Критерий омега-квадрат фон-Мизеса
Министерство образования и науки Украины
Запорожский национальный университет
Индивидуальная работа по математической статистике
Тема: «Критерий
w2 фон Мизеса»
Выполнил:
студент гр. 8216-2 Безбородов Вячеслав
Проверила:
Лысенко Елена Анатольевна
Запорожье
2009
Критерий
w2 Крамера-Мизеса-Смирнова при простой гипотезе
Порядок проверки простой гипотезы о согласии
Простая проверяемая гипотеза имеет вид H0: F(x)=F(x,q), где F(x,q) – функция распределения вероятностей, с которой
проверяется согласие наблюдаемой выборки, а q – известное значение параметра (скалярного или
векторного). В случае простых гипотез предельные распределения статистик
критерия согласия w 2
не зависят от вида наблюдаемого закона распределения F(x,q) и, в частности, от его параметров. Говорят,
что эти критерии являются “свободными от распределения”. Это достоинство
предопределяет широкое использование данных критериев в приложениях.
При проверке согласия опытного распределения с
теоретическим распределением случайной величины X:
1.
Формулируют
проверяемую гипотезу, выбирая теоретическое распределение случайной величины,
согласие которого с опытным распределением этой величины следует проверить.
2.
Из совокупности
отбирают случайную выборку объема n. Полученные результаты наблюдений
располагают в порядке их возрастания, так что в распоряжении имеют
упорядоченную выборку значений
x1 £ x2
£ … £ xn.
3.
В соответствии с
выбранным критерием проверки вычисляют значение статистики S*
критерия w2 Мизеса.
4.
В соответствии с
выбранным критерием проверки вычисляют значение
где G(S|H0) – распределение статистики критерия при
справедливости гипотезы H0. Если P{S>S*}>a , где a – задаваемый уровень значимости, то нет оснований для
отклонения проверяемой гипотезы. В противном случае проверяемая гипотеза H0
отвергается.
Можно вычисленное значение статистики S*
сравнить с критическим значением Sa , определяемым из условия
Гипотеза о согласии отвергается, если значение
статистики попадает в критическую область, т. е. при S*> Sa .
Нулевая гипотеза
В
критериях типа w2 расстояние между гипотетическим и истинным распределениями
рассматривают в квадратичной метрике.
Проверяемая гипотеза H0 имеет
вид
при альтернативной гипотезе
,
где E[.] - оператор
математического ожидания, y(t) - заданная на отрезке 0£t£1 неотрицательная
функция, относительно которой предполагают, что y(t), ty(t), t2y(t) интегрируемы на отрезке 0£t£1.
Статистику критерия выражают соотношением
,
где
, .
Статистика Крамера-Мизеса-Смирнова
При выборе y(t) º1 для критерия w2 Мизеса получают статистику вида
(статистику Крамера-Мизеса-Смирнова)
,
которая при простой гипотезе в пределе подчиняется
закону с функцией распределения a1(S), имеющей вид
,
Алгоритм
1.
Значение статистики
Крамера-Мизеса-Смирнова S* вычисляется по формуле
.
2.
Значение вероятности P{S>S*}=1-a1(S*)
вычисляется по функции распределения a1(S)
,
или берется из таблицы 1 приложения.
3.
Критические значения
критерия Sa при заданном a могут быть взяты из таблицы 2.
4.
Гипотеза H0
не отвергается, если для вычисленного по выборке значения статистики S*
P{S>S*}=1-a1(S*)>a .
Пример 1.
Гипотеза Н0:
рост детей в 5 классе одинаковый и находится в согласии с теоретическим
распределении.
1.
Дано распределение детей
по росту: 133, 125, 120, 145, 151, 114, 140, 150, 139 (в сантиметрах).
Рост, см
|
F(x;Θ)
|
S*
|
114
|
0,09375
|
1,596169
|
120
|
0,098684
|
|
125
|
0,102796
|
|
133
|
0,109375
|
|
139
|
0,114309
|
|
139
|
0,114309
|
|
145
|
|
150
|
0,123355
|
|
151
|
0,124178
|
|
2.
a1(S*)≈ 0,999 (из таблицы 1)
3.
На уровне значимости
α=0,05 в таблице 2 находим a1(S)=0,4614.
4.
Подтверждение гипотезы
находим по формуле: P{S>S*}=1-a1(S*)>a
P{S<1,59}=1-0,999>a => 0,01<0,5.
Гипотезу Но опровергаем, выборка не
находится в согласии с теоретическим распределением.
Пример 2.
Гипотеза Н0:
Количество рыбы в сезон на Аляске, за последние 5 лет, теоретически
согласовано.
1.
Имеются данные о
количестве рыбы (в млн кг), обрабатываемой в рыбный сезон на заводе «Seward Fisheries»
на Аляске:
1,5; 0,8; 1; 0,6; 1,2.
Вес, млн кг
|
F(x;Θ)
|
Сумма
|
S*
|
0,6
|
0,117647
|
0,000311
|
0,71288
|
0,8
|
0,156863
|
0,020488
|
|
1
|
0,196078
|
0,092368
|
|
1,2
|
0,235294
|
0,215952
|
|
1,5
|
0,294118
|
0,367093
|
|
2.
a1(S*)= 0, 99036 (из таблицы 1)
3.
На уровне значимости
α=0,01 a1(S)= 0,7434.
4.
Подтверждение гипотезы
находим по формуле: P{S>S*}=1-a1(S*)>a
P{S<0,71288}=1-0, 99036 <a => 0,00964<0,01.
Гипотезу Но опровергаем, количество рыбы на
Аляске теоретически не согласовано.
Пример 3.
Гипотеза Н0:
Средний балл студента Иванова И.И. за последние 5 сессий согласован с
теоретическим распределением.
1.
Средние баллы за каждую из
5 последних сессий такие:
4; 4,2; 4; 4,3; 4.
Оценка
|
F(x;Θ)
|
Сумма
|
S*
|
4
|
0,195122
|
0,012497
|
0,594398
|
4,2
|
0,204878
|
0,002036
|
|
4
|
0,195122
|
0,049082
|
|
4,3
|
0,209756
|
0,13956
|
|
4
|
0,30789
|
|
2.
a1(S*)= 0, 98314 (из таблицы 1)
3.
На уровне значимости
α=0,1, пользуясь таблицей 2, находим a1(S)= 0,3473.
4.
Подтверждение гипотезы
находим по формуле: P{S>S*}=1-a1(S*)>a
P{S<0,594398}=1-0, 98314 <a => 0,01686<0,1.
Гипотезу Но, оценки студента теоретически
не согласованы.
Таблица 1
Функция распределения статистики w 2 Мизеса a1(S) при
проверке простой гипотезы
|
S
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
0,0
|
0,00000
|
00001
|
00300
|
02568
|
06685
|
12372
|
18602
|
24844
|
30815
|
36386
|
0,1
|
0,41513
|
46196
|
50457
|
54329
|
57846
|
61042
|
63951
|
66600
|
69019
|
71229
|
0,2
|
0,73253
|
75109
|
76814
|
78383
|
79829
|
81163
|
82396
|
83536
|
84593
|
85573
|
0,3
|
0,86483
|
87329
|
88115
|
88848
|
89531
|
90167
|
90762
|
91317
|
91836
|
92321
|
0,4
|
0,92775
|
93201
|
93599
|
93972
|
94323
|
94651
|
95249
|
95521
|
95777
|
0,5
|
0,96017
|
96242
|
96455
|
96655
|
96843
|
97020
|
97186
|
97343
|
97491
|
97630
|
0,6
|
0,97762
|
97886
|
98002
|
98112
|
98216
|
98314
|
98406
|
98493
|
98575
|
98653
|
0,7
|
0,98726
|
98795
|
98861
|
98922
|
98981
|
99036
|
99088
|
99137
|
99183
|
99227
|
0,8
|
0,99268
|
99308
|
99345
|
99380
|
99413
|
99444
|
99474
|
99502
|
99528
|
99553
|
0,9
|
0,99577
|
99599
|
99621
|
99641
|
99660
|
99678
|
99695
|
99711
|
99726
|
99740
|
1,0
|
0,99754
|
99764
|
99776
|
99787
|
99799
|
99812
|
99820
|
99828
|
99837
|
99847
|
1,1
|
99862
|
99869
|
99876
|
99883
|
99890
|
99895
|
99900
|
99905
|
99910
|
1,2
|
0,99916
|
99919
|
99923
|
99927
|
99931
|
99935
|
99938
|
99941
|
99944
|
99947
|
1,3
|
0,99950
|
99953
|
99955
|
99957
|
99959
|
99962
|
99964
|
99965
|
99967
|
99969
|
1,4
|
0,99971
|
99972
|
99973
|
99975
|
99976
|
99978
|
99978
|
99979
|
99980
|
99980
|
Таблица 2
Процентные точки распределения статистики w 2 Мизеса при проверке простой гипотезы
|
Функция распределения
|
Верхние процентные точки
|
0,15
|
0,1
|
0,05
|
0,025
|
0,01
|
a1(S)
|
0,2841
|
0,3473
|
0,4614
|
0,5806
|
0,7434
|