определенностей
Литература
1. Понятие квадратичной
формы и способы ее записи
Квадратичной формой j (х1, х2, …, xn) n действительных переменных х1, х2, …, xn называется сумма вида
,(1)
где aij – некоторые числа, называемые
коэффициентами. Не ограничивая общности, можно считать, что aij = aji.
Квадратичная форма
называется действительной, если aij Î ГR. Матрицей квадратичной формы называется матрица, составленная из ее
коэффициентов. Квадратичной форме (1) соответствует единственная симметричная
матрица
то есть АТ =
А. Следовательно, квадратичная форма (1) может быть записана в матричном виде j (х) = хТАх, где
хТ = (х1
х2 … xn). (2)
И, наоборот, всякой
симметричной матрице (2) соответствует единственная квадратичная форма с
точностью до обозначения переменных.
Рангом квадратичной формы
называют ранг ее матрицы. Квадратичная форма называется невырожденной, если
невырожденной является ее матрица А. (напомним, что матрица А называется
невырожденной, если ее определитель не равен нулю). В противном случае
квадратичная форма является вырожденной.
Пример
1.
Записать матрицу
квадратичной формы
j (х1, х2, x3) = – 6х1х2
– 8х1х3 + + 4х2х3
–
Решение.
Þ r(A) = 3 Þ
квадратичная форма
невырождена.
2. Знакоопределенность
квадратичных форм
Квадратичная форма (1)
называется положительно определенной (или строго положительной), если j(х) > 0, для любого х = (х1,
х2, …, xn),
кроме х = (0, 0, …, 0).
Матрица А положительно определенной
квадратичной формы j(х)
также называется положительно определенной. Следовательно, положительно
определенной квадратичной форме соответствует единственная положительно
определенная матрица и наоборот.
Квадратичная форма (1)
называется отрицательно определенной (или строго отрицательной), если j(х) < 0, для любого х = (х1,
х2, …, xn),
кроме х = (0, 0, …, 0).
Аналогично как и
выше, матрица отрицательно определенной квадратичной формы также называется отрицательно определенной.
Следовательно,
положительно (отрицательно) определенная квадратичная форма j(х) достигает минимального
(максимального) значения j(х*)
= 0 при х* = (0, 0, …, 0).
Отметим, что большая
часть квадратичных форм не является знакоопределенными, то есть они не являются
ни положительными, ни отрицательными. Такие квадратичные формы обращаются в 0 не
только в начале системы координат, но и в других точках.
Пример 2.
Определить
знакоопределенность следующих квадратичных форм.
1)
Þ
т. е. квадратичная форма является положительно определенной.
2)
т. е. квадратичная форма является отрицательно определенной.
3)
Þ
данная квадратичная форма
не является знакоопределенной, так как она равна 0 во всех точках прямой х1
= –х2, а не только в начале системы координат.
Когда n > 2 требуются специальные
критерии для проверки знакоопределенности квадратичной формы. Рассмотрим их.
Главными минорами
квадратичной формы называются миноры:
то есть это миноры
порядка 1, 2, …, n матрицы А,
расположенные в левом верхнем углу, последний из них совпадает с определителем
матрицы А.
3. Критерий положительной
и отрицательной определенности
Критерий положительной
определенности (критерий Сильвестра)
Для того чтобы
квадратичная форма j (х) = хТАх
была положительно определенной, необходимо и достаточно, что все главные миноры
матрицы А были положительны, то есть:
М1 > 0, M2 > 0, …, Mn > 0.
Критерий отрицательной
определенности
Для того чтобы
квадратичная форма j (х) = хТАх
была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы ее главные
миноры четного порядка были положительны, а нечетного – отрицательны, то есть:
М1 < 0, M2 > 0, М3 < 0, …, (–1)n Mn > 0.
Пример
3.
При каких значениях а и в
квадратичная форма будет положительно определенной?
j (х1, х2, x3) =
Построим матрицу А и найдем
ее главные миноры.
М1 = 1 > 0,
= а – 1 > 0 Þ а > 1.
= ав – а – в > 0 Þ в > .
Ответ:
а > 1, в > .
Пример 4.
При каких значениях а и в
квадратичная форма будет отрицательно определенной?
j (х1, х2, x3) =
Решение.
М1 = –1 < 0,
= –а – 1 > 0 Þ а < –1.
= –ав – а – в < 0 Þ в > – .
Ответ
а < –1, в > –.
Пример
5.
Доказать, что
квадратичная форма
j (х1, х2, x3) =
положительно определена.
Решение.
М1 = 6 > 0,
= 26 > 0, М3 = ú А ç = 162 > 0
Þ j (х1, х2, x3)
положительно определенная
квадратичная форма.
Литература
1. Гусак А. А. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.–
Мн.: Тетрасистемс, 1998.
2. Овсеец М. И., Светлая Е. М. Сборник задач по высшей
математике. Учебное издание.– Мн.: ЧИУиП, 2006.– 67 с.