Великая теорема Ферма – два коротких доказательства
Великая теорема Ферма – два коротких доказательства
Бобров А.В.
123098, г. Москва, ул. Маршала Новикова, д.10, корп.
1, кв. 15
Контактный телефон – 193-42-34
Последняя теорема Ферма, иногда называемая
Великой, формулируется следующим образом:
В равенстве числа и не могут быть одновременно целыми
положительными, если .
Предположим,
такие числа существуют. Тогда должны выполняться следующие условия:
·
Равенство справедливо для
взаимно простых, не имеющих общих целых множителей, кроме 1, чисел и , т.е. два числа – всегда нечетные.
·
Существуют числа и , или , то есть для произвольно выбранных
натуральных существует
бесконечное множество рациональных, действительных или комплексных чисел и , удовлетворяющих приведенному
равенству, если в этом множестве выполнимы арифметические действия. Для целых числа и также будут целыми.
Вариант№1
Равенство
(1)
путем
последовательного деления на числа и всегда преобразуется в два многочлена (уравнения)
-ой степени
относительно :
(2)
(3)
Равенства (2) и (3)
получены путем тождественных преобразований равенства (1), т.е. должны
выполняться при одних и тех же значениях целых положительных чисел и . По определению, необходимым и
достаточным условием тождественности двух многочленов над некоторым числовым
полем (в нашем случае – над множеством целых чисел) является равенство
коэффициентов членов, содержащих одни и те же аргументы в одинаковых степенях,
то есть должно выполняться:
,
, … , (4)
Из (1) и (4) следует , то есть число , как общий арифметический корень
уравнений (1), (2) и (3) не может быть рациональным при целых , , и .
Из равенства
свободных членов следует:
, или , или
(5)
(6)
или, если , сократив на , получим:
(7)
Из равенства
(7) следует, что для числа
и не могут быть одновременно
положительными.
Представленные
преобразования позволяют сделать следующие выводы:
·
для тождественных над
множеством рациональных чисел многочленов (2) и (3) при число , как общий арифметический корень уравнений
(1), (2) и (3), не может быть рациональным при целых положительных , , и ;
·
многочлены (2) и (3) для и натуральных и не тождественны над множеством
рациональных чисел, если делители и равенства (1) являются иррациональными,
откуда следует иррациональность числа ;
·
числа , и в равенстве (1) для не могут быть одновременно
рациональными.
Для противоречие исчезает,
коэффициенты при равны
1, а равенство свободных членов после подстановки значений и обращается в тождество:
. (8)
Если правую
и левую части равенства (5) обозначить соответственно через и , где и - целые положительные числа, то многочлены
(2) и (3) преобразуются в квадратные уравнения относительно :
(9),
где неизвестное обозначено общепринятым
образом через ,
то есть .
Из условий эквивалентности
или анализа причин неэквивалентности этих уравнений следуют те же выводы.
Это
доказательство опубликовано в 1993 г. в журнале РАН «Вопросы истории
естествознания и техники», №3.
Со стороны
оппонентов не поступило никаких возражений по существу, кроме утверждения, что
в используемых для доказательства уравнениях известные и неизвестные величины зависят
друг от друга – как будто может быть иначе. Любое аналитическое выражение, в
котором присутствуют известные и неизвестные величины, есть выражение
зависимости между ними, поэтому я не могу согласиться с подобным опровержением.
Вариант№2
Пусть в равенстве
числа и - взаимно простые, - нечетное. Для любых
положительных чисел выполнима операция нахождения арифметического значения
квадратного корня, то есть можно записать:
(1)
Из (1) следует:
, (2)
В
соответствии со свойствами показательной функции, для действительных
положительных чисел ,
и целого существуют единственные
значения показателей степени , удовлетворяющие равенствам:
, (3)
где , .
Из (3) следует , , или после сокращения на числа , получим:
(4)
Из (1), (2)
и (3) следует:
, (5)
или, с учетом
равенств (3) и (4):
(6)
Вынесем за скобки
общий множитель :
(7)
Из (5) и (7)
следует, что числа ,
и содержат общий множитель , что противоречит условию
их взаимной простоты, если . Из следует , , то есть , , и равенства (5) и (7) принимают вид:
(8)
Из (8)
следует, что при нечетном числа и также целые, причем всегда имеет место
тождество:
(9)
что для одновременно
целых , и выполнимо только при , или , , что и требовалось доказать.
Доказательство
можно вести и несколько иным способом. Все числа равенства , где , и - произвольно выбранные натуральные числа, - действительное
положительное число, через преобразования (1)…(4) могут быть выражены в виде
слагаемых тождества (5).
Вынесем за
скобки множитель и
поделим на него все слагаемые тождества (5):
где .
В
соответствии со свойствами показательной функции, произвольно выбранным натуральным
числам , и , например из равенства (5),
соответствует единственное значение , удовлетворяющее условию:
(11)
тогда , или
(12)
где , и - целые числа.
Из (10),
(11) и (12) следует:
(13)
то есть числа и могут быть одновременно целыми
только при , или
, . При числа и есть последовательные целые числа. Еще
Эвклидом доказано, что всякое нечетное число может быть выражено, как разность
квадратов двух последовательных целых чисел, которые и могут быть найдены с
помощью тождества (10) для любых целых и нечетных .
Отметим, что
равенство (12) получено путем деления равенства (5) на множитель , при этом число в этих равенствах одно и
то же, откуда следует ,
, , и тождество (10)
принимает вид тождества (8).
Отметим
также, что тождества (8) и (10) справедливы не только для целых значений . Подставляя вместо любую рациональную дробь и
полагая , можно
найти все Пифагоровы числа.
Приведенные
преобразования равенства Ферма над множеством натуральных чисел показывают, что
с помощью конечного числа арифметических действий оно всегда приводится к
тождеству (13), что и доказывает теорему.
Я счел
необходимым в дополнение к размещенному на сайте http://www.allbest.ru/
доказательству предложить и эти два варианта, один из которых в сравнении с
ранее размещенным является более развернутым.
А.В.Бобров
Великая теорема Ферма
Бобров Александр Владимирович, 1936 г. р., образование высшее,
закончил в 1960 году МВТУ им. Баумана по специальности инженер-механик. В
настоящее время – пенсионер.
Домашний адрес: 123098, г. Москва, ул. Маршала Новикова, д.
10, корп.1, кв. 15.
Телефон (495) 193-42-34, моб. тел. 8-903-560-07-15
Alexander V. Bobrov
The evidence of the Fermat great theorem by elementary
method is presented