Идентификация объекта управления
Идентификация объекта управления
В современных сложных объектах, как правило, выходной сигнал объекта
зависит не от одного входного сигнала, как в случае с кривой разгона, а от
нескольких входных сигналов, т.е. объект управления имеет сложное переплетение
взаимосвязей входных и выходных сигналов.
Рис. 1. Схема объекта, состоящего из нескольких взаимосвязанных
входных-выходных сигналов
Для идентификации таких сложных объектов используется метод
регрессионного анализа с проведением активного эксперимента на базе теории
математического планирования эксперимента.
Назначение этой теории - значительно сократить количество
экспериментальных опытов и упростить расчеты, необходимые для получения
уравнения взаимосвязи выходного сигнала с несколькими входными сигналами -
уравнения регрессии.
Сокращение числа необходимых
экспериментов в теории математического планирования эксперимента достигается за
счет одновременного изменения всех входных сигналов (факторов), а упрощение
расчетов получается за счет того, что изменение входных сигналов (факторов)
нормируется, т.е. величины . Пусть - зависит от 2-х входных факторов.
Рис. 2. Схема исследования объекта методом регрессионного анализа для
двух входных сигналов (факторов)
Точка О - номинальный режим
работы объекта. Нормализация происходит за счет того, что начало координат
переносится в точку О на .
Рис. 3. Схема центрального плана полного факторного эксперимента для двух
входных сигналов (факторов)
Здесь (рис. 3) изображен план
проведения опытов для изучения зависимости . Число опытов
равно 4=22 - полный факторный эксперимент; Для k
входных факторов число опытов в факторном эксперименте: N=2k.
При k=3 N=8; k=4, N=16 и т.д.
На приведенном выше рис. 3.
изображен центральный (точка О - в центре) ортогональный полный факторный план
эксперимента для 2-х входных факторов.
Таблица 1. Полный факторный
эксперимент для k=2.
№ опыта
|
|
|
|
1
|
+1
|
+1
|
|
2
|
-1
|
+1
|
|
3
|
-1
|
-1
|
|
4
|
+1
|
-1
|
|
Свойство плана, когда, называется ортогональностью плана.
Таблица 2. Полный факторный эксперимент для k=3.
№ опыта
|
|
|
|
|
1
|
+1
|
+1
|
+1
|
|
2
|
-1
|
+1
|
+1
|
|
3
|
-1
|
-1
|
+1
|
|
4
|
+1
|
-1
|
+1
|
|
5
|
+1
|
+1
|
-1
|
|
6
|
-1
|
+1
|
-1
|
|
7
|
-1
|
-1
|
-1
|
8
|
+1
|
-1
|
-1
|
|
В полном факторном плане экспериментов число опытов резко возрастает в
зависимости от числа входных факторов: k=4 N=16; k=5, N=32; k=6, N=64 опыта. Поэтому для сокращения
числа опытов с минимальной потерей информации применяются сокращенные планы -
дробные реплики. Если планы содержат половину опытов полного факторного
эксперимента, то такой план носит название полуреплики.
Таблица 3. Пример полуреплики для k=4 (ПФЭ=16)
№ опыта
|
|
|
|
|
1
|
+1
|
+1
|
+1
|
+1
|
2
|
+1
|
-1
|
+1
|
-1
|
3
|
-1
|
+1
|
+1
|
-1
|
4
|
-1
|
-1
|
+1
|
+1
|
5
|
+1
|
+1
|
-1
|
-1
|
6
|
+1
|
-1
|
-1
|
+1
|
7
|
-1
|
+1
|
-1
|
+1
|
8
|
-1
|
-1
|
-1
|
-1
|
Используют также ¼ реплики от полного факторного эксперимента.
Уравнение взаимосвязи входного и выходного сигналов - уравнение регрессии
- записывается в виде алгебраического полинома 1-ой и 2-ой степени в следующем
виде:
1-ой степени:
xвых = b0 +b1x1+b2x2;
с учетом взаимодействия входных факторов для 2-х входных факторов x1 и x2:
xвых = b0 + b1x1
+ b2x2 + b12x1 x2
.
Полином второй степени - уравнение регрессии:
Естественно, это уравнение
более точно описывает взаимосвязь xвых - функции отклика - с входными факторами (сигналами)
объекта.
Задача идентификации объекта
управления (ОУ) методом регрессивного анализа сводится к выбору порядка
математической модели - уравнения регрессии - и определению коэффициентов b0,
b1, b2, b12 и т.д.
в этом уравнении регрессии. При определении этих коэффициентов используется
метод наименьших квадратов, в котором определяется наименьшая сумма отклонений
в квадрате (2-ой степени) между реально полученным в эксперименте выходным
сигналом и выходным сигналом, рассчитанным (предсказанным) по уравнению
регрессии, т.е. ищут минимум функции:
Минимум функции Ф достигается
в том случае, когда первая частная производная (тангенс угла наклона к впадине)
равна нулю, т.е.
.
Пример
Рассмотрим пример
использования метода наименьших квадратов. Пусть выходной сигнал (функция
отклика) зависит от одного фактора (входного сигнала). Активно проведено n
экспериментов. Задана и получена - результатов экспериментов. Общий вид уравнения регрессии 1-го
порядка для примера:
xвых = b0
+ b1x1
Методом наименьших квадратов
ищем минимум функции Ф:
Для получения минимума этой Ф
приравниваем к нулю частные производные
.
Для удобства получения
частных производных введем фиктивную переменную x0=1 и функцию Ф запишем:
x0=1 можно
убрать. Тогда
Решая эту систему
алгебраических уравнений (можно методом Крамера), находим:
Проверка идентичности
математической модели - уравнения регрессии исследуемого объекта проводится по
нескольким критериям адекватности и идентичности модели.
Поскольку результаты опытов в
эксперименте заранее точно предсказать невозможно, то обработка и сами
результаты связаны с неопределенностью или вероятностью. Вероятность изменяется
в пределах: 0 - события быть не может, 1 - событие произойдет обязательно
(день-ночь). При большом числе параллельных (одинаковые условия) опытов
вероятность может быть задана в виде функции распределения вероятностей (рис.
4.):
Рис. 4. Схема нормального (гауссовского) закона распределения
вероятностей
На практике чаще всего используется так называемое нормальное
(гауссовское) распределение вероятностей.
Случайная величина () имеет несколько числовых характеристик, наиболее важные из которых -
это математическое ожидание и дисперсия.
Математическое ожидание - это
среднее взвешенное значение случайной величины
Дисперсия характеризует
разброс значений случайной величины относительно ее математического ожидания.
.
Проверка значимости уравнения
регрессии проводится по критерию Фишера или F-критерию.
Проверка заключается в определении, значимо ли (больше ошибки измерения)
полученное уравнение отличается от уравнения . Для этого
вычисляют дисперсию относительно среднего значения выходного сигнала:
,
где f1 - число степеней свободы,
.
А также остаточную дисперсию:
,
f2 - число
степеней свободы.
Величину критерия Фишера (F-критерий)
определяют по формуле:
(должно быть).
Значимость коэффициентов bi уравнения регрессии определяют по t-критерию
(критерии Стьюдента):
,
.
Идентификация
объектов управления методом корреляционного анализа
Метод корреляционного анализа используется для идентификации объектов
управления в том случае, если входные и выходные сигналы являются случайными
величинами.
Рис. 5. Схема исследования объекта корреляционным методом
При корреляционном анализе используются:
– автокорреляционная функция (АКФ) и
– взаимокорреляционная функция (ВКФ).
АКФ характеризует зависимость последующих значений случайной величины от
предыдущих, находящихся на расстоянии Dt.
Рис. 6. График изменения входной случайной величины - входного сигнала
АКФ:
.
При Dt ®0 - точнее.
Взаимокорреляционная функция
связывает две величины, отстоящие друг от друга на Dt.
ВКФ:
.
С АКФ и ВКФ связаны (через
преобразование Фурье, когда входной-выходной сигнал раскладывается в ряд Фурье,
состоящий из суммы синусоидальных колебаний с различной w - ряд гармоник) спектральные плотности случайных величин.
- для АКФ,
- для ВКФ.
Физически показывает, какая доля мощности случайной величины приходится на
данную частоту.
Через спектральную плотность
находим АФЧХ объекта:
.
Техническая
диагностика систем
Техническая диагностика - наука о распознавании состояния технической
системы. Диагнозис (гр.) - распознавание.
Объект технического диагностирования - изделие и его составные части,
техническое состояние которых подлежит определению с заданной точностью.
Техническое состояние - совокупность свойств объекта, характеризуемая в
данный момент времени признаками, установленными технической документацией на
объект.
Техническое состояние может быть:
– исправное-неисправное;
– работоспособное-неработоспособное;
– функционирующее правильно и неправильно.
Диагностирование по алгоритму - это совокупность предписаний с
использованием диагностических признаков.
Система технического диагностирования - совокупность средств и объекта
диагностирования, а также и исполнителей, осуществляющих диагностирование по
правилам, установленным соответствующей документацией. Система технической
диагностики определяет состояние технического объекта, характер его изменения с
течением времени, по определенным диагностическим признакам.
Теоретический фундамент технической диагностики - теория распознавания
образов, разработка алгоритмов распознавания, создание диагностических
математических моделей, устанавливающих связь между состояниями технической
системы и их отображением в пространстве диагностических признаков (сигналов).
Диагнозы - классы типичных (типовых) состояний.
Важная часть распознавания - правила принятия решений (решающие правила).
Диагностика в режиме работы объекта называется функциональным техническим
диагностированием.
Диагностика, когда проводятся тестовые воздействия - тестовая техническая
диагностика.
В технической диагностике введено понятие глубины поиска дефекта,
задаваемое указанием составной части объекта диагностики, с точностью, до
которой определяется место дефекта. Обычно это модуль или блок, иногда даже
микросхема (ЛОМИКОНТ).
Актуальность технической диагностики подтверждается следующими цифрами: в
США исследования показали техническое обслуживание и ремонт самолета в 3-4 раза
больше его стоимости, ремонт и обслуживание радиотехнического оборудования -
1200% от его стоимости. В СССР (по 181 г.) ремонтом и обслуживанием
металлорежущих станков занимались в 4 раза больше рабочих, чем изготовлением
этого оборудования. Стоимость заводского ремонта в ВВС США в 187 г. составила 15
млрд. долл., что в 2 раза больше, чем в 180 г.
Тенденция роста убытков, связанных с отказами техники, имеет место во
всех развитых странах. Отказы, неисправности, поломки, сбои, ошибки и даже
катастрофы - неизбежные факторы, дестабилизирующие процесс нормального
функционирования объекта и системы управления. Имеется 3 причины отказов и
катастроф:
а) применение малоизученных физических явлений для создания изделий;
б) несоблюдение принципа системности при проектировании изделий;
применение несовершенных и неадекватных расчетных схем;
в) "человеческий фактор" в разработке, производстве и
эксплуатации изделий ("защита от дурака").
Так, например, недостаточная изученность свойств материалов и
несовершенство расчетов привели к катастрофе в США реактивного пассажирского
самолета "Комета", который развалился в воздухе. Причина -
прямоугольные иллюминаторы, в углах которых возникла концентрация напряжений,
что привело к разрушению корпуса самолета. Второй пример. В 167 г. во время
наземных испытаний космического корабля "Аполлон" США возникло
короткое замыкание в проводе под креслом космонавта - мгновенный пожар в
избытке кислорода - погибли 3 человека. В США подсчитано в 156 г., что из-за
ошибок рабочих и служащих возникло 2 млн. отказов промышленного оборудования, что
стоило 2 млрд. долл. Причина большинства авиакатастроф - "человеческий
фактор".
Объективность "человеческого фактора" и необходимость его учета
отражена в шуточных законах Мэрфи:
2. Любая трубка при укорачивании оказывается слишком короткой.
3. После разборки и сборки какого-либо устройства несколько деталей
оказываются лишними.
4. Количество имеющихся в наличии запчастей обратно пропорционально
потребности в них.
5. Если какая-либо часть устройства может быть смонтирована
неправильно, то всегда найдется кто-нибудь, кто так и сделает.
6. Все герметические стыки протекают.
7. При любом расчете число, правильность которого для всех
очевидна, становится источником ошибок.
8. Необходимость внесения в конструкцию принципиальных изменений
возрастает непрерывно по мере приближения к завершению проекта.
Необходимость в разработке научно обоснованных методов технической
диагностики и технических средств для реализации диагностических систем и
комплексов подтверждают результаты исследований, по которым установлено, что
специалист 25% времени тратит на определенные части изделия, где произошла
неисправность, 62% - на определение неисправной детали и только 13% времени -
на восстановление отказавшей детали. Техническое диагностирование использует
технические математические модели. Отличие диагностических моделей от обычных
математических моделей, которые отражают номинальный режим функционирования
объекта или системы управления состоит в том, что диагностическая модель
описывает существенные свойства аварийных режимов, вызванных различными
отказами. Объект или система при разработке диагностической модели
рассматриваются по следующей схеме (рис. 3.):
Рис. 7. Схема разработки диагностической модели объекта или системы
управления
Иерархия диагностических
моделей (ДМ)
Рис. 8. Иерархия
диагностических моделей
Из схемы видно, что диагностические модели могут быть различной
сложности: от простых описательных (текст) до математических моделей высокого
уровня.
Классификация
отказов
а) по степени влияния: полные, частичные;
б) по характеру проявления: окончательные, перемежающиеся;
в) по степени связи: зависимые, независимые;
г) по частоте проявления: однократные, многократные;
д) по характеру возникновения: внезапные, постепенные;
е) по математическим моделям: параметрические, сигнальные;
ж) по видам проявления: обрывы, короткие замыкания, дрейф,
переориентация, изменение эффективности.
Задачи диагностирования по следующей схеме (рис. 9.):
Рис. 9. Схема диагностирования по отказам
Для диагностики моделей используется (см. классификацию) множество
физических видов отказов - диагностических признаков.
В качестве прямых диагностических признаков соответствующего отказа
используют Dli = li - liном - отклонение диагностического
параметра li от номинального значения. Косвенные
диагностические признаки оценивают через отклонение величины xвых - выходного сигнала объекта
(системы).
Разработка диагностического обеспечения системы управления или объекта
идет по следующей схеме (рис. 10.):
Рис. 10. Схема разработки диагностического обеспечения системы управления
или объекта
Математическая
постановка задачи технического диагностирования объекта (системы управления)
Пусть:
а) задана система линейная с постоянными характеристиками на отдельном
отрезке времени стационарная, работающая в номинальном режиме;
б) задано множество контрольных точек;
в) задано множество физических отказов с характеристикой отказов;
г) задано множество тестовых и рабочих сигналов управления;
д) задано время диагностирования ОУ (СУ).
Требуется:
Провести техническое диагностирование ОУ (СУ) в целях контроля технического
состояния - обнаружение отказов, поиск места и определение причин отказа.
При вероятностных методах
распознавания технического состояния системы вероятность постановки диагноза , где Ni - число состояний объекта из общего числа состояний N, у
которых имел место диагноз Di, а P(kj/Di) - вероятность появления диагностического признака kj у объекта
с диагнозом Di. Если среди Ni состояний объектов, имеющих диагноз Di, у Nij появился признак kj,
то
Вероятность появления
диагностического признака kj во
всех состояниях объекта N независимо от их диагноза с учетом того, что kj появляется только в Nj состояниях объекта, равна:
.
Из изложенного выше вытекает,
что вероятность совместного появления следующих событий: наличия у объекта
диагноза Di и диагностического признака kj -
равна:
.
Отсюда:
- формула Байеса.
Формула Байеса неточно
отражает реальное положение при постановке диагноза Di при наличии
диагностического признака kj. Дело в том, что в этой формуле априорно (без
доказательства, заранее) принято, что все диагностические признаки имеют равную
вероятность появления в реальных условиях работы системы, при этом не
учитывается информационная ценность того или иного диагностического признака.
Информационная ценность
диагностического признака определяется количеством информации, которое вносит
данный диагностический признак в описание технического состояния объекта
управления (ОУ) или системы управления (СУ).
Количество информации связано
с энтропией (степенью неопределенности) состояния системы, чем выше
определенность состояния системы (меньше энтропия), тем меньше информации мы
получим, изучая (диагностируя) эту систему (о ней и так почти все известно).
Энтропия (степень
неопределенности) системы по Шеннону (разработчик теории информации) находят по
формуле:
где H(A) -
энтропия системы A; P(Ai) - вероятность Ai
состояния системы А.
Количество информации
определяется как разность энтропии системы в 2-х различных состояниях:
J = H(A1) - H(A2),
где J - количество
информации, H(A1) -
энтропия 1-го состояния, H(A2) -
энтропия 2-го состояния системы.
Список
литературы
1. Льюнг Леннарт. Идентификация систем. - М.: Наука, 191.
2. Интеллектуальные системы автоматического управления. /
Под ред. И.М. Макарова, В.М. Лохина - М.: Физматпит, 2001.
3. В.О. Толкачев, Т.В. Ягодкина. Методы идентификации
одномерных линейных динамических систем. - М.: МЭИ, 197.
4. К.А. Алексеев. Моделирование и идентификация элементов
и систем автоматического управления. - Пенза, 2002.
5. Дочф Ричард, Вишоп Роберт. Современные системы
управления. - М.: Юнимедиастайп, 2002.
6. С.В. Шелобанов. Моделирование и идентификация систем
управления. - Хабаровск, 199.
7. К.В. Егоров. Основы теории автоматического регулирования.
- М.: Энергия, 167.