Счётные множества
I.Введение
На каждом шагу нам приходиться сталкиваться
с тем трудно определяемым понятием, которое выражается словом совокупность.
Например, можно говорить о совокупности людей присутствующих в данный момент
времени в данной комнате, о совокупности гусей плавающих на деревенском пруду,
страусов живущих в Сахаре и тому подобное.
В каждом из этих случаев можно было бы
вместо слова совокупность употребить
слово множество. Итак, под словом множество
подразумевается совокупность, коалиция, собрание каких-то элементов
объединенных определенными свойствами или свойством.
В математике постоянно приходиться иметь
дело с различными множествами: например множество точек прямой, являющихся
вершинами какого-нибудь многоугольника, множество перестановок n элементного множества, множество сочетаний из 15 элементов по 7 и так
далее. Так что множества играют особую, даже можно сказать важную роль в
математике в частности, и в жизни человека в целом.
Изучение множеств и их свойств занимается
такой раздел математике как «теория множеств» Этот раздел имеет сравнительно
небольшую историю. Первые серьёзные работы в этой области, принадлежащие Г.
Кантору, появились в конце прошлого века. Тем немение, в настоящие время теория
множеств представляет собой весьма обширную область математики.
Одним из немаловажных понятий теории
множеств является понятие счетного множества. Но прежде чем ввести это понятие,
необходимо усвоить и разъяснить некоторые элементарные понятия и определения.
Определение 1. Множество называется
конечным, если количество элементов этого множества есть конечное число. Если
же количество элементов множества есть число бесконечное, то множество
называется бесконечным.
Так же для сравнения двух бесконечных
множеств необходимо следующие определения.
Определение 2. Пусть А и В два множества.
Правило j
которое каждому элементу а множества А соотносит один и только один элемент b множества В, причем каждый элемент bВ оказывается
соотнесенным одному и только одному аА, называется взаимно
однозначным соответствием между множеством А и множеством В.
Определение 3. Если между множеством А и
множеством В можно установить взаимно однозначное соответствие, то говорят, что
эти множества эквивалентны или, что они имеют одинаковую мощность, и обозначают
этот факт следующим образом
А ~ В.
Итак, мы обладаем математическим аппаратом
необходимым для ввода и усвоения понятия счетного множества. К чему и
приступаем.
- 1 -