Функціональне відображення поведінки споживача
Функціональне відображення поведінки споживача
1. Геометричне
подання зміни попиту при зміні доходу й цін
Припустимо
змінюється доход (). Його збільшення або
зменшення еквівалентно паралельному зсуву бюджетної прямої. Зі зміною доходу змінюється
й попит на товари. На кожній бюджетній прямій можна знайти точку рівноваги, в
якій забезпечується максимум функції корисності .
Нехай цими точками є точки , , , на рис. 1. З'єднавши їх, одержимо криву
. Така крива називається кривою
доход-споживання, або кривою Енгеля. На рис. 1. крива Енгеля відображує зміну
попиту споживача (при зростанні його доходу) у випадку, коли жоден з товарів не
є малоцінним. За умови, що 1 – малоцінний, а 2 – цінний товари, крива Енгеля приймає
вигляд, зображений на рис. 2.
Рисунок 1. Рисунок
2
Припустимо, що
змінюється ціна товару 1. Установимо, як змінюється попит на товари 1 і 2.
Розглянемо бюджетну пряму (рис. 2)
.
Нехай зменшується. Тоді точка переходить у точку , а точка – у
точку – нову точку рівноваги, в якій
споживачеві забезпечується новий максимум функції корисності . Зменшимо ціну .
Тоді точка переміститься в точку , а точка займе
положення точки й т.д. З'єднавши точки , , , , одержимо криву ціни-споживання (або
криву цін) як геометричне місце точок, які характеризують зміну попиту двох
товарів при зміні ціни . На відміну від лінії
доход-споживання, що виходить із початку координат, лінія ціна-споживання починається
в точці .
Рисунок 3
Проаналізуємо
більш детально процес переходу з точки в
точку при зміні ціни (рис.
4). Позначимо вихідну бюджетну лінію через , а
змінену – через . Проведемо пряму паралельно прямій лінії цін так, щоб вона мала точку дотику з
кривою байдужності 1. Нехай точкою дотику буде точка .
Як у точці , так й у точці споживачеві
забезпечується один і той самий рівень корисності, оскільки ці точки належать
одній кривій байдужності. Перехід із точки в розглянемо поетапно: спочатку з в точку ,
потім із точки у точку . Перехід з А в точку В не
супроводжується зміною корисності. Ціна першого товару знизилася, тому попит на
нього зменшився – відбулася заміна одного товару іншим, що відповідає ефекту
заміни. Перехід із точки у точку відповідає ефекту доходу й обумовлений
зміною реального доходу при зміні цін.
Рисунок 4
2 Аналіз
математичної моделі поведінки споживача. Функція попиту споживача
При будь-яких додатних цінах і
доході розв’язок задачі поведінку споживача,
існує й єдиний.
Очевидно, що цей розв’язок залежить від і ,
тобто вибір споживача є функцією, що залежить від цін і доходу. Ця функція
називається функцією попиту або в розгорнутому
вигляді:
.
Цей запис означає, що при цінах і доході вибирається
споживчих благ у кількостях .
Основною властивістю функції попиту є її однорідність
щодо всіх цін і доходу, тобто значення попиту інваріантні відносно пропорційних
змін й :
, де .
Аналіз моделі поведінки споживача полягає у вивченні
чутливості розв’язку до зміни її параметрів і . Цей підхід у математичній економіці
називається методом порівняльної статистики.
Розглянемо задачу, в якій рівняння являють собою умови першого порядку й можуть бути
розв’язані відносно оптимальних кількостей усіх продуктів і оптимального множника Лагранжа , тобто розв’язок подається у вигляді
функції попиту та функції попиту та доходу . Поставимо й в
або в
розгорнутому вигляді
(1)
Позначимо
і .
Отже
перейдемо до аналізу математичної
моделі поведінки споживача відносно зміни її параметрів і
:
1.
Розглянемо вплив зміни доходу на
розв’язок задачі споживання. Для цього продиференцюємо (1) по , тоді одержимо
(2)
де і відображають ступінь чутливості
стосовно зміни .
Позначимо , тоді в матричному
позначенні рівняння (2) матимуть такий вигляд:
,
де матриця коефіцієнтів є матрицею Гессе, що
облямована цінами, тобто
, де – вектор-рядок.
Припустимо, що .
Розв’язок (2) знайдемо за методом Крамера. При фіксованому значенні одержимо
де – алгебраїчні доповнення елементів , відповідно.
Якщо , то -й товар називається коштовним (цінним),
при збільшенні доходу попит на цей товар також збільшується. На випадок, коли -й
товар називається малоцінним.
2. Розглянемо
вплив зміни ціни одного товару, наприклад , на
поведінку споживача. Диференціюючи (1) по ,
одержимо:
(3)
де – дельта Кронекера . Запишемо систему (3) у такому вигляді:
.
Якщо матриця коефіцієнтів невироджена, тобто, тоді маємо при фіксованому такий розв’язок, який називають рівнянням
Слуцького
(4)
Рівняння (4) є основним рівнянням у теорії цінності.
Вираз називається коефіцієнтом Слуцького. З
рівняння Слуцького випливає, що при змінюванні ціни на -й
товар зміна попиту на -й товар наведена двома доданками,
перший одержав назву ефекту заміни, другий – ефекту доходу. Отже: « Загальний ефект
= вплив заміни + вплив доходу». Наприклад, при зниженні ціни на -й товар відбувається зростання доходу
(ефект доходу), але він іде не повністю на закупівлю -го
товару – частина його витрачається на закупівлю інших товарів (ефект заміни).
Нехай розв’язок (4) справедливий для всіх та таких,
що , тоді матриця розміром
симетрична й від’ємно визначена, тобто .
Можна
встановити властивості цієї матриці.
Діагональні елементи виражають чистий ефект заміщення, тобто визначають
зміну , яка є результатом варіації ціни , за умови, що доход підтримується на
такому рівні, що значення залишається
незмінним.
При товари та прийнято вважати взаємозамінюючими, при
– взаємодоповнюючими, а при – незалежними.
3 Коефіцієнт
еластичності
Коефіцієнтом
еластичності функції одного аргументу називається
величина, отримана в результаті ділення відносного приросту функції на відносний
приріст аргументу. Позначаючи еластичність через ,
маємо за означенням
,
де – приріст аргументу;
– викликаний ним приріст функції.
Звичайно праву
частину помножують і ділять на 100% та говорять, що коефіцієнт еластичності
показує, на скільки відсотків змінюється значення функції при зміні аргументу
на 1%.
При маємо
.
Якщо функція є функцією декількох аргументів, то
говорять про часткові коефіцієнти еластичності
.
Функція попиту є
векторною функцією, її можна розглядати як сукупність функцій
попиту на окремі товари , кожна з яких є функцією
від змінної. Отже, для кожної з цих функцій
існує частковий коефіцієнт еластичності.
Залежно
від типу аргументу розрізняють коефіцієнти еластичності за цінами й доходом.
Величини , що показують, на
скільки відсотків зміниться попит на -й товар у розрахунку
зміни ціни -го товару на 1%, називають
коефіцієнтами еластичності за цінами (якщо – то
перехресними коефіцієнтами).
Показники , що характеризують
аналогічно зміну попиту від доходу, називаються еластичністю за доходом.
Умови Куна-Такера дають повну характеристику
розв’язку, однак не містять конструктивного методу його пошуку. Одними з
алгоритмів розв’язання задачі нелінійного програмування (ЗНП) є градієнтні
методи.
Процес знаходження розв’язку ЗНП градієнтними методами
полягає в тому, що, починаючи з деякої точки ,
здійснюється послідовний перехід до деяких інших точок, поки не буде знайдений
прийнятний розв’язок задачі. При цьому градієнтні методи розділяють на два
класи.
До першого класу відносять методи, в яких точки , що досліджуються, не виходять за межі
області припустимих розв’язків задачі. Найпоширенішим з таких є метод
Франка-Вульфа.
До другого класу методів відносять методи, під час
використання яких досліджувані точки можуть як належати,
так і не належати області припустимих значень (метод Ероу-Гурвіца, метод
штрафних функцій).
Під час знаходження розв’язку задачі градієнтними
методами ітераційний процес здійснюється до того моменту, поки градієнт функції
в черговій точці не стане дорівнювати нулю або
ж поки
,
де – достатньо мале
позитивне число, що характеризує точність отриманого розв’язку.
Для
чисельного розв’язування задачі споживача використовуватимемо метод Франка-Вульфа.
Нехай потрібно знайти максимальне значення функції
корисності за умови .
Характерною рисою даного методу є те, що обмеженням в
задачі є лінійна нерівність. Ця особливість є основною для заміни нелінійної
цільової функції лінійною поблизу досліджуваної точки, завдяки чому
розв’язування задачі зводиться до послідовного розв’язання задач лінійного
програмування.
Наприкінці першого розділу наведемо алгоритм методу
Франка-Вульфа:
1.
Процес знаходження розв’язку задачі починається з визначення точки, що належить
області припустимих розв’язків задачі.
2.
Знайдемо градієнт цільової функції в точці
.
3.
Побудуємо лінійну функцію
.
4.
Знайдемо максимум при обмеженні , тобто розв’яжемо задачу лінійного
програмування (ЗЛП), звідки визначимо вектор , що
доставляє максимум .
5.
Визначимо значення оптимального кроку обчислення за
формулою
.
6.
Обчислимо компоненти нового припустимого розв’язку за формулою
7.
Знайдемо значення , .
8.
Порівняємо отримані , з
точністю . Якщо ,
тоді і алгоритм переходить до пункту 2, якщо
, тоді отримано оптимальний розв’язок
задачі і при
.