О квази генетическом коде

Творческая группа юных математиков – программистов, руководимая Братом Михаилом Шишигиным.

(Церковь Христа Спасителя)

О КВАЗИ ГЕНЕТИЧЕСКОМ КОДЕ

Аннотация

Приводится класс полимино, моделирующий фундаментальное свойство генетического кода, а именно то, что 20 различных аминокислот, входящих в структуру белков, образованы из 4 различны нуклеотидов. Этот класс полимино назван квазигенетическим кодом.

Вводятся унарные операции < - , -1, * > над матрицами 4*2

 

a1	a2
W =   b1	b2
c1	c2
d1	d2

состоящими из элементов 0, 1, 2, 3, а именно:

 

a2

a1

4 - a2

4 - a1

2 - d1

2 - d2

W= -

b2

b1

=

4 - b2

4 - b1

W-1

=

2 - c1

=   2 - c2

c2

c1

=

4 - c2

4 - c1

,

2 - b1

2 - b2

d2

d1

4 - d2

4 - d1

2 - a1

2 - a2

=

2

2

──

d1

d2

2

2

c1

c2

,

2

2

b1

b2

2

2

a1

a2

W^* =  (W)^-1, a + b = (a + b)(mod 4), a - b = (a - b)(mod 4),

a, b Î { 0, 1, 2, 3}.

 

Причем,W = W,  (W^-1) = (W)^-1.

Используя введенные операции над матрицами 4*2, элементы квазигенетического кода можно записать так:

a, b, g, d, l, t, a, b,  g,  d, a^-1, b^-1, g^-1, d^-1, l^-1, t^-1, a*, b*, g*, d*, где

								a =				3	1			b=				3	2		g =				3	1
												2	1							2	0						1	3
												0	1							0	1						2	1
												1	3							1	3						0	1
												2	1			l =				3	1		t =				3	1
							d =					0	1							3	1						3	1
												3	1							3	1						1	3
												1	3							1	3						3	1

О КВАЗИГЕНЕТИЧЕСКОМ КОДЕ

Данная работа посвящена геометрическим структурам, моделирующим фундаментальное свойство генетического кода, а именно то, что 20 различных аминокислот, входящих в структуру белков, образованы из 4 различных нуклеотидов.

Положим, что прямоугольник размером  4*2  должен быть покрыт прямоугольниками размером  2*1 (домино). Причём, нечётное число домино должно выходить за пределы как стороны  AB, так и стороны CD  (рис. 1).

B

C

A

D

Рис. 1

Покрытие, в котором домино, выходящие за пределы сторон  AB и CD, однозначно определяют структуру покрытия прямоугольника ABCD, назовём жестким покрытием. Например, покрытие  a) (рис. 2.) является жестким, а покрытия  b) и  c) (рис. 2.) такими не являются.

B

C

B

C

B

C

A

D

A

D

A

D

a)

b)

c)

Рис. 2

Прямоугольник размером  4*2n  разобьём вертикалями на  n  прямоугольников шириной в длину домино, которые пронумеруем слева направо и назовём шагами. Множество жестких покрытий прямоугольника размером  4*2  назовём квазигенетическим кодом. Покрытие прямоугольника размером 4*2n , при котором покрытие каждого шага представляет собой жесткое покрытие, назовём квазигенетическим покрытием.

Будем считать, что клетка прямоугольника  ABCD  находится в состоянии 0, 1, 2, 3, если она покрыта домино, ориентированным соответственно вверх, вправо, вниз, влево.

								0
						3				1
								2
							Рис. 3

Матрицу размером  4*2 , соответствующую жесткому покрытию прямоугольника ABCD будем называть квазинуклеотидной матрицей, либо квазинуклеотидом. Матрицу размером 4*2n , соответствующую квазигенетическому покрытию прямоугольника размером 4*2n , будем называть белковой матрицей.

Методом последовательного исключения (перебором) можно показать, что существуют 20 различных, жестких покрытий прямоугольника ABCD. в Таблице 1 приведены все 20 жестких покрытий прямоугольника  4*2 и соответствующие им квазинуклеотидные матрицы.

Таблице 1

 

							3	1										3	2												3	1
					a=		2	1								b=		2	0									g =			1	3
							0	1										0	1												2	1
							1	3										1	3												0	1
													b=			2	1											2		1
																0	2							d =				0		1
																3	0											3		1
																1	3											1		3
										b*=				1	3						d-1=					1	3
														3	2											3	1
														2	0											2	1
														0	1											0	1
								1	3						b-1=			1	3							g-1=				2	1
				a-1=				2	1									2	1											0	1
								0	1									0	2											1	3
								3	1									3	0											3	1
								3	1									3	2											3	1
				a =				3	2						d =			3	0								l =			3	1
								3	0									3	1											3	1
								1	3									1	3											1	3
																								l = l
								3	1								3	1												3	2
				g =				1	3						t =		3	1						g*=						3	0
								3	2								1	3												1	3
								3	0								3	1												3	1
								3	1
				t-1 =	3		t-1 =  t*    ,     t =   t  , l-1 = l*
								3	1
								3	1																			l-1 =
								1	3										1	3										1	3
				a*=				3	2							d*=			3	1										3	1
								3	0										3	2										3	1
								3	1										3	0										3	1

Пусть записи   a + b , a - b  обозначают (a + b)(mod 4),  (a - b)(mod 4), где

a, b Î { 0, 1, 2, 3}.

                      

Введём унарные операции     < - , -1, * >    над матрицей  4*2

 

a1	a2
W =   b1	b2
c1	c2
d1	d2

,

состоящей из элементов 0, 1, 2, 3.

Положим

 

a2

a1

4 - a2

4 - a1

2 - d1

2 - d2

W= -

b2

b1

=

4 - b2

4 - b1

W-1

=

2 - c1

=   2 - c2

c2

c1

=

4 - c2

4 - c1

,

2 - b1

2 - b2

d2

d1

4 - d2

4 - d1

2 - a1

2 - a2

W =  W ,   (W-1)-1 =  W.

=

2

2

──

d1

d2

2

2

c1

c2

,

2

2

b1

b2

2

2

a1

a2

2 +  d2	2 + d1
2 +  c2	2 +  c1    .
2 +  b2	2 +  b1
2 +  a2	2 +  a1

Положим

W*  =

W^* =  (W)^-1,                 

 

Нетрудно показать, что         W = W,  (W^-1) = (W)^-1, (W^-1)^-1 =  W.

Используя введенные операции над матрицами 4*2,  квазинуклеотидные матрицы можно записать так  (см. Таблицу 1) :

a, b, g, d, l, t, a, b,  g,  d, a^-1, b^-1, g^-1, d^-1, l^-1, t^-1, a*, b*, g*, d*.

Введём понятие генетической информации белковой матрицы. Последовательность из количества единичных элементов в правых столбцах квазинуклеотидных подматриц белковой матрицы будем называть генетической информацией. Например, на рис. 4 показано квазигенетическое покрытие прямоугольника размером 4´22 , которому соответствует белковая матрица с генетической информацией 1 3 3 1 3 3 1 3 3 1 3.

	1		2		3		4		5		6		7		8		9		10		11
	1		3		3		1		3		3		1		3		3		1		3
	2	1	3	1	3	1	3	2	2	1	3	1	3	1	3	1	3	1	3	1	3	1
	0	2	2	1	3	1	3	0	0	1	3	1	3	2	1	3	1	3	1	3	2	1
	3	0	0	1	3	1	3	1	3	1	3	1	3	0	2	1	3	1	3	2	0	1
	1	3	1	3	1	3	1	3	1	3	1	3	1	3	0	1	3	1	3	0	2	3
	b		a		l		d		d		l		a		g		t-1		g		a
											Рис. 4

Используя «жёсткость» упаковки квазигенетического  покрытия, можно показать, что квазигенетический  код обладает высокой помехоустойчивостью.

Предложение 1. По двум любым строкам квазигенетического покрытия прямоугольника, размером 4´2n (n>1) , можно полностью восстановить покрытие, а, следовательно, и генетическую информацию.

Предложение 2. Зная жёсткие покрытия на нечётных шагах квазигенетического покрытия прямоугольника размером, 4´2(2k+1), можно полностью восстановить покрытие, а, следовательно, и генетическую информацию.

Дальнейшие исследования должны показать плодотворность идеи квазигенетического кода.

Приложение.

	2	1	3	1	3	1	3	2	2	1	3	1	3	1	3	1	3	1	3	1	3	1
	0	2	2	1	3	1	3	0	0	1	3	1	3	2	1	3	1	3	1	3	2	1
	3	0	0	1	3	1	3	1	3	1	3	1	3	0	2	1	3	1	3	2	0	1
	1	3	1	3	1	3	1	3	1	3	1	3	1	3	0	1	3	1	3	0	2	3
	2	1	3	1	3	2	2	1	3	1	3	1	3	1	3	1	3	1	3	1
	0	2	2	1	3	1	3	0	0	1	3	1	3	2	1	3	1	3	1	3	2	1
	3	0	0	1	3	1	3	1	3	1	3	1	3	0	2	1	3	1	3	2	0	1
	1	3	1	3	1	3	1	3	1	3	1	3	1	3	0	1	3	1	3	0	2	3
	2	1	3	1	3	1	3	2	2	1	3	1	3	1	3	1	3	1	3	1	3	1
	0	2	2	1	3	1	3	0	0	1	3	1	3	2	1	3	1	3	1	3	2	1
	3	0	0	1	3	1	3	1	3	1	3	1	3	0	2	1	3	1	3	2	0	1
	1	3	1	3	1	3	1	3	1	3	1	3	1	3	0	1	3	1	3	0	2	3
	2	1	3	1	3	1	3	2	2	1	3	1	3	1	3	1	3	1	3	1	3	1
	0	2	2	1	3	1	3	0	0	1	3	1	3	2	1	3	1	3	1	3	2	1
	3	0	0	1	3	1	3	1	3	1	3	1	3	0	2	1	3	1	3	2	0	1
	1	3	1	3	1	3	1	3	1	3	1	3	1	3	0	1	3	1	3	0	2	3