Независимость событий в примере Бернштейна с правильным тетраэдром
Крымский Экономический Институт
Киевского Национального Экономического
Университета
Реферат по дисциплине: «Теория вероятности и
математическая статистика»
на тему:
«Независимость событий в примере Бернштейна с
правильным тетраэдром»
Выполнил: Апаз С.В.
группа ЭП – 21
Симферополь
— 2002
Независимость событий
Понятие независимости является
одним из важнейших понятий теории вероятностей.
События А и В называются
независимыми, если
Р(АВ) =
Р(А)Р(В).
(1.1)
В случае Р(А) = 0 и Р(В) >
0 эквивалентны любому из равенств
Р(А|В) = Р(А), Р(В|А) =
Р(В). (1.2)
Определение независимости в
форме (1.1) симметрично относительно А и В; условие (1.1) несколько шире, чем
условия (1.2).
Если математическая модель,
описывающая некоторые опыт, подобран достаточно хорошо, то независимым события
реального опыта соответствуют событиям модели, независимые в смысле определения
(1.1). Пусть, например, опыт заключается в том, что один раз бросают две
симметричные монеты. В обозначениях положим Ω = {ГГ, РР, РГ, ГР}; А =
{ГГ, ГР} – первая монета выпала гербом вверх, В = {РГ, Г} – вторая монета
выпала гербов вверх. Предполагая равновероятность элементарных событий, получим
Таким образом, Р(АВ) =
Р(А)Р(В). события А и В оказались независимыми в смысле определения (1.1).
Условная вероятность.
Независимость событий и испытаний.
Начнем с примеров. Пусть
эксперимент состоит в троекратно подбрасывании симметричной монеты. Вероятность
того, что герб выпадет ровно один раз, т.е. что произойдет одно из элементарных
событий (грр), (ргр), (ррг), в классической схеме равно 3/8. обозначим это
событие буков А. Предположим теперь, что об исход эксперимента дополнительно
известно, что произошло событие
Какова вероятность события А
при этой дополнительной информации? Событие В состоит из 4 элементарных
исходов. Событие же А составляется из 3 исходов события В. в рамках
классической схемы естественно принять новую вероятность события А равной ¾.
Рассмотрим еще один более
общий пример. Пусть задана классическая схема с n исходами. Событие А состоит из r исходов, событие В из m исходов, а событие АВ содержит k исходов. Вероятность события А при
условии, что произошло событие В, по аналогии с предыдущим примером,
естественно определить следующим образом:
Полученное отношение равно , так как
Р(АВ) = k/n
Р(В) = m/n.
Мы можем перейти теперь ко
общему определению.
Пусть задано вероятностное
пространство áΩ, ξ, Рñ и пусть А и В – произвольны события.
Если Р(В) > 0, то условная вероятность события А при условии , что произошло
событие В, по определению полагается равной
События А и В называются
независимыми, если
Р(АВ) = Р(А)
Некоторые свойства
независимых событий.
1)
Если Р(В)
> 0, то независимость А и В эквивалентна равенству
Р(А/В) = Р(А)
Доказательство очевидно.
2)
Если А и
В независимы, от независимы Ā и В.
Действительно,
Р(ĀВ) = Р(В – АВ) = Р(В)
– Р(АВ) = Р(В)(1 – Р(А)) = Р(Ā)Р(В)
3)
Пусть
событие А и В1 независимы и независимы так же
события А и В2, при этом В1В2
= Ø. Тогда независимы события А и В1+В2.
Следующие равенства
доказывают это свойство:
Как мы увидим ниже,
требование В1В2 = Ø здесь существенно.
Пусть событие А означает
выпадение герба в первом из двух бросаний симметричной монеты, событие В –
выпадение решетки во втором бросании. Вероятность каждого из этих событий равна
½. Вероятность пресечения АВ
будет равна
Таким образом, события А и В
независимы.
Пусть событие А состоит в
том, что случайно брошенная точка попала в области, распложенную правее
абсциссы а1, событие В – в том, что точка попал
в область расположенную выше ординаты b.
На рисунке обе области
заштрихованы. Событие АВ на рисунке заштриховано в клеточку. Очевидно, Р(АВ) =
Р(А)Р(В) и, значит, события А и В независимы.
Легко проверить также, что
ели событие В означает, что брошенная точка попала треугольник FCD, то событие А и В будут уже зависимыми.
События В1,В2,…Вn независимы в совокупности, если для
любых 1 ≤
i1<i2<…<ir
≤ in=2,3,…, n
Попарной независимости событий
недостаточно для независимости n в
совокупности. Это показывает следующий пример.
Рассмотрим такой эксперимент.
На плоскость бросается тетраэдр, три грань которого покрашены соответственно в
красный, синий и зеленый цвета, а на четвертую нанесены все три цвета событие К
означает, что при бросании тетраэдра на плоскость выпала грань, содержащая
красный цвет, событие С – грань, содержащая синий цвет, и событие З – грань,
содержащихся зеленый цвет. Так как каждый из трех цветов содержится на двух
гранях, то Р(К) = Р(С) = Р(З) = ½. Вероятность пересечения любой пары веденных событий равна ¼ = ½ ´ ½ , так как любая пара цветов
присутсвует только для одной грани. Это означает попарную независимость всех
трех событий.
Но:
Список
использованной литературы:
1. Хеннекен П.А. «Теория
вероятности»
2. Гурский Е.И. «Теория
вероятности и математическая статистика».
3. Барковский В.В. «Теория
вероятности и математическая статистика».