Сила Земного притяжения
from original page N 17...
ìåòàëè
ðàçíûå
ìàññû,
êîòîðûå
ïðîïîðöèîíàëüíû
ïðèòÿæåíèþ
ýòèõ
ïðåäìåòîâ
ïîëåì. Ýòî ãðàâèòàöèîííàÿ
ìàññà. Ìû
ãîâîðèì, ÷òî
ðàçíûå
ïðåäìåòû
èìåþò
ðàçíûé âåñ,
ïîñêîëüêó
îíè
îáëàäàþò
ðàçëè÷íûìè
ãðàâèòàöèîííûìè
ìàññàìè,
êîòîðûå
ïðèòÿãèâàþòñÿ
ïîëåì
òÿãîòåíèÿ. Òàêèì
îáðàçîü,
ãðàâèòàöèîííûå
ìàññû ïî îïðåäåëåíèþ
ïðîïîðöèîíàëüíû
âåñàì, à òàêæå
ñèëå
òÿæåñòè.
Ãðàâèòàöèîííàÿ
ìàññà îïðåäåëÿåò,
ñ êàêîé
ñèëîé òåëî
ïðèòÿãèâàåòñÿ
Çåìëåé. Ïðè
ýòîì òÿãîòåíèå
âçàèìíî:
åñëè Çåìëÿ
ïðèòÿãèâàåò
êàìåíü, òî
êàìåíü
òî÷íî òàêæå
ïðèòÿãèâàåò
Çåìëþ.
Çíà÷èò,
ãðàâèòàöèîííàÿ
ìàññà
òåëàîïðåäåëÿåò
òàêæå,
íàñêîëüêî
ñèëüíî îíî
ïðèòÿãèâàåò
äðóãîå òåëî,
Çåìëþ. Òàêèì îáðàçîì,
ãðàâèòàöèîííàÿ
ìàññà
èçìåðÿåò
êîëè÷åñòâî
âåùåñòâà, íà
êîòîðîå
äåéñòâóåò
çåìíîå
ïðèòÿæåíèå,
èëè
êîëè÷åñòâî
âåùåñòâà,
îáóñëàâëèâàþùåå
ãðàâèòàöèîííûå
ïðèòÿæåíèÿ
ìåæäó
òåëàìè.
Ãðàâèòàöèîííîå
ïðèòÿæåíèå
äåéñòâóåò íà
äâà
îäèíàêîâûõ
êóñêà
ñâèíöà
âäâîå ñèëüíåå,
÷åì íà îäèí.
Ãðàâèòàöèîííûå
ìàññû
êóñêîâ
ñâèíöà äîëæíû
áûòü
ïðîïîðöèîíàëüíû
èíåðòíûì
ìàññàì,
ïîñêîëüêó
ìàññû òîãî è
äðóãîãî
âèäà,
î÷åâèäíî,
ïðîïîðöèîíàëüíû
÷èñëó
àòîìîâ
ñâèíöà. Òî æå
ñàìîå
îòíîñèòñÿ ê
êóñêàì
ëþáîãî
äðóãîãî
ìàòåðèàëà,
ñêàæåì,
âîñêà, íî êàê
ñðàâíèòü
êóñîê ñâèíöà
ñ êóñêîì
âîñêà? Îòâåò
íà ýòîò âîïðîñ
äàåò
ñèìâîëè÷åñêèé
ýêñïåðèìåíò
ïî èçó÷åíèþ
ïàäåíèÿ òåë
âñåâîçìîæíûõ
ðàçìåðîâ ñ âåðøèíû
íàêëîííîé
Ïèçàíñêîé
áàøíè, òîò, êîòîðûé
ïî ëåãåíäå
ïðîèçâîäèë
Ãàëëèëåé.
Ñáðîñèì äâà
êóñêà
ëþáîãî
ìàòåðèàëà
ëþáûõ ðàçìåðîâ.
Îíè ïàäàþò ñ
îäèíàêîâûì
óñêîðåíèåì g.
Ñèëà,
äåéñòâóþùàÿ
íà òåëî è
ñîîáùàþùàÿ
åìó
óñêîðåíèå6 -
ýòîïðèòÿæåíèå
Çåìëè,
ïðèëîæåííîå
ê ýòîìó òåëó. Ñèëà
ïðèòÿæåíèÿ
òåë Çåìëåé
ïðîïîðöèîíàëüíà
ãðàâèòàöèîííîé
ìàññå. Íî
ñèëû òÿæåñòè
ñîîáùàþò
âñåì òåëàì
îäèíàêîâîå
óñêîðåíèå g.
Ïîýòîìó
ñèëà
òÿæåñòè, êàê
è âåñ, äîëæíà
áûòü
ïðîïîðöèîíàëüíà
èíåðòíîé ìàññå.
Ñëåäîâàòåëüíî,
òåëà ëþáîé
ôîðìû
ñîäåðæàò
îäèíàêîâûå
ïðîïîðöèè
îáåèõ ìàññ.
Åñëè
ïðèíÿòü 1 êã â
êà÷åñòâå
åäèíèöû
îáåèõ ìàññ,
òî ãðàâèòàöèîííàÿ
è èíåðòíàÿ
ìàññû áóäóò
îäèíàêîâû ó âñåõ
òåë ëþáûõ
ðàçìåðîâ èç
ëþáîãî
ìàòåðèàëà è
â ëþáîì
ìåñòå.
Âîò êàê
ýòî
äîêàçûâàåòñÿ.
Ñðàâíèì
ýòàëîí êèëîãðàììà,
ñäåëàííûé
èç ïëàòèíû6 ñ
êàìíåì
íåèçâåñòíîé
ìàññû.
Ñðàâíèì èõ
èíåðòíûå
ìàññû, ïåðåìåùàÿ
ïîî÷åðåäíî
êàæäîå èç
òåë â ãîðèçîíòàëüíîì
íàïðàâëåíèè
ïîä
äåéñòâèåì íåêîòîðîé
ñèëû è
èçìåðÿÿ
óñêîðåíèå.
Ïðåäïîëîæèì,
÷òî ìàññà
êàìíÿ ðàâíà 5,31
êã. Çåìíîå òÿãîòåíèå
â ýòîì ñðàâíåíèè
íå
ó÷àñòâóåò.
Çàòåì
ñðàâíèì ãðàâèòàöèîííûå
ìàññû îáîèõ
òåë, èçìåðèâ
ãðàâèòàöèîííîå
ïðèòÿæåíèå
ìåæäó
êàæäûì èç
íèõ è
êàêèì-íèáóäü
òðåòüèì
òåëîì, ïðîùå
âñåãî
Çåìëåé. Ýòî
ìîæíî
ïðîäåëàòü
ïóòåì âçâåøèâàíèÿ
îáîèõ òåë. Ìû
óâèäèì, ÷òî ãðàâèòàöèîííàÿ
ìàññà êàìíÿ
òîæå ðàâíà 5,31
êã.
Áîëåå ÷åì
çà
ïîëñòîëåòèÿ
äî òîãî êàê Íüþòîí
ïðåäëîæèë
ñâîé çàêîí
âñåìèðíîãî
òÿãîòåíèÿ,
Èîãàíí Êåïëåð
(1571-1630) îáíàðóæèë,
÷òî “çàïóòàííîå
äâèæåíèå
ïëàíåò
Ñîëíå÷íîé ñèñòåìû
ìîæíî áûëî
áû îïèñàòü ñ
ïîìîùüþ òðåõ
ïðîñòûõ
çàêîíîâ. Çàêîíû
Êåïëåðà
óêðåïèëè
âåðó â
ãèïîòåçó Êîïåðíèêà
î òîì, ÷òî
ïëàíåòû
âðàùàþòñÿ
âîêðóã
Ñîëíöà, à.
Óòâåðæäàòü
â íà÷àëå XVII
âåêà, ÷òî
ïëàíåòû
âîêðóã
Ñîëíöà, à íå
âîêðóã
Çåìëè, áûëî
âåëè÷àéøåé
åðåñüþ.
Äæîðäàíî
Áðóíî îòêðûòî
çàùèùàâøèé
ñèñòåìó
Êîïåðíèêà, êàê
åðåòèê áûë
îñóæäåí
ñâÿòîé
èíêâèçèöèåé
è ñîææåí íà
êîñòðå. Äàæå
âåëèêèé
Ãàëëèëåé,
íåñìîòðÿ íà
òåñíóþ
äðóæáó ñ
ïàïîé
ðèìñêèì, áûë
çàòî÷åí â
òþðüìó,
îñóæäåí
èíêâèçèöèåé
è âûíóæäåí
áûë ïóáëè÷íî
îòðå÷üñÿ îò
ñâîèõ
âçãëÿäîâ.
 òå
âðåìåíà
ñâÿùåííûìè
è
íåïðèêîñíîâåííûìè
ñ÷èòàëèñü
ó÷åíèÿ
Àðèñòîòåëÿ
è Ïòîëåìåÿ,
ãëàñèâøèå,
÷òî îðáèòû
ïëàíåò âîçíèêàþò
â ðåçóëüòàòå
ñëîæíûõ äâèæåíèé
ïî ñèñòåìå
îêðóæíîñòåé.
Òàê äëÿ
îïèñàíèÿ
îðáèòû
Ìàðñà
òðåáîâàëàñü
äþæèíà, èëè
îêîëî òîãî,
îêðóæíîñòåé
ðàçëè÷íîãî
äèàìåòðà. Èîãàíí
Êåïëåð
ïîñòàâèë
çàäà÷ó “äîêàçàòü”,
÷òî Ìàðñ è
Çåìëÿ äîëæíû
îáðàùàòüñÿ
âîêðóã
Ñîëíöà. Îí
ïûòàëñÿ
íàéòè
îðáèòó
ïðîñòåéøåé
ãåîìåòðè÷åñêîé
ôîðìû,
êîòîðàÿ
òî÷íî áû
ñîîòâåòñòâîâàëà
ìíîãî÷èñëåííûì
èçìåðåíèÿì
ïîëîæåíèÿ
ïëàíåòû.
Ïðîøëè ãîäû
óòîìèòåëüíûõ
âû÷èñëåíèé,
ïðåæäå ÷åì
Êåïëåð ñìîã ñôîðìóëèðîâàòü
òðè ïðîñòûõ
çàêîíà, î÷åíü
òî÷íî
îïèñûâàþùèõ
äâèæåíèå
âñåõ ïëàíåò:
Ïåðâûé
çàêîí: Êàæäàÿ
ïëàíåòà
äâèæåòñÿ ïî
ýëëèïñó, â
îäíîì
èç ôîêóñîâ êîòîðîãî
íàõîäèòñÿ
Ñîëíöå.
Âòîðîé
çàêîí: Ðàäèóñ-âåêòîð
(ëèíèÿ,
ñîåäèíÿþùàÿ
Ñîëíöå
è
ïëàíåòó)
îïèñûâàåò
çà ðàâíûå
ïðîìåæóòêè
âðåìåíè
ðàâíûå
ïëîùàäè
Òðåòèé
çàêîí: Êâàäðàòû
ïåðèîäîâ
îáðàùåíèÿ
ïëàíåò
ïðîïîðöèîíàëüíû
êóáàì èõ
ñðåäíèõ
ðàññòîÿíèé
îò Ñîëíöà:
R13/T12
= R23/T22
Çíà÷åíèå
òðóäîâ
Êåïëåðà
îãðîìíî. Îí
îòêðûë
çàêîíû,
êîòîðûå
çàòåì Íüþòîí
ñâÿçàë ñ
çàêîíîì
âñåìèðíîãî
òÿãîòåíèÿþ
Êîíå÷íî, ñàì
Êåïëåð íå
îòäàâàë
ñåáå îò÷åòà
â òîì, ê ÷åìó
ïðèâåäóò åãî
îòêðûòèÿ. “Îí
çàíèìàëñÿ
óòîìèòåëüíûìè
íàìåêàìè ýìïèðè÷åñêèõ
ïðàâèë,
êîòîðûå â
áóäóùåì
äîëæåí áûë
ïðèâåñòè ê ðàöèîíàëüíîìó
âèäó Íüþòîí”.
Êåïëåð íå ìîã
îáúÿñíèòü,
÷åì
îáóñëîâëåíî
ñóùåñòâîâàíèå
ýëëèïòè÷åñêèõ
îðáèò, íî âîñõèùàëñÿ
òåì, ÷òî îíè
ñóùåñòâóþò.
Íà
îñíîâå
òðåòüåãî
çàêîíà
Êåïëåðà
Íüþòîí
ñäåëàë âûâîä,
÷òî ñèëû
ïðèòÿæåíèÿ äîëæíû
óáûâàòü ñ
óâåëè÷åíèåì
ðàññòîÿíèÿ
è ÷òî
ïðèòÿæåíèå
äîëæíî
èçìåíÿòüñÿ
êàê
(ðàññòîÿíèå)-2.
Îòêðûâ
çàêîí
âñåìèðíîãî
òÿãîòåíèÿ,
Íüþòîí
ïåðåíåñ
ïðîñòîå
ïðåäñòàâëåíèå
î î äâèæåíèè
Ëóíû íà âñþ
ïëàíåòíóþ
ñèñòåìó. Îí ïîêàçàë,
÷òî
ïðèòÿæåíèå
ïî
âûâåäåííûì
èì çàêîíàì
îáóñëîâëèâàåò
äâèæåíèå
ïëàíåò ïî
ýëëèïòè÷åñêèì
îðáèòàì,
ïðè÷åì â
îäíîì èç
ôîêóñîâ
ýëëèïñà
äîëæíî íàõîäèòñÿ
Ñîëíöå. Åìó
óäàëîñü
ëåãêî
âûâåñòè äâà
äðóãèõ
çàêîíà
Êåïëåðà,
êîòîðûå
òàêæå âûòåêàþò
èç åãî
ãèïîòåçû
âñåìèðíîãî
òÿãîòåíèÿ.
Ýòè çàêîíû
ñïðàâåäëèâû, åñëè
ó÷èòûâàåòñÿ
òîëüêî
ïðèòÿæåíèå
Ñîëíöåì. Íî
íóæíî
ó÷èòûâàòü è
äåéñòâèå íà
äâèæóùóþñÿ ïëàíåòó
äðóãèõ
ïëàíåò, õîòÿ
â Ñîëíå÷íîé ñèñòåìå
ýòè
ïðèòÿæåíèÿ
ìàëû ïî
ñðàâíåíèþ ñ
ïðèòÿæåíèåì
Ñîëíöà.
×òîáû
ïîëó÷èòü
òðåòèé
çàêîí
Êåïëåðà,
Íüþòîí
ïðîñòî
îáúåäèíèë
çàêîíû
äâèæåíèÿ ñ
çàêîíîì
âñåìèðíîãî
òÿãîòåíèÿ.
Äëÿ ñëó÷àÿ
êðóãîâûõ
îðáèò ìîæíî
ðàññóæäàòü
ñëåäóþùèì
îáðàçîì:
ïóñòü ïëàíåòà,
ìàññà
êîòîðîé
ðàâíà m,
äâèæåòñÿ ñî
ñêîðîñòüþ v ïî
îêðóæíîñòè
ðàäèóñà R
âîêðóã
Ñîëíöà,
ìàññà
êîòîðîãî ðàâíà
Ì. Ýòî
äâèæåíèå
ìîæåò
îñóùåñòâëÿòüñÿ
òîëüêî â òîì
ñëó÷àå, åñëè
íà ïëàíåòó
äåéñòâóåò
âíåøíÿÿ
ñèëà F = mv2/R, ñîçäàþùàÿ
öåíòðîñòðåìèòåëüíîå
óñêîðåíèå v2/R.
Ïðåäïîëîæèì,
÷òî ïðèòÿæåíèå
ìåæäó Ñîëíöåì
è ïëàíåòîé
êàê ðàç è
ñîçäàåò íåîáõîäèìóþ
ñèëó. Òîãäà:
GMm/r2 = mv2/R
è
ðàññòîÿíèå r ìåæäó
m è M ðàâíî
ðàäèóñó
îðáèòû R. Íî
ñêîðîñòü
v = = 2
ãäå Ò -
âðåìÿ, çà êîòîðîå
ïëàíåòà
ñîâåðøàåò
îäèí îáîðîò.
Òîãäà
×òîáû
ïîëó÷èòü
òðåòèé
çàêîí
Êåïëåðà, íóæíî
ïåðåíåñòè
âñå R è Ò â
îäíó
ñòîðîíó
óðàâíåíèÿ, à
âñå
îñòàëüíûå
âåëè÷èíû - â
äðóãóþ:
R3/T2 =
GM/4p2
Åñëè
ïåðåéòè
òåïåðü ê
äðóãîé
ïëàíåòå ñ äðóãèì
ðàäèóñîì
îðáèòû è
ïåðèîäîì
îáðàùåíèÿ,
òî íîâîå
îòíîøåíèå
îïÿòü áóäåò
ðàâíî GM/4p2;
ýòà
âåëè÷èíà
áóäåò
îäèíàêîâîé
äëÿ âñåõ ïëàíåò,
òàê êàê G
-óíèâåðñàëüíàÿ
ïîñòîÿííàÿ,
à ìàññà Ì -
îäíà è òà æå
äëÿ âñåõ
ïëàíåò,
âðàùàþùèõñÿ
âîêðóã Ñîëíöà.