Свойства усредненной функции с сильной осцилляцией
Министерство
образования Российской Федерации
Башкирский
государственный педагогический университет
Дипломная квалификационная работа
Автор: Гарипов
Ильгиз.
Тема: Свойства
усредненной функции с сильной осцилляцией.
К защите допущен ____________
Заведующий кафедрой к.ф. м. н.
доцент Сафаров Т.Г.
Руководитель д.физ-мат. наук. профессор Султанаев Я.Т.
Уфа 2001
Содержание
Стр.
Введение 3
§ 1 Свойства функции . 4
§ 2 Свойства функции и ее производных. 5
2.1 5
2.2 6
2.3 где a>0 7
2.4 9
§ 3 Поведение 11
3.1 11
3.2 11
3.3 12
3.4 13
§ 4 Поведение 14
4.1 14
4.2 15
4.3 15
4.4 16
Заключение 17
Литература 18
Введение
Пусть произвольная функция, определенная на , и при
Введем в
рассмотрение функцию с помощью следующего
равенства:
(1)
Назовем эту
функцию усреднением функции
Это название
оправдано так как из (1) и теоремы о среднем для интегралов можем заключить
§ 2 Свойства функции .
1.
Если , при , то при
Доказательство:
, , " N >0, :
2.
(2)
3.
(3)
Дифференцируя формулу (1) по dx получаем
(4)
(5)
§ 2
Свойства функции и ее производных.
I) Рассмотрим вид функции для случаев когда :
2.1
2.2
2.3 где a>0;
Разделим интеграл
на два интеграла и вычислим их отдельно.
Второй интеграл
не оказывает влияния на первый, так как при функция стремится к 0.
Доказательство:
Рассматривая второй
интеграл, мы получаем:
Рассматривая
первый интеграл, получаем:
Последние
два слагаемых полученных при интегрировании содержат в произведении , то есть при возрастании x эти слагаемые будут очень быстро уменьшатся и весь интеграл
при становится очень малым по сравнению
с первой частью. Поэтому можно считать что при
Следовательно:
2.4.
Наложить на ограничение, такое чтобы присутствие не влияло на поведение
функции.
Рассматривая полученное выражение можно заметить что
становится пренебрежительно малым по
отношению к остальной части
как только . Ограничение
№1
В тоже время
Становится бесконечно малым как
только . Ограничение №2
Раскрывая в
оставшейся части скобки, по Биному Ньютона получаем, что
должен быть очень малым при то есть
так как ограниченная функция, к 0 должен стремится .
Ограничение №3
Учитывая ограничения 1, 2, 3
получаем:
Следовательно, ограничение на удовлетворяющее поставленной
задаче, при котором присутствие не влияет на поведение
функции .
§ 3 Рассмотрим поведение
функции для случаев:
3.1)
3.2)
3.3)
Вычислим отдельно интегральное выражение, стоящее в числителе:
=
=
рассматривая пределы при видим что на поведение функции оказывает
влияние только главный член
Поведение данной функции при эквивалентно
поведению функции
(*)
Вычислим интеграл в знаменателе:
=
(**)
Учитывая (*)и (**) получаем
Следовательно, по формуле (2) получаем
3.4
Отдельно вычислим числитель и знаменатель:
По ранее доказанному в пункте 2.4 мы можем сказать что второй
интеграл не оказывает влияния на поведение функции. Поэтому мы можем
утверждать, что числитель эквивалентен выражению:
Вычислим знаменатель:
Разделив интеграл на 2 интеграла, мы получаем:
По пункту 2.4 можем вывести что второй
интеграл не влияет на поведение функции при
Следовательно, знаменатель:
§4. Рассмотрим поведение второй производной
Для облегчения вычислений введем
обозначения:
При этом формула для примет вид (6)
4.1
Виду того,
что d(x) очень мал то будет
несравним с d(x) т.е.
4.2
используя
равенства, полученные в пункте 2.2 и 3.2, преобразуя данное равенство, приходим
к выражению:
(Все
выкладки приводить не буду в виду их громоздкости и сложности для восприятия.
Добавлю только что все выкладки, примененные в данном пункте полностью
повторяют ограничения и эквивалентные выражения, использованные в пунктах 2.2 и
3.2).
Отсюда
следует что
4.3
Используя
данные, полученные в п.3.3 получаем что
Возвращаясь
к п. 3.3 находим:
Вычисляя по формуле 6, получаем:
и
4.4
и
Заключение
В результате проведенного исследования
поведения усредненной функции в случае осциллирующих коэфициентов, получены
данные приведенные в следующей таблице:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|