Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел
Содержание
Введение 3
Основные
понятия и определения 4
Глава
1. Делимость в мультипликативных полугруппах 7
§1. Свойства НОД и НОК_ 7
§ 2. Строение числовых НОД и НОК полугрупп_ 11
Глава
2. Мультипликативные полугруппы неотрицательных чисел со свойствами (*) и (**) 15
Библиографический
список 19
В математических
исследованиях множество действительных чисел R очень популярно как бескрайний источник простых примеров и как
множество, использующееся во многих структурах.
Рассматриваемое в
данной работе множество неотрицательных действительных чисел – это
интересное легко интерпретируемое подмножество R.
Как известно, различные
подалгебры множества R+ (например, полугруппа N) исследовались ранее. В этой работе
мы продолжим изучение мультипликативных полугрупп неотрицательных действительных
чисел с 0 и 1.
Работа состоит из
двух глав. Первая глава содержит некоторые свойства наибольшего общего делителя
и наименьшего общего кратного элементов целой полугруппы (§1). В этой же главе
говорится о строении НОД и НОК полугрупп. Во второй главе получена топологическая
классификация мультипликативных полугрупп SR+, обладающих одним из введенных
специфических свойств:
(*) (a<b);
(**) (0<a<b).
Определение 1.
Пусть Х –
множество произвольной природы и t – семейство подмножеств Х, называемых открытыми,
удовлетворяющее условиям:
1) пересечение конечного числа множеств
из t
принадлежит t,
2) объединение любого множества
множеств из t принадлежит t,
3) и ÆÎt.
Тогда называется топологическим
пространством, t – топологией на Х.
Определение 2. Дополнения открытых множеств
в Х называются замкнутыми множествами.
Определение 3. Пусть – топологическое пространство и . Введем на множестве Х1
топологию t1. Открытыми в пространстве назовем все множества вида , где U – произвольное открытое множество в Х.
Тогда пространство называется
подпространством топологического пространства , а топология t1 – топологией, индуцированной
топологией t на множество Х1.
Определение 4. Семейство открытых множеств
в топологическом пространстве называется базой топологии t, если любое открытое
множество в Х является объединением множеств из этого семейства.
Пример. На числовой прямой R с естественной (евклидовой)
топологией открытыми множествами являются всевозможные объединения интервалов,
они и образуют базу этой топологии. На множестве неотрицательных чисел R+ эта топология индуцирует топологию,
в которой открытым множеством будет, например, R+Ç (-1, 1).
Определение 5. Пространство Х1 называется
плотным подпространством пространства Х, если любое непустое
открытое множество в Х содержит точки множества Х1.
Очевидно, Х1
плотно в Х, если каждая точка подпространства Х1
является предельной точкой множества Х.
Определение 6.
Множества в
топологическом пространстве, являющиеся одновременно открытыми и замкнутыми,
называются открыто-замкнутыми.
Определение 7.
Топологическое
пространство Х называется связным если открыто-замкнутыми
множествами в нем являются лишь Х и Æ.
Определение 8.
Множество Х1
в топологическом пространстве Х называется связным, если
оно связно как топологическое подпространство пространства Х.
Примеры:
1. Множество точек плоскости
является связным, если в нем любую пару точек можно соединить кривой.
2. На числовой прямой связными
множествами являются лишь промежутки.
Определение 9. Топологическое пространство
называется нульмерным, если оно обладает базой из открыто-замкнутых множеств.
Пример. Дискретное топологическое
пространство, в котором все его подмножества являются открытыми, – нульмерно.
Далее везде будем
обозначать символом S мультипликативную
полугруппу.
Определение 10. Множество S с бинарной операцией умножения × называется мультипликативной
полугруппой, если эта операция обладает свойством ассоциативности, т.е. .
Определение 11. Элемент bS называется делителем элемента аS, если для
некоторого . При
этом говорят, что делится
на , или делит (|).
Определение 12. Общий делитель элементов и , делящийся на любой их общий
делитель, называется наибольшим общим делителем элементов и и обозначается НОД.
Определение 13. Элемент S называется кратным элементу S, если a делится на b.
Определение 14. Общее кратное элементов и , на которое делится любое их общее
кратное, называется наименьшим общим кратным элементов и и обозначается НОК.
Определение 15. Полугруппа S называется НОД-полугруппой
(НОК-полугруппой), если любые два элемента из S имеют наибольший общий делитель
(наименьшие общее кратное).
Определение 16. Элемент из S называется неприводимым, если
он имеет ровно два делителя 1 и а. Неприводимые элементы не представимы
в виде произведения неединичных элементов, т.е. если .
Определение 17. Элемент из S называется простым, если . Очевидно, простые
элементы неприводимы.
Определение 18. Полугруппа S называется топологической
полугруппой, если на множестве S введена топология, и топологическая и алгебраическая структуры в S согласованы, т.е.
1)
áS, ×ñ– полугруппа;
2)
S – топологическое пространство;
3)
полугрупповая
операция × непрерывна в S:
.
§1. Свойства НОД и
НОК
Пусть S – коммутативная мультипликативная
несократимая полугруппа с 1 и без делителей единицы. Такие полугруппы
называются целыми, или коническими.
Элементы и из S называются взаимно простыми,
если НОД(,)=1.
Предварительно
рассмотрим простейшие свойства отношения делимости в целых полугруппах.
Свойства
делимости в целых полугруппах
(1) ;
(2) – рефлексивность;
(3) – антисимметричность;
(4) – транзитивность;
(5) ;
(6) ;
(7) Любой
простой элемент неприводим;
(8) р
неприводим Û ;
Свойство 1. НОД и НОК нескольких
элементов определены однозначно, если существуют.
Доказательство.
Проведем
доказательство для НОД двух элементов а и b из S. Пусть (a,b) и (a,b). Тогда из определения НОД
следует и . По свойству
антисимметричности имеем .
Свойство 2. .
Доказательство.
Импликации
и очевидны. Пусть , т.е. для некоторого . Очевидно, b – общий делитель а и b. Возьмем произвольный общий делитель
с элементов а и b. Для него существуют такой элемент , что и . Таким образом, с делит b. Это и означает, что . Аналогично
доказывается .
Следствие 1. .
Следствие 2. и .
Свойство 3. и .
Доказательство следует из коммутативности
операции умножения и свойств делимости.
Свойство 4. .
Доказательство.
Обозначим d1=НОД(НОД(a,b),c). Так как d1 является общим делителем НОД(a,b) и c, то d1 – общий делитель и для элементов a,b и c. Верно и обратно: любой общий делитель этих трех элементов
является общим делителем для НОД(a,b) и
c. Аналогичным свойством
обладает и элемент d2=НОД(a, (НОД(b,c)). Тогда элементы d1 и d2 делят друг друга. По свойству антисимметричности делимости
получаем d1=d2.
Свойство 5. .
Свойство 6. Если элементы а и b не взаимно просты, то а и b имеют общий делитель, не равный 1.
Доказательство.
По условию НОД(a,b)=d¹1. Тогда по определению d и есть не равный единице общий
делитель а и b.
Свойство 7. =.
Доказательство. Обозначим d=НОД(a,b). По
свойству (6) делимости элемент сd делит
любой общий делитель элементов ас и bс, следовательно, является их НОД. Свойство доказано.
Свойство 8. Если , то .
Доказательство.
Из условия следует, что d делит любой общий делитель элементов
а и b и . Тогда по свойству (6) делимости элемент делит любой общий
делитель элементов ,
следовательно, является их НОД. Свойство доказано.
Свойство 9. Если и , то .
Доказательство. Пусть НОД и НОД(а,b) = 1, тогда среди
делителей элементов b и с нет делителей
элемента а. Следовательно, и среди делителей элемента bc нет делителей элемента а, что
и означает, что .
Свойство 10. Если , то для любых N.
Доказательство. Докажем, что методом
математической индукции. Пусть m = 1, тогда по условию, т.е. база индукции верна.
Предположим, что для
всех k < m. Покажем, что при k = m. по свойству (10) для с = b. Отсюда, для всех N. по
свойству 3 делимости. Аналогичными рассуждениями получаем для любого N. Следовательно, .
Свойство 11. Если , то для любого .
Доказательство. Пусть , тогда а = sd и c = td для некоторых s,tS таких, что НОД(s,t) = 1. Поскольку , то НОД(s,b) = 1 и по свойству 9 НОД(s,tb) = 1.
Следовательно, .
Свойство доказано.
Свойство 12. Существование НОК(a,b) влечет существование НОД(a,b) и равенство НОД(a,b) НОК(a,b) = ab.
Доказательство.
Если хотя бы
одно из чисел или
равно 0, то и равенство справедливо.
Пусть элементы и
ненулевые и . Поскольку - общее кратное чисел и , то для некоторого . Так как и , то - общий делитель и . Докажем, что делится на любой общий делитель элементов и . Пусть - произвольный общий делитель чисел
и , т.е. и для некоторых . Поскольку - общее кратное элементов и , то . Так как , то для некоторого . Отсюда . Следовательно, , и, значит, НОД().
Предложение 1. Полугруппа является НОК-полугруппой
тогда и только тогда, когда есть НОД-полугруппа.
Доказательство. По свойству 12 достаточно
доказать, что любая НОД-полугруппа является НОК-полугруппой. Пусть есть НОД-полугруппа.
Возьмем произвольные .
Если хотя бы одно из чисел равно 0, то . Рассмотрим случай и . Обозначим . Тогда и для некоторых . Поскольку по свойству 7, то . Положим . Число является общим кратным элементов и . Осталось показать, что на делится любое общее
кратное и . Возьмем произвольное
общее кратное элементов
и , т. е. для некоторых . Тогда , т.е. (поскольку ). По свойству 11 имеем , значит, для некоторого . Поэтому , т.е. .
Далее будем
рассматривать множество всех неотрицательных действительных чисел R+ и мультипликативную полугруппу SR+, содержащую 0 и 1, с топологией, индуцированной топологией
числовой прямой.
Лемма 1. Если S связно, то S= или S=R+.
Доказательство.
Пусть S связное множество в R+. Тогда S является промежутком. Поскольку и , то . Если в S нет элемента c > 1, то . В противном случае числа (N) принимают сколь угодно большие значения. Поскольку S – промежуток, то для всех N. Отсюда R+.
Лемма 2. Если несвязно, то .
Доказательство.
Предположим,
что . Тогда
в силу несвязности существуют
такие числа , что
и . Так как , то . Тогда . Полученное противоречие завершает
доказательство.
Лемма 3. Если , то или =R+.
Доказательство.
Очевидно, - полугруппа. Пусть и . Тогда существует элемент . Докажем, что . Возьмем произвольное . Пусть натуральное N таково, что . Тогда из следует . Отсюда . Лемма доказана.
Лемма 4. Пусть S – НОД-полугруппа и пространство S несвязно. Тогда:
1)
(0,с)S для любого ,
2)
если
, то и для любого .
Доказательство.
1) Если в
интервале (0,1) нет элементов из S, то заключение очевидно. Пусть (0,1)ÇS¹Æ. Предположим, что (0,c)S для некоторого . Не теряя общности,
будем считать, что . Так как S несвязно, то по лемме 2 существует s[0, 1]\S. Возьмем в S ненулевой элемент и положим b=asS. Пусть d=НОД(a,b).
Поскольку 0<s<1, то sn0 при n. Тогда sN < c для некоторого натурального N, и, значит, sNS. По свойству 8, пункт (3), НОД(a/d, b/d)=1. Поскольку b/d:a/d=sS, то элемент a/d необратим в S. Очевидно, необратимым является и (a/d)N. По свойству 11, пункт (5), имеем НОД((a/d)N, (b/d)N)=1. Из (b/d)N:((a/d)N=sNS следует, что НОД((a/d)N, (b/d)N)=(a/d)N. Значит, элемент (a/d)N ассоциирован с 1, т. е.
обратим. Получили противоречие. Следовательно, (0, с)S для любого .
2) Если , то заключение
справедливо. Пусть и
. Тогда по лемме
3 существует s.
Предположим, что для
некоторого с >1. Возьмем в S элемент и
положим b=asS. Поскольку s>1, то sn+¥ при n. Следовательно, sN>c для некоторого натурального N, и, значит, sNS. Повторяя рассуждения, проведенные выше, заключаем: для любого .
Предложение 2. Пусть S – НОД-полугруппа. Если пространство S несвязно и , то S нульмерно.
Доказательство. Докажем, что при выполненных
условиях в любом интервале , где , есть точки, не принадлежащие S. Доказывая от противного,
предположим, что [a,b]S для некоторых . Возможны два случая.
Случай 1. Пусть
0<a<. Докажем, что найдется n0N, для которого ab. В самом деле, допуская, что b<a для всех nN и, переходя в неравенстве b<a к пределу при n, получили бы ba<b.
Откуда b>a для всех натуральных n>n0. Тогда что невозможно по лемме 4.
Случай 2. Пусть . Возьмем такое число с > a, чтобы 1<c<b. Рассуждая, как и в случае 1, получаем cb для некоторого n0N. Тогда что также невозможно по лемме 4.
Докажем, что S нульмерно. Пусть V – произвольное открытое множество в S и . Требуется показать, что существует такое
открыто-замкнутое в S множество U, что . Поскольку топология в S индуцируется топологией числовой
прямой, то существуют такие числа a и b , что . Если , то это и есть открыто-замкнутое множество U. Пусть левее s в интервале нет точек множества S, а правее – есть, и точка с -
одна из них. По доказанному выше существует точка , такая, что . В этом случае – искомое открыто-замкнутое множество U. Аналогично рассматривается случай,
когда левее точки s в интервале есть точки множества S, а правее нет, и случай, когда
интервал содержит
точки из S и справа и слева от s. Предложение доказано.
С помощью
предложения 2 можно получить следующую топологическую классификацию числовых
НОД-полугрупп.
Предложение 3. Любая НОД-полугруппа S относится к одному из следующих
классов:
1.
S связно.
2.
S нульмерно, замкнуто в R+ и 0 – предельная точка для
S.
3.
S нульмерно, не замкнуто в R+ и 0 – предельная точка для
S.
4.
Точка
0
изолирована в S.
Доказательство.
По лемме 1
существуют полугруппы ,
которые являются связными множествами. Пусть несвязно. Если =Æ, то 0 – изолированная точка. Если
существует элемент , то для любого N и последовательность сходится к 0. Следовательно, 0 – предельная
точка для S, множество при этом может быть как
замкнутым в R+, так и не замкнутым.
Предложение доказано.
со
свойствами (*) и (**)
В этой главе на
основе предложения 2 дадим топологическую классификацию полугрупп S, которые обладают одним из следующих
свойств:
(*) (a<b);
(**) (0<a<b).
Лемма 8. Полугруппа S, удовлетворяющая хотя бы одному из
свойств (*),
(**) является НОД-полугруппой и НОК-полугруппой. При этом, в первом случае
НОД(a,b)= max{a,b}, НОК(a,b)= min{a,b} для любых a,bS, а во втором случае – НОД(a,b)= min{a,b}, НОК(a,b)= max{a,b}, если числа и не равны нулю.
Доказательство. Пусть полугруппа S обладает свойством (*). Покажем, что
любые два элемента имеют
НОД и НОК. По свойству (*) a = и S. Получили, что элемент b является делителем a. Следовательно, по свойству 2
делимости НОД(a,b) = b = max{a,b} и НОК(a,b) = а = min{a,b}. Аналогичными рассуждениями
можно показать, что если полугруппа S обладает
свойством (**), то для любых ненулевых элементов и НОД(a,b)= min{a,b}, НОК(a,b)= max{a,b}. Пусть хотя бы одно из чисел а или b равно 0, например, b. Тогда НОД(a,b) = НОД(а,0) = а и НОК(a,b) = НОК(а,0) = а.
Лемма 9. Если в полугруппе S со свойством (*) существует
элемент c > 1, то S \ {0} – группа.
Доказательство. Докажем, что в S произвольный ненулевой элемент a < 1 обратим. Элемент acn > 1 для некоторого nN. Тогда 1 / acn S в силу свойства (*). Откуда 1 / a = (1 / acn) cn S.
Предложение 4. Любая полугруппа S со свойством (*) относится к
одному из следующих классов:
1.
S = [0,1].
2.
S = R+.
3.
S = {rn | n = 0,1,2,…}, где 0 < .
4.
S = {rn | nZ}, где 0 < .
5.
S – нульмерное плотное
подпространство в [0,1].
6.
S – нульмерное плотное подпространство в
R+.
7.
S = {0,1}.
Доказательство. Если связно, S= или S=R+
по лемме 1.
Пусть S несвязно. Поскольку полугруппа {0}È[1,+) не обладает свойством (*), то S нульмерно. Предположим сначала, что S замкнуто (в R+). Если в S ровно два элемента, то S = {0,1}. Пусть поэтому . Покажем, что точка 1
изолирована в S. Предположим, что это не
так. Тогда в S существует строго
возрастающая последовательность (еn), сходящаяся к 1. Так как S замкнуто и несвязно, то в (0,1) найдутся такие элементы c < d, что (c,d) = по лемме 4. В то же время
строго возрастающая последовательность (en,d) элементов из S сходится к числу d. Противоречие. Следовательно, 1
является изолированной точкой в S. Обозначим .
Тогда . Возьмем произвольный
ненулевой элемент из
. Для него при некотором N. По свойству (*) получаем и . Поскольку , то .
Тогда в случае S имеем 0,1,2,…, а в противном случае Z по лемме 9.
Пусть S нульмерно и не замкнуто. Существует
монотонная последовательность чисел 0аnS, сходящаяся к некоторому аS. Пусть bn = an / an+1, если (an) возрастает, и bn = an+1 / an, если она убывает. Тогда bnS (N) и bn1 при . Возьмем произвольное число с(0,1). Для каждого N найдется такое k(n)N, что . Тогда имеем и .
Следовательно,
числа N из образуют плотное подмножество в [0,1]. Если S, то получаем случай 5. Если же S, то по лемме 9 получаем
случай 6. Предложение доказано.
Предложение 5. Любая полугруппа S со свойством (**) относится к одному из
следующих классов:
1.
S = R+.
2.
S = {rn | nÎN}, где .
3.
S = {rn | nZ}, где .
4.
S\{0} – нульмерное плотное
подпространство в [1,).
5.
S – нульмерное плотное подпространство в
R+.
6.
S = {0,1}.
7.
È[1,+¥).
Доказательство. Пусть связно. Поскольку полугруппа [0,1]
не обладает свойством (**), то по лемме 1 получаем S=R+.
Очевидно, является полугруппой со
свойством (**).
Пусть далее несвязно и . Тогда нульмерно по предложению 2.
Пусть замкнуто и Æ. Как и выше, доказывается,
что 1 – изолированная точка. Обозначим и . Тогда , . Так как замкнуто, то . Из свойства (**) следует, что . Из неравенства по доказанному выше
получаем: для
некоторого натурального N.
Поскольку , то . В этом случае Z.
Пусть не замкнуто и Æ. Тогда существует монотонная
последовательность чисел ,
сходящаяся к некоторому .
Пусть , если
последовательность элементов убывает, и , если она возрастает. Тогда для всех N и при . Возьмем произвольное число . Для каждого N найдется такое N, что .
Тогда имеем и .
Следовательно,
числа N из образуют плотное подмножество в [1,+ ¥) (случай 4).
Если не замкнуто и Æ, то аналогичные рассуждения
показывают, что S – плотное подпространство в R+.
Следствие 1. Любая полугруппа S, обладающая свойствами (*) и (**)
относится к одному из следующих классов:
1.
S = R+.
2.
S – нульмерное плотное подпространство в
R+.
3.
S = {0,1}.
1.
Варанкина,
В.И., Полукольца непрерывных неотрицательных функций: делимость, идеалы и
конгруэнции [Текст] // В. И. Варанкина, Е. М. Вечтомов,
И. А. Семенова / Фундаментальная и прикладная математика. 1998.
Т. 4. № 2. С 493-510.
2.
Курош,
А.Г. Лекции по общей алгебре [Текст] / А. Г. Курош. – М.: Наука, 1973.