(3.22)
Передаточная функция регулятора имеет вид
В этом случае передаточная функция замкнутой системы
а характеристическое уравнение
имеет корни
Повышая значение kД , можно увеличить значение подкоренного
выражения, тем самым уменьшая коэффициент колебательности или вовсе делая
систему апериодической.
Передаточная функция ошибки по задающему
воздействию
Статическая ошибка по положению
то есть дифференциальный регулятор не
оказывает никакого влияния на качество системы в установившемся режиме.
В связи с тем, что дифференцирующее звено
физически нереализуемо, на практике вместо него используется звено с
передаточной функцией
где постоянная времени τ должна быть
много меньше постоянной времени T объекта управления.
Таким образом, введение в закон управления
интегрирующего члена делает систему астатической и улучшает качество системы в
установившемся режиме, но оказывает дестабилизирующее влияние (может сделать
систему неустойчивой) и ухудшает качество системы в переходном режиме. Введение
в закон управления дифференцирующего члена оказывает стабилизирующее влияние (
может сделать неустойчивую систему устойчивой) и улучшает качество системы в
переходном режиме, не оказывая влияния на качество системы в установившемся режиме.
Управляющее воздействие в ПИ-регуляторе
вычисляется по формуле
а соответствующая ему передаточная функция
Или в другом виде
В соответствии с формулой (3.32) ПИ-регулятор
представляет собой последовательное соединение интегрирующего и форсирующего
звеньев, поэтому одновременно с повышением точности системы за счет выбора
параметра TР
могут быть обеспечены требуемые запасы устойчивости.
Дальнейшее повышение устойчивости может быть
обеспечено введением дополнительного дифференцирующего звена, тогда управляющее
воздействие определяется алгоритмом ПИД-регулятора
Передаточная функция
Выбором величин kИ, kП и kД
добиваются требуемых точностных и динамических характеристик системы.
Структурная схема ПИД-регулятора приведена на
рисунке 3.3.
Рисунок 3.3 – Структурная схема ПИД-регулятора
3.1
Настройка ПИ-регулятора
Один из простейших методов расчета параметров
ПИ-регулятора основан на заданном расположении нулей и полюсов передаточной
функции замкнутой системы. На вид переходного процесса наибольшее влияние
оказывают корни, располагающиеся ближе к мнимой оси. Пусть некоторый корень λi
– ближайший к мнимой оси корень характеристического уравнения. Тогда свободное
движение системы описывается уравнением (3.5).
Степень устойчивости η, которая
характеризует интенсивность затухания переходного процесса, напрямую влияет на
время регулирования. Если некоторому заданному времени регулирования
соответствует значение η, то для обеспечения заданного быстродействия
нужно, чтобы корни характеристического уравнения располагались в заштрихованной
области, показанной на рисунке 3.1.1,а.
Рисунок 3.1.1 – Расположение корней при
заданных устойчивости и колебательности
Вторым показателем качества является число
колебаний за время регулирования, которое оценивается степенью колебательности
Корням характеристического уравнения, которые
лежат на лучах, проведенных под углом γ=arctg(m),
соответствует степень колебательности m. Если корни расположены в заштрихованной
области, то можно считать, что в системе обеспечена заданная колебательность.
Накладывая ограничения одновременно на
быстродействие и колебательность переходного процесса, получим область
допустимого расположения полюсов передаточной функции (заштрихованная область
на рисунке 3.1.1,в).
Корень λi
должен иметь вид
и ему соответствует переходная составляющая
Характер затухания ω(t) оценивается величиной
которая называется степенью затухания (рисунок 3.1.2).
Рисунок 3.1.2 – Определение степени затухания
Подставляя значения из (3.1.3) и (3.1.4) при t=ti и t=ti+1, получается, что
Очевидно, что степень затухания ψ равна нулю в случае, когда
процесс незатухающий (система на границе устойчивости). Если процесс имеет
апериодический характер, то ψ=1. затухающий колебательный процесс
соответствует 0<ψ<1.
Оптимальным переходам процессам в большинстве случаев соответствует
значение степени затухания из диапозона
П- и И- регуляторы рассматриваются как частные случаи kИ=0 (П-регулятор) и kП=0 (И-регулятор).
Интегральный закон управления делает замкнутую систему астатической.
Качество в переходном процессе ухудшается и с определенного kИ система становится неустойчивой.
В соответствии с желаемой степенью затухания ψ определяется из
(3.1.5) величина m. Тогда условие нахождения хотя бы одного или пары
корней характеристического уравнения замкнутой системы на границе допустимой
области имеет вид
Выражение (3.1.6) получено по аналогии с критерием Найквиста для случая
нейтральной системы:
только в передаточные функции объекта и регулятора подставляется на
условие нахождения корней на мнимой оси s=jω. А
Подставим в уравнение (3.1.6) передаточную функцию регулятора (3.31) с
учетом (3.1.7), и получим уравнение
Введем обозначения
Тогда в результате решения уравнения (3.1.8) получаются следующие
формулы
Путем изменения частоты в пределах
строится зависимость kИ= kИ(kП).
Поскольку заранее неизвестно, при какой
степени затухания переходный процесс будет оптимальным, эти зависимости
строятся при ψ=0; 0,7; 0,8; 0,9. Семейство кривых kИ= kИ(kП)
приведено на рисунке 3.1.3. Линия ψ=0 соответствует границе устойчивости.
Рисунок 3.1.3 – Области
параметров настройки ПИ-регулятора
Построим зависимости kИ= kИ(kП) при ψ =0,7; 0,8; 0,9.
Текст программы m-файла:
Kp = 1;
Ki = 1;
F = [0.7 0.8 0.9];
mm = -log(1-F)/(2*3.14);
hold on;
for
i = 3:-1:1
m = mm(i);
for w =
1:1000
s = -m*w+j*w;
W = k/(T^2*s*s+2*z*T*s+1);
U = real(W);
V = imag(W);
Kp(w) = -(U+m*V)/(U^2+V^2);
Ki(w) = - V*(m^2*w+w)/(U^2+V^2);
if Ki(w)
< 0
break;
end;
end;
plot(Kp,Ki);
grid on;
end;
На рисунке 3.1.4 представлены зависимости kИ= kИ(kП)
при степени затухания ψ =0,7; 0,8; 0,9 ;
Рисунок 3.1.4 – График зависимости kИ= kИ(kП)
при ψ =0,7
Оптимальные значения настроечных параметров
для П-регулятора получаются при kИ=0 как точки пересечения кривых с осью абсцисс, для И-регулятора ( kП=0) – при пересечении с осью ординат.
Оптимальные значения параметров ПИ-регулятора определяются по кривой несколько
правее точки максимума, как это показано на рисунке 3.1.3.
Значения настроечных параметров для П- , И-
и ПИ-регуляторов, полученные по методике, основанной на заданном расположении
нулей и полюсов передаточной функции, представлены в таблицах 2,3,4
соответственно.
Таблица 2 - Значения
настроечных параметров для П- регулятора (kИ=0)
|
Степень затухания, ψ = 0,7
|
Степень затухания, ψ = 0,8
|
Степень затухания, ψ = 0,9
|
Значения настроечных параметров, kП
|
kП = 48,92
|
kП = 28,01
|
kП = 14,04
|
Таблица 3 - Значения
настроечных параметров для И- регулятора (kП=0)
|
Степень затухания, ψ = 0,7
|
Степень затухания, ψ = 0,8
|
Степень затухания, ψ = 0,9
|
Значения настроечных параметров, kИ
|
kИ = 18,81
|
kИ = 15,61
|
kИ = 10,42
|
Таблица 4 - Значения
настроечных параметров для ПИ- регулятора
|
Степень затухания, ψ = 0,7
|
Степень затухания, ψ = 0,8
|
Степень затухания, ψ = 0,9
|
Значения настроечных параметров, kП
|
kП = 35,78
|
kП = 21,00
|
kП = 11,05
|
Значения настроечных параметров, kИ
|
kИ = 244,90
|
kИ = 134,40
|
kИ = 66,19
|
3.2
Настройка ПИ- и
ПИД-регулятора
Если считать, что передаточная функция объекта
То коэффициенты ПИД-регулятора, оптимального по степеням устойчивости,
можно рассчитать по формулам:
где η – степень устойчивости, ω – параметр, пропорциональный
степени колебательности.
Как следует из формулы (3.2.4), если принять степень устойчивости
η равной величине , то получится ПИ-регулятор. Путем варьирования
величины ω в формулах (3.2.1) и (3.2.2), подбирается оптимальный
переходный процесс. Если величину ω принять равной 0, то переходный
процесс должен быть апериодическим. В этом случае η выбирается так, чтобы
коэффициент kП
был неотрицательным.
Вычислим степень устойчивости для ПИ-регулятора:
Примем величину ω равной 0. В итоге получаем, что коэффициенты
для ПИ-регулятора имеют следующие значения:
Для ПИД-регулятора степень устойчивости примем равной величине и рассчитаем коэффициенты по формулам
(3.2.6):
3.3 Автоматическая настройка регуляторов
Автоматическая настройка основана на использовании
блока Signal Constraint из раздела Simulink Response Optimization. Этот блок подключается к выходу системы. В его свойствах задаются
допустимые границы для переходного процесса, из которых не должна выходить
скорость двигателя. В командном окне Matlab задаются начальные приближенные значения
коэффициентов ПИД-регулятора, и имена этих параметров заносятся в список
настроечных параметров ( в окне блока Signal Constraint необходимо зайти в меню Optimization, пункт Tuned Parameters и добавить кнопкой Add
параметры регулятора). После этого делается запуск процесса оптимизации. В
результате определяются оптимальные для заданных границ коэффициенты.
На рисунке 3.3.1- 3.3.2 представлены схемы для
автоматической настройки ПИД-регулятора и ПИ-регулятора.
Рисунок 3.3.1 – Схема для автоматической настройки
ПИД-регулятора
Коэффициенты для ПИД-регулятора:
Рисунок 3.3.2 – Схема для автоматической настройки
ПИ-регулятора
Коэффициенты для ПИ-регулятора:
4 Выбор оптимального регулятора
Для выбора оптимального регулятора необходимо построить переходную
характеристику для каждого из рассчитанных регуляторов и получить показатели
качества. Переходная характеристика h(t) является реакцией замкнутой системы (рисунок
4.1) на выходное ступенчатое воздействие. Таким ступенчатым воздействием может
являться функция g(t)=ΩH·1(t). Характеристика h(t)
получается путем имитационного моделирования в Simulink.
Рисунок 4.1 – Определение показателей качества
Номинальное значение скорости Ωн = 83.733 рад/сек. Переходные и логарифмические характеристики для П-,
И-, и ПИ-регуляторов, рассчитанных по методике, основанной на заданном
расположении нулей и полюсов передаточной функции, представлены на рисунках
(4.2) – (4.10). По графикам переходных процессов определяем величину
перерегулирования ϭ, которая является отношением величины “всплеска” к
величине установившегося значения; время регулирования tРЕГ, колебательность переходного процесса m и
ошибка по положению eуст. С помощью блоков Simulink определяем значения квадратичной и абсолютной
интегральных ошибок.
Для системы с П-регулятором ошибка eуст вычисляется по формуле (3.14), а для систем с И-, с
ПИ- и с ПИД- регуляторами она равна нулю. Запасы устойчивости по амплитуде и по
фазе вычисляются по следующим формулам:
где a – запас устойчивости по амплитуде, дБ, γ – запас
устойчивости по фазе, °, A(ω) –ЛАЧХ системы, φ(ω) – ЛФЧХ
системы, ωср – частота среза, рад/сек, ωп –
частота пересечения ЛФЧХ, рад/сек.
Рисунок 4.2 – Переходная и логарифмические
характеристики системы с П-регулятором при ψ = 0,8
Из рисунка 4.2 следует:
Время регулирования tРЕГ = 0,3 сек;
Колебательность переходного процесса
Величина перерегулирования = 0,43;
Ошибка по положению
Запас устойчивости по фазе: , на рад/сек;
Запас устойчивости по амплитуде : дБ на рад/сек.
Рисунок 4.3 – Переходная и логарифмические
характеристики системы с И-регулятором при ψ = 0,8
Из рисунка 4.3 следует:
Время регулирования tРЕГ = 2,5 сек;
Колебательность переходного процесса
Величина перерегулирования = 0,45;
Ошибка по положению
Запас устойчивости по фазе: , на рад/сек;
Запас устойчивости по амплитуде : дБ на рад/сек.
Рисунок 4.4 – Переходная и логарифмические
характеристики системы с ПИ-регулятором при ψ = 0,8
Из рисунка 4.4 следует:
Время регулирования tРЕГ = 0,3 сек;
Колебательность переходного процесса
Величина перерегулирования = 0,43;
Ошибка по положению
Запас устойчивости по фазе: , на рад/сек;
Запас устойчивости по амплитуде : дБ на рад/сек.
Рисунок 4.5 – Переходная и логарифмические
характеристики системы с ПИД-регулятором с коэффициентами KП=20,4239; KИ=310,5654; KД=0,3332
Из рисунка 4.5 следует:
Время регулирования tРЕГ = 0,4 сек;
Колебательность переходного процесса
Величина перерегулирования = 0,57;
Ошибка по положению
Запас устойчивости по фазе: , на рад/сек;
Запас устойчивости по амплитуде : дБ на рад/сек.
Рисунок 4.6 – Переходная и логарифмические
характеристики системы с ПИ-регулятором с коэффициентами KП=1,2696; KИ=11,5024
Из рисунка 4.6 следует:
Время регулирования tРЕГ = 0,4 сек;
Колебательность переходного процесса
Величина перерегулирования =0;
Ошибка по положению
Запас устойчивости по фазе: , на рад/сек;
Запас устойчивости по амплитуде : дБ на рад/сек.
На рисунках (4.7), (4.8) изображены переходные и логарифмические
характеристики для ПИ- и ПИД-регуляторов при автоматической настройке
регуляторов.
Рисунок 4.7 – Переходная и логарифмические характеристики
системы с ПИД-регулятором с коэффициентами KП=9,207; KИ=31,702; KД=127,664
Из рисунка 4.7 следует:
Время регулирования tРЕГ = 2,5 сек;
Величина перерегулирования = -0,04;
Ошибка по положению
Запас устойчивости по фазе: , на рад/сек;
Запас устойчивости по амплитуде : дБ на рад/сек.
Рисунок 4.8 – Переходная и логарифмические
характеристики системы с ПИ-регулятором с коэффициентами KП=2,923; KИ=18,035
Из рисунка 4.8 следует:
Время регулирования tРЕГ =0,6 сек;
Величина перерегулирования 0,005;
Ошибка по положению
Запас устойчивости по фазе: , на рад/сек;
Запас устойчивости по амплитуде : дБ на рад/сек.
В таблице 5 представлены показатели качества для всех рассчитанных
регуляторов.
Таблица 5 – Показатели
качества
Тип регулятора
|
Время регули-рования, tРЕГ , сек
|
Величина перерегу-лирования,
|
Колебате-льность переход-ного процесса, m
|
Ошибка по положе-нию, eУСТ
|
Абсо-лютная интег-ральная ошибка, I1
|
Квадра-тичная интегра-льная ошибка, I2
|
Запас устойчи-вости по амплитуде, а, дБ
|
Запас устойчи-вости по фазе, γ,
|
0,3
|
0,43
|
0,2561
|
4,4512
|
1,84
|
0,35
|
42,7
|
29
|
И-регулятор
|
2,5
|
0,45
|
0,2561
|
0
|
0,91
|
0,89
|
10,4
|
28
|
ПИ-регулятор
|
0,3
|
0,43
|
0,2561
|
0
|
0,069
|
0,021
|
45,2
|
28
|
ПИД-регулятор с KП=20,4239; KИ=310,5654; KД=0.3323
|
0,4
|
0,57
|
|
0
|
0,069
|
0,025
|
85,2
|
21
|
ПИ-регулятор с KП=1,2696; KИ=11,5024
|
0,4
|
0
|
|
0
|
0,48
|
0,46
|
69,2
|
179
|
ПИД-регулятор при автоматической настройке
|
2,5
|
- 0,04
|
-
|
0
|
0,598
|
0,243
|
37,5
|
81
|
ПИ-регулятор при автоматической настройке
|
0,6
|
0,005
|
-
|
0
|
0,3
|
0,187
|
62,4
|
68
|
Выбором типа регулятора решают задачу структурного синтеза системы. К
процессу управления предъявляют следующие требования оптимальности:
- затухание переходного процесса должно быть интенсивным;
- максимальное отклонение регулируемой величины должно быть наименьшим;
Продолжительность переходного процесса должна быть минимальной.
Таким образом, настроечные параметры регулятора, обеспечивающие близкий
к оптимальному процесс управления – это ПИД-регулятор с коэффициентами KП=20,4239 и KИ=310,5654; KД=0.3323. Его характеристики:
Время регулирования tРЕГ = 0,4 сек;
Колебательность переходного процесса
Величина перерегулирования =0,57;
Ошибка по положению
Запас устойчивости по фазе: , на рад/сек;
Запас устойчивости по амплитуде : дБ на рад/сек.
Абсолютная интегральная ошибка I1 = 5,36;
Квадратичная интегральная ошибка I2 = 311,4.
Заключение
В ходе выполнения курсового проекта был изучен объект управления –
двигатель постоянного тока. По паспортным данным двигателя была рассчитана его
передаточная функция в следующем виде:
Также была промоделирована работа двигателя с различными нагрузками.
Моделирование проводилось в среде Matlab+Simulink.
Используя получившуюся модель, была
произведена оптимальная настройка регулятора. Для этого, используя законы
регулирования линейных систем (И-закон, П-закон, ПИ-закон, ПИД-закон) были
определены оптимальные значения параметров.
По частотным характеристикам системы для
каждого типа регулятора были определены запасы устойчивости по амплитуде и по
фазе. По переходным характеристикам определили время регулирования ,величину перерегулирования
, колебательность
переходного процесса ,
статическую ошибку по положению . Проанализировав полученные данные, пришел к
выводу, что ПИД-регулятор наиболее приемлем для данного объекта.
Список литературы
1
Волков Н.И. Электромагнитные устройства автоматики
/ Н.И.Волков, В.П. Миловзоров. М.: Высшая школа, 1986. 335 с.
2
Чиликин М.Г. Общий курс электропривода / М.Г.
Чиликин, А.С. Сандлер. М.: Энергоатомиздат, 1981. 576с.
3
Герман-Галкин С.Р. Компьютерное моделирование
полупроводниковых систем / С.П. Герман-Галкин. СПб:БХВ-Петербург, 2001.320 с.
4
Дорф Р. Современные системы управления / Р.Дорф,
Р.Бишон. М.: Лаборатория базовых знаний, 2004.832 с.
5
Ким Д.П. Теория автоматического управления. Т.1.
Линейные систем ы / Д.П. Ким. М.: Физматлит, 2007.312 с.
6
Стефани Е.П. Основы расчета настройки регуляторов
теплоэнергетических процессов / Е.П. Стефании. М.: Энергия, 1972. 376 с.
7
Потемкин В.Г. Вычисления в среде Matlab / В.Г. Потемкин. М.: Диалог-Мифи, 2004. 720 с.
8
Терехов В.М. Системы управления электроприводов /
В.М. Терехов, О.И. Осипов. М.: Академия, 2005. 340 с.
Похожие работы на - Изучение обьекта и синтез регулятора системы управления
|