К теории полета лыжника при прыжках с трамплина
К теории полета лыжника при прыжках с трамплина
Кандидат педагогических наук, доцент Н.А. Багин, Ю.И.
Волошин, доктор физико-математических наук, доцент В.П. Евтеев, Великолукский
государственный институт физической культуры
После
разгона и правильно выполненного отталкивания от стола отрыва результат прыжка
с трамплина определится полетом лыжника в воздухе под действием тяжести и
аэродинамических сил.
Рассмотрение
полета в спортивной литературе [2, 4] часто носит нестрогий, качественный
характер, основанный главным образом на результатах эксперимента и анализа
мировых рекордов. В настоящей работе получены простые формулы, позволяющие
тренеру количественно проанализировать зависимость длины прыжка от начальной
скорости полета, угла вылета со стола отрыва, геометрии трамплина,
аэродинамических качеств полета и скорости ветра.
Выберем
начало координат на краю стола отрыва и направим горизонтальную ось Х вдоль
трамплина, а ось Y вертикально вверх.
Выпишем
уравнения движения центра тяжести лыжника в координатной форме:
Vx= -(KxVx/V+KyVy/V) (V+U0Vx/V)2,
(1)
Vy= -g-(KxVy/V+KyVx/V) (V+U0Vx/V)2,
(2)
где
Vx, Vy - проекции скорости полета на координатные оси, V - абсолютная величина
скорости, U0 - алгебраическая скорость горизонтального ветра, положительная при
встречном ветре и отрицательная при попутном.
Kx=?
rCxS/m, Ky=? rCyS/m - аэродинамические числа, имеющие размерность, обратную
длине, r - плотность воздуха; Сx - коэффициент лобового сопротивления; Cy -
коэффициент подъемной силы; S - фронтальная площадь лыжника с лыжами; m - масса
лыжника с лыжами. Точкой обозначены производные по времени.
Уравнения
(1) и (2) нелинейные. Упростить их анализ и получить приближенные решения
удобно переходом к функциям комплексного переменного. Ранее этот прием успешно
применялся одним из авторов к системам нелинейных уравнений небесной механики
[3]. Он позволяет свести систему двух уравнений к одному. С этой целью введем в
рассмотрение комплексную скорость полета (КСП): W=Vx+iVy, (3)
где
i - мнимая единица и комплексное аэродинамическое число K=Kx+iKy. (4)
Умножая
уравнение (2) на мнимую единицу и складывая с первым уравнением, получим с
учетом (3) и (4) следующие уравнения для КСП:
W=-ig-K(V+U0(W+W)/2V)2W/V, (5)
где
чертой сверху обозначены комплексно-сопряженные величины.
Полет
лыжника состоит из взлета на вершину траектории и спуска с нее. Рассмотрим их
поэтапно. Запишем уравнение (5) в виде:
W=-ig-K(V+U0cosj)2W/V.
(6)
За
время взлета, измеряемого несколькими десятыми долей секунды, скорость полета
изменяется мало, а полярный угол изменяется от угла вылета j0 в несколько
градусов до нуля на вершине траектории. Поэтому мы не совершим большой ошибки,
если заменим в (6) скорость V начальной скоростью V0 и затем усредним
полученный коэффициент перед W по интервалу изменения полярного угла. Тогда
уравнение (6) превращается в дифференциальное линейное уравнение первого
порядка с постоянными коэффициентами:
W=-ig-KC0W,
(7)
где
C0=V0+2U0sinj 0/j0+U02(1+sin2j0/2j0/2V0.
Решение
уравнения (7) имеет вид:
W=W0exp(-KC0t)-ig(1-exp(KC0t))/KC0.
(8)
На
протяжении всего взлета KxC0t