Двойной интеграл в полярных координатах
Двойной интеграл в
полярных координатах
Пусть в двойном интеграле
(1)
при обычных предположениях мы желаем перейти к
полярным координатам r и f, полагая
x
= r cos j, y = r sin j. (2)
Область интегрирования S разобьем на
элементарные ячейки DSi с помощью координатных линий r = ri (окружности) и j = ji (лучи) (рис.1).
Введем обозначения:
Drj = rj+1 - rj,
Dji = ji+1 - ji
Так как окружность перпендикулярна
(ортогональна) радиусам, то внутренние ячейки DSi с точностью до
бесконечно малых высшего порядка
малости относительно их площади можно
рассматривать как прямоугольники с измерениями rjDji и Drj; поэтому
площадь каждой такой ячейки будет равна:
DSi = rj Dji Drj (3)
Что касается ячеек DSij неправильной формы,
примыкающих к границе Г области интегрирования S, то эти ячейки не
повлияют на значение двойного интеграла и мы их будем игнорировать.
В качестве точки Mij $ Sij для
простоты выберем вершину ячейки DSij с полярными координатами rj и ji. Тогда
декартовые координаты точки Mij равны:
xij = rj cos
ji, yij = rj sin
ji.
И
следовательно,
f(xij,yij) = f(rj cos ji, rj sin ji) (3')
Двойной интеграл (1) представляет собой предел
двумерной интегральной суммы, причем можно показать, что на значение этого
предела не влияют добавки к слагаемым
интегральной суммы, являющиеся бесконечно
малыми высшего порядка малости, поэтому учитывая формулы (3) и (3'),
получаем:
(4)
где d - максимальный диаметр ячеек DSij и
сумма распространена на все ячейки указанного выше вида, целиком содержащиеся в
области S. С другой стороны, величины ji и rj суть
числа и их можно рассматривать как прямоугольные декартовые координаты
некоторых точек плоскости Ojr.
Таким образом, сумма (4) является интегральной суммой для функции
f(r cosj, r sinj)r,
соответствующая прямоугольной сетке с
линейными элементами Dji и Dri. Следовательно
Сравнивая формулы (4) и (5), получим
окончательно
(6)
Выражение
dS = r dj dr
называется двумерным элементом
площади в полярных координатах. Итак, чтобы в двойном интеграле (1) перейти к
полярным координатам, достаточно координаты x и y заменить по формулам (2), а вместо элемента
площади dS подставить
выражение (7).
Для вычисления двойного интеграла (6)
его нужно заменить повторным. Пусть область интегрирования S
определяется неравенствами
Где r1(j), r1(j) - однозначные непрерывные функции на отрезке [a,b]. (рис 2).
Имеем
(8)
Где
F(r,j) = rf(r cosj, r sinj)
Пример 1.
Переходя к полярным координатам j и r, вычислить двойной
интеграл
Где S - первая четверть круга радиуса R=1, с
центром в точке О(0,0) (рис 3).
Так как
то применяя формулу (6),
получим
Область S
определена
Поэтому на основании формулы (8) имеем
Пример 2.
В интеграле
(9)
перейти к полярным координатам.
Область интегрирования здесь есть треугольник S, ограниченный прямыми y=0, y=x, x=1 (рис
4).
В полярных координатах уравнения
этих прямых записываются
следующим образом: j=0,
j=p/4, r cosj=1 и,
следовательно, область S
определяется неравенствами
Отсюда на основании формул
(6) и(8), учитывая, что
имеем