Большая коллекция шпор для МАТАНа (1 семестр 1 курс)

Большая коллекция шпор для МАТАНа (1 семестр 1 курс)

Точки экстремума и экстремумы функций:

Функция u=f(Р) имеет максимум (минимум) в точке P₀(x⁰₁,...,x⁰_n), если существует такая окрестность точки P₀, для всех точек Р (x₁,...,x_n)которой, отличных от точки P₀, вы­полняется неравенство f(Р₀)>f(Р) (соответственно f(Р₀)<f(P)). Максимум или минимум функции наз. её экстремумом. Необходимое условие экстремума: Если дифферен­цируемая функция f(Р) достигает экстремума в точке P₀, то в этой точке

f'_xk(P₀)=0 для всех k=1,2,...,n {1} или df(P₀,Dx₁,...,Dx_n)=0   тождественно относительно ,Dx₁,...,Dx_n. Точки, в которых выполняются условия {1} наз. стационарными точками функции u=f(Р). Таким образом, если P₀ – точка экстремума функции u=f(P), то либо P₀ – стационарная точка, либо в этой точке функция не дифференцируема. Достаточные условия экстремума. Пусть P₀(x⁰₁,...,x⁰_n) – стационарная точка функции u=f(P), причем эта функция дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки P₀ и все её вторые частные производные непрерывны в точке P₀. Тогда: (1) если второй дифференциал d²u(P₀(Dx₁,...,Dx_n)) как функ­ция Dx₁,...,Dx_n имеет постоянный знак при всевозможных наборах значений Dx₁,...,Dx_n не равных одновременно нулю, то функция u=f(P) имеет в точке P₀ экстремум, а именно – максимум при d²u(P₀(Dx₁,...,Dx_n))<0 и минимум при d²u(P₀(Dx₁,...,Dx_n))>0; (2) если d²u(P₀(Dx₁,...,Dx_n)) является знакопеременной функ­цией Dx₁,...,Dx_n, т.е. принимает как положительные, так и отри­цательные значения то точка P₀ не является точкой экстремума функции u=f(P); (3) если d²u(P₀(Dx₁,...,Dx_n))³0 или d²u(P₀(Dx₁,...,Dx_n))£0, причем, существуют такие наборы значений Dx₁,...,Dx_n не равных одновременно нулю, для которых значение второго дифференциала обращается в нуль, то функция, u=f(P) в точке P₀ может иметь экстремум, но может и не иметь его (в этом случае для выяснения вопроса требуется дополнительное исследование). В частном случае функции двух переменных достаточные условия экстремума можно сформулировать следующим образом. Пусть P₀(x₀,y₀) – стационарная точка функции z=f(x,y) причем эта функция дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки P₀ и все её вторые частные производные непрерывны в точке P₀. Введем обозначения: A=f''_xx(x₀,y₀), B=f''_xx(x₀,y₀), C=f''_xx(x₀,y₀) D=AC–B². Тогда: [1] если D>0, то функция z=f(х,у) имеет в точке Р₀(x₀,y₀) экстремум, а именно – максимум при А<0 (С<0) и минимум при А>0 (С>0); [2] если D<0, то экстремум в точке Р₀(x₀,y₀) отсутствует; [3] если D=0, то требуется дополнительное исследование.