Решение кубических уравнений в радикалах
Решение кубических уравнений в радикалах.
Выполнил Розанов
А. Ю.
Содержание
Введение. 3
1. Формула Тартальи –
Кардано. 3
2. Преобразование формулы
Тартальи – Кардано к наиболее удобному для вычислений виду. 6
3. Дискриминант кубического
уравнения и его связь с корнями. 7
4. Примеры. 11
Заключение. 13
Список литературы. 15
«Всякое уравнение –ой степени с любыми числовыми коэффициентами
имеет корней,
комплексных или, в частности, действительных; некоторые из этих корней могут
совпасть, т. е. оказаться кратными». Эта теорема называется основной теоремой
высшей алгебры. Она была доказана Даламбером (1717—1783) и Гауссом (1777—1855)
в XVIII веке.
Формулы для решения уравнений третьей и четвертой степеней
были найдены еще в XVI веке. В это же время начались поиски формулы для решения
уравнений пятой степени и более высоких степеней. Заметим, что общий вид
уравнения –ой
степени, где —целое
положительное число, таков:
Эти поиски безуспешно продолжались до начала XIX века,
когда был, наконец, доказан следующий замечательный результат: «ни для какого , большего или равного
пяти, нельзя указать формулу, которая выражала бы корни любого уравнения -ой степени через его
коэффициенты при помощи радикалов» (теорема Руффини - Абеля). Иными словами
универсальные формулы решения уравнений в радикалах существуют только для
уравнений первой, второй, третьей и четвертой степени.
В данной работе будет рассмотрено решение в радикалах
уравнений третьей степени, или кубических уравнений.
Уравнение вида
(1)
называется
кубическим уравнением. Если мы вынесем за скобки коэффициент и сократим на него
выражение (1), то получим уравнение
(2)
Пусть тогда выражение (2) можно переписать как
(3)
Преобразуем это уравнение, положив
где –
новое неизвестное. Подставив это выражение в наше уравнение, мы получим кубическое
уравнение относительно неизвестного , причем более простое, так как коэффициент
при окажется
равным нулю. Коэффициентом при первой степени и свободным членом будут соответственно
числа,
и
Уравнение сокращенно запишется в виде
(4)
Действия, в результате которых уравнение (3)
преобразуется в уравнение (4) были впервые осуществлены итальянским математиком
Джероламо Кардано (1501–1576), о чем свидетельствует его труд «Великое
искусство» вышедший в свет в 1545 году. На этом, собственно и заканчивается вклад
данного ученого в способ решения кубичного уравнения, который несправедливо
носил долгое время имя «формулы Кардано». Дело в том, что способ решения
уравнения (4) был открыт другим итальянским ученым Никколо Тарталья (1499–1557)
12 февраля 1535 года, при подготовке к математическому поединку с неким Фиоре.
Вот ход его рассуждений.
Будем искать корень уравнения в виде
,
где и – неизвестные, которые надо определять по
данным и . Далее, новое оригинальное
предложение, что
.
Если подставить выражения для и в левую часть данного уравнения, то
получим
.
Выполнив действия и приведя подобные получим
выражение .
Теперь получается система
,
решая которую получим решения
и .
Теперь получаем формулу Тартальи:
. (5)
Каждый из входящих в формулу (5) кубичных
радикалов имеет три значения. Произвольным образом их комбинировать нельзя.
Оказывается, что для каждого значения первого радикала можно указать одно
единственное такое значение второго радикала, что произведение их равно числу .
Пусть
, ,
тогда для каждого нужно взять такое , что .
Именно эти два значения радикалов и нужно
складывать для того, чтобы получить корень уравнения. Мы получим таким путем
три корня нашего уравнения. Всякое кубическое уравнение с любыми числовыми
коэффициентами имеет, следовательно, три корня, в общем случае комплексных;
некоторые из этих корней могут, конечно, совпадать, т. е. превратиться в
кратный корень (об этом подробно будет рассказано в третьем пункте данной
работы).
Итак, поехали:
Пусть - одно из значений . Тогда остальные два значения запишутся как
.
Отсюда получаем соответствующие значения v:
,
.
Таким образом, корни уравнения (5) можно
находить по формулам
(6)
Если в качестве взять
,
то формулы (6) примут самый удобный для
вычислений вид:
(6*)
Теперь можно подумать и о написании программы…
Выражение
,
фигурирующие под квадратным корнем в формуле
Тартальи – Кардано, часто называют дискриминантом кубического уравнения.
Возможны три случая:
.
Рассмотрим эти случаи.
Если , то
.
Так как , то . Следовательно,
,
откуда в качестве одного из значений u получается следующее выражение:
.
.
На основании формул (6*) получаем:
Итак, если , то уравнение (4) при имеет один простой и один
двукратный. Эти корни можно найти, не прибегая к извлечению квадратных и
кубических корней, а именно, их можно вычислять по формулам
. (7)
Теперь докажем, что если , то уравнение (4) имеет три
различных корня.
Предположим противное. Пусть уравнение имеет
два корня, равных одному и тому же числу ; третий корень пусть будет равен . Тогда по формулам Виета
получаем, что
.
Значит, и
.
Отсюда следует, что
,
что противоречит условию . Уравнение (4) имеет три различных
корня.
Если , то все корни уравнения должны быть
различными. Сколько же среди них будет действительных корней?
Обращаясь к выражению
,
легко усмотреть, что под кубическим корнем находится
действительное число, так как>0. Следовательно, одно из значений u должно быть действительным. Примем его за . В этом случае будет тоже действительным. Отсюда
на основании формул (6*) заключаем, что уравнение имеет только один
действительный корень. Остальные корни будут комплексными.
Теперь перейдем к рассмотрению самого
интересного (на мой взгляд, конечно же) случая, когда . Этот случай называется
неприводимым. Примечателен он тем, что кубический корень приходиться извлекать
из мнимых чисел. Естественно, что в этом случае u и v являются мнимыми. И, тем не менее, все три корня уравнения будут
действительными. В данном случае приходится переходить к тригонометрической
форме записи. Теоретически, через формулы косинуса тройного угла можно сделать
обратную замену и выразить значения корней уравнения через радикалы.
Практически же, это приведет к появлению очень громоздких выражений. Так
как , то мы можем
положить , где – некоторое действительное
положительное число. Тогда
.
Найдем модуль r и аргумент
подкоренного
выражения.
,
.
Таким образом,
.
Полагая последовательно k=0,
1, 2 получим все три значения u:
Произведение комплексного числа на сопряженное
ему комплексное число равно квадрату модуля. Руководствуясь этим, мы легко
определим . Из
выражения ,
модуль u =.
Отсюда квадрат модуля u
будет равен .
Следовательно, ,
но u и v связаны тем же самым
соотношением .
Значит , и мы
получаем, что
Теперь корни уравнения находятся без труда:
(8)
Решить уравнение .
.
Ответ –3:3.
Решить уравнение .
Ответ: 4; ; .
И в завершении разберем уравнение подробнее.
Решить уравнение:
Ответ: 5, .
Так кому же принадлежит открытие общего способа решения
кубических уравнений? Есть разные мнения. Согласно одному из них, способ общего
решения уравнения впервые
был найден профессором университета в Болонье (Италия) Сципионом дель Ферро.
Эта версия довольно таки сомнительна. Дело в том, что у Ферро был ученик Фиоре,
который утверждал, что знает способ решения кубического уравнения от своего
учителя. Но Никколо Тарталья ещё раньше, в 1530 году, добился решения для
некоторых частных случаев этого уравнения. Решения достались ему с большим
трудом, и поэтому он не очень доверял заявлению Фиоре, о том, что ему известно
решение, и считал это хвастовством. Оба математика держали в тайне свои способы
решения. И вот Тарталья, уверенный в победе, вызывает Фиоре на публичный
математический поединок. Поединок назначают на 22 февраля 1535 года. В этот
день оба математика должны были явиться к нотариусу. Каждый должен был
принести 30 задач и обменяться ими друг с другом в присутствии нотариуса. На
решение задач давалось 50 дней. Кто к концу этого срока решит наибольшее число
задач из 30, предложенных соперником, тот и будет считаться победителем и,
сверх того, получит по 5 сольди за каждую задачу.
Между тем, незадолго до этого дня до Тартальи доходят
слухи, что Фиоре действительно знает общий способ решения уравнений вида.
Тарталья чувствует, что если это так, то Фиоре обязательно
предложит ему именно такие уравнения и останется победителем. Тогда Никколо
Тарталья, как пишет он в одном из своих сочинений «приложил все свое рвение,
прилежание и искусство, чтобы найти правило этих уравнений, и мне удалось
сделать это за 10 дней до срока, т. е. 12 февраля, благодаря счастливой
судьбе». На самом деле, благодаря его исключительному таланту.
Предположение Тартальи подтвердилось. В назначенное время
Фиоре передал своему сопернику 30 задач, которые все приводились к уравнениям
вида
.
Каково же было удивление всех, когда Тарталья
все 30 задач решил за 2 часа! Фиоре же не справился ни с одной из задач
предложенных Тартальей и за 50 дней. Отсюда можно смело сделать вывод, что
Фиоре не владел общим способом решения кубических уравнений. Скорее всего, не
владел им и Ферро…
Тарталья собирался опубликовать свое открытие,
но сдерживал его неприводимый случай кубического уравнения . Дело в том, что в то время
математики не открыли еще комплексные числа, а без них решить кубическое
уравнение при невозможно.
Впоследствии Кардано удалось обманом получить у
Тартальи способ решения кубических уравнений и вероломно, в нарушение всех
клятв опубликовать его в своем труде «Великое искусство». Заслугой Джероламо
Кардано было то, что, овладев решением уравнения , он пошел дальше и нашел способ решать полное
кубическое уравнение:. Оказалось, что если заменить через , то в полном уравнении
уничтожается член со второй степенью неизвестного.
История оказалась несправедливой по отношению к
Тарталье – способ решения кубического уравнения долго был известен в математике
под названием «формулы Кардано».
1.
История математики: Рыбников К. А. – М.:
Издательство МГУ, 1960.
2.
Математический словарь высшей школы: Воднев В. Т.,
Наумович А. Ф. – М.: Изд-во МПИ, 1988.
3.
Энциклопедия элементарной математики, Т.2,
Алгебра: Александров П. С., Маркушевич А. И., Хинчин А. Я. – М.:
Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1951.
4.
Математика для радиоинженеров: Андре Анго, М.:
«Наука», 1965.