Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
Министерство
высшего и среднего специального образования Республики Узбекистан
Ташкентский
институт текстильной и легкой промышленности
Удк
516.517
ЭЛЕМЕНТЫ
ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
Методические
указания
Ташкент-2010
Аннотация
Методическое указание написано в виде
справочника, приведены план работы, каждый раздел содержит краткие
теоретические введения, решения типовых примеров и задачи для самостоятельного
решения. Цель
методического указания помочь студентам самостоятельно решать задачи, может
оказаться полезной и лицам, желающим повторить элементы векторной алгебры и
аналитической геометрии.
СОСТАВИТЕЛЬ
Доцент кандидат физ .- матем. наук
М.М.Сайдаматов
РЕЦЕНЗЕНТЫ
ТИТЛП проф. А.З. Маматов, НУУз проф. Б. Атажанов
Утверждено научно-
методическим
советом института
«_12__»___03____ 2010 г.
Протокол № _4___
Размножено в «_25__»
экземплярах
в типографии ТИТЛП
РАЗДЕЛ 1. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ
Основные формулы
. Расстояние d
между двумя точками М1(Х1 У1) и М2 (Х1 У2) определяются по формуле
d=М1М2= /1.1/
.Деление отрезка М1М2 в данном
отношении.
Точка М делит отрезок М1М2 в
отношении , если
М лежит на отрезке или на его
продолжении и
= , /1.2/
причем перед дробью берется знак
«плюс», если точка М лежит между М1 и М2, и знак «минус» - в противном случае.
Если дано отношение , то
координаты точек М (х, у) определяются по формулам
/1.3/
Если точка М(х,у) является серединой
отрезка М1М2, то ее координаты определяются по формулам
/1.4/
. Общее уравнение прямой
Ах+Ву+С=0 /1.5/
При В 0 из /1.5/ получается
уравнение
у=кх+в,
где угловой коэффициент , свободный член .
. Уравнение прямой по точке
М0(х0,у0) и угловому коэффициенту К:
у-у0=к(х-х0) /1.6/
к=tg
. Уравнение прямой, проходящие через
две точки: М1(х1,у1) и М2(х2,у2):
/1.7/
Угловой коэффициент прямой равен
/1.8/
. Углом между двумя прямыми
называется наименьший из углови1
Тангенс угла между прямой с угловым
коэффициентами К1 и К2 равен
/1.9/
. Условие параллельности двух прямых с угловыми
коэффициентами
К1 и К2 ,
К1=К2 /1.10/
. Условие перпендикулярности двух прямых с
угловыми коэффициентами К1 и К2
/1.11/
. Расстояние от точки М1(х1,у1) до
прямой ax+by+c=0
вычисляется по формуле
/1.12/
ПРИМЕРЫ
.Дана прямая 2х-3у+3=0. Составить
уравнение прямой, проходящей через точку М0(1,1):
а) параллельно данной прямой;
б) перпендикулярно данной прямой.
Решение.
а) Определим угловой коэффициент К1
из уравнения данной прямой
Из условия параллельности прямых -
см. формулу /1.10/ получаем угловой коэффициент искомой прямой
По точке М0 и угловому коэффициенту
К2 составляем уравнение - см. формулу /1.6/
б) Из условия перпендикулярности
прямых - см. формулу /1.11/ определим угловой коэффициент искомой прямой
По формуле /1.6/ составляем
уравнение перпендикулярной прямой
или
Ответ: а) 2х-3у+1=0;
б) 3х+2у-5=0
. Найти проекцию точки Р()2,1) на
прямой, проходящую через две точки: М1(1,-1) и М2(2,0).
Решение. Проекция Р1
является
точкой пересечения данной прямой М1М2 и перпендикулярной прямой РР1.
а) Составим уравнение прямой М1М2
см. формулу /1.7/
или
Из этого уравнения определим угловой
коэффициент: К1=1.
б) Из условия перпендикулярности
прямых см. формулу /1.11/ найдем угловой коэффициент прямой РР1:
в) составим уравнение прямой РР1 по
формуле /1.6/
или
г) найдем координаты проекции Р1,
решая совместно два уравнения
Ответ:
. Найти точку Q,
симметричную точке Р(5,-2) относительно прямой 5х-3у+3=0
Решение. Точка Q лежит на
продолжении перпендикуляра РР1, опущенного из точки Р на прямую, на таком же
расстоянии от прямой, что и точка Р. Поэтому точка Q делит
отрезок РР1 в отношении
.
А) найдем координаты проекции Р1
(см. решение примера 2). Определим угловой коэффициент К1 данной прямой
.
Тогда угловой коэффициент К2 прямой PQ равен - см.
формулу /1.11/
;
Уравнение прямой PQ имеет вид -
см. формулу /1.6/
или
.
Координаты точки P1 находим
при совместном решении двух уравнений
б) Находим координаты симметричной
точки по формулам /1.3/:
, .
Ответ: Q(-5,4).
. Зная координаты вершин
треугольника А(2,4), В(-1,3) и С(2,-1) найти:
а) уравнение и длину высоты АН;
б) уравнение медианы ВМ
в) угол В.
Решение. а) составим уравнение
прямой ВС по формуле /1.7/:
или
х+3у-5=0
Из уравнения ВС определим угловой коэффициент:
угловой коэффициент высоты АН найдем
по формуле /1.11/:
Составим уравнение прямой АН по
формуле /1.6/:
или
х-4у+10=0
Расстояние от точки А до стороны ВС
получим по формуле /1.12/:
б) Найдем координаты точки М по
формулам /1.7/:
, .
Составим уравнение медианы ВМ по
формуле /1.7/:
или
х+2н-5=0
в) Угловой коэффициент прямой АВ
определим по формуле /1.8/:
Угол В вычисляем по формуле /1.9/:
Ответ: а) АН: 3х-4у+100=0,
б) ВМ: х+2у-5=0
в)
. Даны вершины треугольника А(4,6),
В(-4,0) и С(-1,-4).
Составим уравнение биссектрис его
внутреннего и внешнего углов при вершине В.
Решение. а) Из школьного курса
геометрии известно, что биссектриса ВК делит сторону АС в отношении
Определим длины сторон АВ и ВС по
формуле /1.1/:
; . Тогда
б) Координаты точки К вычислим по
формулам /1.3/:
, .
в)Составим уравнение биссектрисы ВК
по формуле /1.7/:
или
х+7у+4=0
г) биссектриса BL
перпендикулярна ВК, следовательно, угловой коэффициент КBL находим по
формуле /1.11/:
.
д) Составим уравнение биссектрисы BL по формуле
/1.6/:
у-0=7(х+4)
или
х-у+2В=0
Ответ: ВК: х+7у+4=0, BL: 7x-y+2B=0.
Самостоятельная
работа
. Построить прямую,
отсекающую на оси Оу отрезок и составляющую с осью Ох угол: .
. Дан треугольник с вершинами
А(-2, 0), B(2,4), и С(4,0).
Написать
уравнения сторон треугольника, медианы AE, высоты AD и найти
длину медианы AE.
. Определить вершины и углы
треугольника, стороны которого заданы уравнениями х+3у=0, х=3, х-2у+3=0.
. Найти углы и площадь
треугольника, образованного прямыми у=2х, у=-2х и у=х+b.
РАЗДЕЛ 2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
№1. Векторы. Линейные
операции над векторами. Основные понятия и определения
. Вектором называется величина, которая
характеризуется числовым значением и направлением в пространстве.
Геометрически вектор изображается отрезком
определенной длины и определенного направления
Точка - начало вектора . Точка - конец
вектора . Числовое
значение вектора называется
модулем / длиной / вектора: .
Нулевым вектором называется вектор,
у которого начало и конец совпадают.
Ортом вектора называется
вектор, имеющий единичную длину и такое же направление, как и данный вектор .
. Коллинеарным называется векторы,
лежащие на одной прямой или на параллельных прямых.
Компланарными называются векторы,
лежащие в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
. Два вектора считаются равными, если:
а) они
имеются равные модули / длины/;
б) коллинеарные;
в) одинаково направлены.
. Линейными операциями над векторами
называются операции сложения векторов и умножения их на числа.
Суммой двух
векторов и называется
третий вектор, идущий из начала вектора в конце вектора , когда
начало вектора, приложено к
концу вектора , сумму можно
представить также как диагональ параллелограмма, построенного на векторах и ,
приведенных к одному началу.
Произведением числа на вектор называется
такой вектор, длина которого равна , а направление сохраняется прежним
при и
заменяется противоположным при . Если , то вектор называется
противоположным вектору .
Свойства векторов
. (переместительный закон)
. (сочетательный закон ).
.
.
. (распределительный закон).
. (распределительный закон).
.
.
Линейной комбинацией n векторов коэффициентами
называется
вектор, равный
.
. проекцией вектора на ось (на вектор ) называется
число, равное , где - проекцией
начала А и - проекцией
конца на ось (на вектор ), причем
знак “плюс” берется, когда направление совпадает с направлением , а знак «минус”
в противном случае.
Проекция вектора вычисляется по
формуле , где -
наименьший угол, на который надо повернуть вектор , чтобы его
направление совпало с направлением .
. Разложение вектора по базису.
Базисом в пространстве называются
любые три некомпланарных вектора .
Разложить вектор по базису - это значит
представить вектор в виде
линейной комбинации
,
где - числа, называемые координатами
вектора в данном базисе.
Базис в плоскости называются любые
два неколлинеарных вектора -это значит представить вектор в виде
линейной комбинацией , где и - числа,
называемые координатами вектора в данном базисе.
Пусть - векторы/ направленные
соответственно по осям OX, OY, OZ
прямоугольной системы координат, имеющие единичную длину.
Базис называется прямоугольным базисом.
Разложение вектора по базису имеет вид , где X,Y,Z -
прямоугольные координаты вектора (символическое обозначение: ).
Прямоугольные координаты вектора
равны проекциям этого вектора на оси координат.
Основные формулы в координатной
форме
1. Координаты вектора, заданного двумя
точками - началом
М1(X1,
Y1, Z1)
и концом М2(X2, Y2,
Z2): X=X2-X1,
Y=Y2-Y2,
Z=Z2-Z1
/2.1/
Cуммой и разностью
двух векторов
,
2. Модуль
(длина)
вектора : /2.2/
3. Направляющие косинусы
вектора :
, , , /2.3/
где - угля между вектором и осями
координат OX, OY, OZ соответственно.
Направляющие косинусы связаны
формулой
. /2.4/
Орт вектор имеет
координаты .
4. Координаты линейной комбинацией векторов
и
/2.5/,
. Признак коллинеарности
векторов и :
/2.6/
ПРИМЕРЫ
. Определить координаты и модули
векторов, заданных двумя точками
Б) Модули векторов находим по
формуле /2.2/
Ответ:
. Определить начало вектора ,
направляющие конусы и орт ,если конец
совпадает с точкой
Решение. А) из формулы /2.1/
получаем координаты начала :
Б) Модуль вектора определим по
формуле /2.2/:
В) Направляющие конусы вычисляем по
формуле /2.3/:
Г)Координаты орта числено
равны направляющим конусам:
Ответ:
. Может ли вектор составлять с
координатами осями углы
Решение. Для заданных величин формула
/2.4/ не выполняется:
поэтому вектор не может составлять
данные углы с осями координат.
. Даны два вектора и
Определить . По формуле
/2.5/ получаем:
. Определить, при каких
значениях α
и
β
векторы
и коллинеарны.
Решение. Используя признаки колинеарности
векторов - см, формулу /2.6/, составим пропорцию:
. Найти разложение вектора по базису
Решение. Найдем коэффициенты α, β,
γ в
разложении .
Для этого запишем данную формулу в
координатах. Координаты правой части вычислим, используя формулу /2.5/:
Эти координаты должны равняться
соответствующим координатам вектора . Следовательно,
Решим полученную систему уравнений
методом исключения неизвестных /методом Гаусса/:
Самостоятельная
работа
. Определить координаты и
модули векторов, заданных двумя точками .
. Определить, при каких
значениях α
и
β
векторы
и
коллинеарны.
3. Найти разложение вектора по базису
. При каких значениях m векторы перпендикулярны
№ 2.
Скалярное произведение векторов и его применение. Основные понятия и
определения
1. Углом между векторами и будем
называть наименьший из двух углов и /считаем, что всегда можно сделать
параллельным переносом/.
. Скалярным произведением двух
векторов и называется
число, равное произведению длин этих векторов, умноженному на косинус угла между ними:
1. Скалярное произведение двух векторов равно
длине одного из них, умноженной на проекцию другого вектора на первый вектор:
2. Скалярное произведение двух векторов равно
нулю тогда и только тогда, когда либо один из векторов равен нулю, либо они
перпендикулярны.
3. Физический смысл скалярного
произведения.
Работа А равнодействующей несколько
сил ,
приложенных к материальной точке, при прямолинейном точке, при прямолинейном
перемещении из положения М1 в положение М2, равна .
Свойства скалярного произведения.
. /переместительный
закон/.
. /распределительный
закон/.
. /сочетательный закон
относительно числового множителя/.
. /скалярное произведение вектора
самого на себя равно квадрату его длины/.
Основные формулы в координатной форме.
1. Скалярное произведение
векторов и :
/2.7/
. Угол между векторами и определяется
по формуле
/2.8/
3. Признак перпендикулярности
векторов и :
/2.9/
ПРИМЕРЫ
. В Параллелепипеда АBCDA`B`C`D` стороны АВ
и АD взаимно
перпендикулярны, а стороны АА` образует с ними углы в 1200.
Определить длины
диагоналей А`С и В`D если длины сторон равны АВ=2, АD=1, AA`=3.
Решение. Рассмотрим векторы . Из рисунка
видно, что диагональ , лежащая в
плоскости АА`C`C,
удовлетворяет соотношению.
Для нахождения используем
4-е свойство скалярного произведения:
Аналогично, диагональ B`D, лежащая в
плоскости DD`B`B,
удовлетворяет соотношению
Поэтому
.
. Даны вершины треугольника
А(1,2,-1), В(-1,0,1) и С(1,1,1). Определить его внутренний и внешний углы при
вершине В.
Решение. а/ Внутренний угол при
вершине В образован векторами и . Координаты векторов находим по
формулам /2.1/:
б/ Косинус угла при вершине
В находим по формуле /2.8/:
.
.
в/ Внешний угол при вершине В равен
,
. Найти сектор , зная, что
он перпендикулярен к векторам и и удовлетворяет условию
Решение. Обозначим координаты
искомого вектора
а/ Из условия перпендикулярности
векторов /2.9/ получим
Последнее условие примера с учетом
формулы /2.7/ примет вид
Х+2Y-Z=19
б/ Полученную систему трех уравнений
с тремя неизвестными решим методом исключения:
.
. Даны две точки М1(1,0,2) и
М2(-1,1,1). Найти проекцию вектора на вектор .
Решение. а/ Определить координаты
вектора :
.
б/ Скалярное произведение вычислим по
формуле /2.7/:
в/ Проекция вектора на вектор с учетом
формулы /2.8/ равна
Ответ: .
. Даны две силы и ,
приложенные к одной точке. Какую работу производит равнодействующая этих сил,
когда её точка приложения прямолинейно перемещается из положения М1(0,1,1) в
положение М2(1,-2,1)?
Решение. а/ Равнодействующая сила равна ;
б/ вектор перемещения равен
в/ Работу
вычисляем по формуле /2.9/:
Ответ: А=4.
№ 3. Векторное произведение векторов и его применение
1. Ориентация системы векторов в пространстве.
Система трех некомпланарных векторов
в
пространстве может иметь две ориентации: правею и левую.
Поместим начала трех векторов в одну
точку О и проведем через второй и третий векторы плоскость. Если смотреть из
конца третьего вектора на конец второго, то первый вектор будет расположен либо
с правой, либо с левой стороны от плоскости.
В первом случае система трех
некомпланарных векторов имеет правую
ориентацию, а во втором случае - левую.
. Векторным произведением вектора на вектор называется
вектор, обозначаемый символ /или / к удовлетворяющий условиям:
а/ длина вектора равна
произведению длин векторов и , умноженному на синус угла между ними:
;
б/ вектор перпендикулярен
векторам и .
в/ система трех векторов имеет
правую
ориентацию. -18-
. Векторное произведение двух
векторов равно нулю тогда и только тогда, когда либо один из векторов равен
нулю, либо они коллинеарны.
. Геометрический смысл векторного
произведения.
Модуль /длина/ векторного
произведения векторов и равен
площади S
параллелограмма, построенного на этих векторах, как на сторонах:
/2.10/
. Физический смысл векторного
произведения.
Момент силы ,
приложенной к материальной точке А, относительно точки О равен
. /2.11/
Свойства векторного произведения
. /антипереместительный
закон/
. /распределительный
закон/
. /сочетательный закон
относительно числового множителя/
. /векторное произведение вектора
на себя равно нулю/. Это свойства является следствием п.з. данного параграфа.
Векторное произведение вектора
и
В координатной форме:
/2.12/
ПРИМЕРЫ
. Векторы и образуют
угол Зная, что вычислить площадь параллелограмма,
построена на векторах и
Решение. а/ Используя свойства
векторного произведения, вычислим
б/ Площадь параллелограмма найден, учитывая
геометрический смысл векторного произведения:
.
Ответ: S=21
. Даны вершины треугольника
А(1,-2,3), В(0,2,2) и С(-1,2,1). Вычислить площадь S
треугольника АВС и длину высоты h, опущенной из вершины А на сторону ВС.
Решение: а/ Рассмотрим два вектора и , исходящие
из общей точки С. Их координаты равны
По формуле /2.12/ определим
векторное произведение этих векторов:
По формуле /2.10/ найдем S1 - площадь
параллелограмма, построенного на векторах и :
.
Затем вычислим площадь треугольника
АВС:
.
б/ По формуле /2.2/ определим длину
сторон СВ:
.
Теперь из соотношения найдем
длину высоты:
Ответ:
. Даны три силы и , приложенные к точке А(0,1,2).
Определить величину и направляющие косинусы момента равнодействующей этих сил
относительно начала координат О.
Решение. а/ найдем равнодействующую
силу R по формуле
/2.5/:
б/ Вычислим координаты вектора
в/ По формуле /2.11/ определим
вектор момента равнодействующей
силы в координатной форме:
г/ Вычислим величину момента: затем
направляющие косинусы момента:
Ответ:
№ 4.
Смешанное произведение и его применение
. Смешанным произведением трех
векторов называется
число, равное скалярному произведению вектора на вектор :
. Смешанное произведение трех
векторов равно нулю тогда и только тогда, когда либо один из векторов равен
нулю, либо они компланарны.
. Геометрический смысл смешанного
произведения.
Абсолютная величина смешанного
произведения трех векторов равна объему V
параллелепипеда, ребрами которого является эти векторы:
/2.13/
Знак смешанного произведения
определяет ориентацию системы трех векторов в пространстве: если то система
имеет правую ориентацию, если то левую.
Свойства смешанного произведения
.
. .
/При перестановке сомножителей
смешанное произведение не изменится, если не изменится ориентация системы
векторов. Если ориентация системы изменится, то у смешанного произведения
изменится только знак/.
Смешанного произведение векторов
, ,
В координатной форме:
/2.14/
Признаки компланарности векторов
/2.15/
ПРИМЕРЫ
. Вычислить объем V тетраэдра,
вершины которого находятся в точках А(-1,0,1), В(0,1,1), С(4,1,-2) и D(2,-1,0).
Решение. а/ Рассмотрим три вектора и , исходящие
из общей точки А. Их координаты равны
.
б/ Вычислим смешанное произведение
этих векторов по формуле /2.14/:
в/ Найдем объем
параллелепипеда V1, учитывая геометрический смысл
смешанного произведения, по формуле /2.13/:
г/ Объем тетраэдра V получим из
соотношения
Ответ:
3. При
каком значении α четыре
точки А(0,1,-1), В(1,0,1), С(1,2,0) и D(1,1,α)
лежат
в одной плоскости?
Решение. а/ рассмотрим три вектора и , исходящие
из общей точки А. Четыре точки А,В,С и D лежат в
одной плоскости тогда и только тогда, когда векторы и компланерны.
Координаты этих векторов равны .
б/ Запишем условие компланетности
трех векторов и в
координатной форме - см. формула /2.15/:
Вычислим полученный определитель
разложением по элементам третьей строки:
или1(-1-2)+(α+1)(1+1)=0,или-3+2(α+1)=0,
Ответ:
Самостоятельная работа
1. Построить пирамиду с вершинами 0(0,0,0),
А(5,2,0), В(2,5,0), С(1,2,4) и вычислить ее объем.
2. Даны векторы при каком
значении m векторы
компланарны.
. Построить пирамиду с
вершинами 0(0,0,0), А(5,2,0), В(2,5,0), С(1,2,4) и вычислить площадь грани АВС
и высоту пирамиды, опущенную на эту грань.
. При каком значении α четыре точки
А(0,1,-1), В(1,0, α
), С(1,2,0)
и D(1,1,2)
лежат в одной плоскости?
РАЗДЕЛ 3. ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРОВ В АНАЛИТИЧЕСКОЙ
ГЕОМЕТРИИ
Основные формулы
. Общее уравнение плоскости
Ax+By+Cz+D=0
/3.1/
Высокий /не равный нулю/ вектор,
перпендикулярный к данной плоскости, называется её нормальным вектором. Вектор - нормальный
вектор плоскости, заданный уравнением /3.1/.
. Уравнение плоскости по точке М0(Х0,Y0,Z0) и
нормальному вектору :
A(X-X0)+B(Y-Y0)+C(Z-Z0)=0 /3.2/
. Уравнение прямой L в
пространстве как линии пересечения двух плоскостей π1 и π2:
/3.3/
Где коэффициент А1, В1, С1 не
пропорциональны коэффициентам А2, В2, С2.
. Канонические уравнения прямой L в
пространстве:
/3.4/
М0(Х0,Y0,Z0) - Точка
на прямой L.
S={p, q, r} -
направляющий вектор прямой L.
. Параметрические уравнения прямой L в
пространстве:
М0(Х0,Y0,Z0) - Точка
на прямой L.
S={p, q, r} -
направляющий вектор прямой L /3.5/
λ - параметр, -∞< λ <∞.
ПРИМЕРЫ
. Составить уравнение плоскости,
проходящей через точку М(1,-1,-1) параллельно векторам и .
Решение. а/ По условию задачи
векторы и параллельны
плоскости. Следовательно, по определению векторного произведения, вектор х
перпендикулярен плоскости и может быть взят и качестве её нормального вектора . Найдем
координаты вектора :
б/ По формуле /3.2/ составим
уравнение искомой плоскости:
(х-1)+2(у+1)-(z+1)=0 или
2х-2у+z-3=0
Ответ: 2х-2y-z-3=0/
. Составить уравнение плоскости,
проходящей через три точки
М1(-1,1,2), М2(0,1,-1), М3(2,-1,-1).
Решение. а/ Рассмотрим векторы М1М2
и М1М3 параллельны искомой плоскости /более того, лежат в этой плоскости/.
Следовательно, задача свелась к предыдущей задаче № 1: составить уравнение
плоскости, проходящей через точку М1 параллельно двум векторам М1М2 и М1М3.
Координаты нормального вектора ищем
по формуле
Уравнение искомой плоскости составил
по формуле /3.2/:
(x+1)-6(y01)-2(z-2)=0 или 3x+3y+z-2=0
Ответ: 3x+3y+z-2=0
. Определить, при каком значении α следующие
плоскости
х-6у+αz-4=0 и x-2y-z+1=0
а/ параллельны?
б/ перпендикулярны?
Решение. а/ Заданные плоскости
параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы и коллеарны.
Координаты нормальных векторов равны
Запишем условие коллинеарности этих
векторов - см. формула /2.6/:
Из пропорции получим α=-3.
б/ Заданные плоскости
перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы и перпендикулярны.
Запишем условие перпендикулярности
этих векторов - см. формула /2.9/:
3+12-α=0
Откуда α=15
Ответ: При α=-3. плоскости
параллельны, при α=15
плоскости
перпендикулярны.
. Составить канонические и
параметрические уравнения прямой
Решение. а/ Искомая прямая L является
линией пересечения двух плоскостей. Найдем какую-либо точку, принадлежащую
прямой L. Для этого
в заданных уравнениях плоскостей положим какое-либо неизвестное равным
постоянной, например, z=0.
Найдем значения двух других
неизвестных из полученной системы уравнений:
Точка М(1,-2,0) лежит на прямой L.
б/ Определим направляющий вектор
прямой S. Для этого
найдем
нормальные векторы плоскостей: .
Вектор будет
параллелен обеим плоскостям и, следовательно. Линии их пересечения L. Поэтому
возьмем вектор в качестве
направляющего вектора прямой L. Найдем координаты вектора :
в/ По формуле /3.4/ составим
канонические уравнения прямой L:
г/ По формуле /3.5/ составим
канонические уравнения прямой L:
-∞<
λ <∞.
Ответ: , х=1-3λ, у=2-λ, z=2λ, (-∞<
λ <∞).
. Составить канонические и
параметрические уравнения прямой, проходящей через две данные точки А(0,1,-1) и
В(1,-2,0).
Решение. а/ Схематически изобразим
прямую /более того, лежит не ней/, то его можно взять в качестве направляющего:
б/ По формуле /3.4/ составил
канонические уравнения прямой, проходящей через точку А(0,1,-1) в направлении
вектора
.
в/ По формулам /3.5/ составим
параметрические уравнения искомой прямой:
-∞< λ <∞.
Ответ: , х=λ, у=1-3λ, z=-1+λ, (-∞<
λ <∞).
. Составить канонические и
параметрические уравнение прямой, проходящей через точку М(0,2,2) параллельно
прямой
Решение. Схематически
изобразим искомую прямую L и данную прямую L1. Определим
направляющий вектор прямой L. Так как
прямые по условию параллельны, то направляющий вектор прямой L можно взять
равным направляющему вектору прямой L1. Из
заданных канонических уравнений прямой L1 получим:
По формуле /3.4/ составим
канонические уравнения искомой прямой L:
По формуле /3.4/ составим
параметрические уравнения искомой прямой L:
-∞< λ <∞.
Ответ: , x=2λ, y=2+3λ, z=2-λ, (-∞<
λ <∞).
7. Составить канонические и
параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М(1,-2,0)
перпендикулярно плоскости
x-3y+z-1=0.
Решение. Схематически изобразим
заданную плоскость π
и
искомую прямую L. Определим направляющий вектор
прямой L. Так как
эта прямая по условию перпендикулярна плоскости, то нормальный вектор плоскости
параллелен
прямой L. Поэтому
возьмем вектор в качестве
направляющего вектора искомой
прямой L:
По формуле /3.4/ составим
канонические уравнения прямой:
По формуле /3.5/ составим
параметрические уравнения прямой:
-∞< λ <∞.
Ответ: , x=1+2λ, y=-2-3λ, z=λ, (-∞<
λ <∞).
8. При каком значении α прямые
и
а/ параллельны? б/ перпендикулярны?
Решение. а/ Сначала из
заданных уравнений в соответствии с формулами /3.4/ и /3.5/ определим
направляющие векторы прямых
Две прямые параллельны тогда и
только тогда, когда их направляющие векторы коллинеарны. Запишем условие
коллинеарности этих векторов - см. формулу /2.6/:
.
Из пропорции получим
б/ Две прямые перпендикулярны тогда
и только тогда, когда их направляющие векторы перпендикулярны. Запишем условие
перпендикулярности векторов - см. формулу /2.9/:
Отсюда .
Ответ: Прямые параллельны при и
перпендикулярны при .
Самостоятельная
работа
1. Определить, при каком значении α следующие
плоскости
х-5у+z-4=0 и x-3y-αz+2=0
а/ параллельны? б/ перпендикулярны?
2. Составить канонические и параметрические
уравнения прямой,
проходящей через две данные точки А(2,1,-1) и
В(1,-2,0).
3. При каком значении α прямые и
а/ параллельны? б/ перпендикулярны?
3. Составить уравнение плоскости,
проходящей через точку М(1,-1,-1)
параллельно векторам и .
РАЗДЕЛ 4. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ
ФУНКЦИЯ С ПОМОЩЬЮ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
№ 1.
Простейшие геометрические преобразования
. Построение графиков функций с
помощью осевой симметрии.
А) с помощью симметрии относительно
оси ОY
Б) с помощью симметрии относительно
оси ОХ
. Построение графиков функций с
помощью сжатия (или растяжения) с осями координат.
А) с помощью сжатия (или растяжения) к
оси ОY. Если , то график
функции растягивают
от оси ОY в раз. Если , то график
функций сжимают к
оси ОY в раз. При
К<0 дополнительно график функции отражают симметрично относительно оси ОY.
Б) с помощью сжатия (или растяжения) к
оси ОХ. Если , то график
функции растягивают
от оси ОХ в раз. Если , то график
функций сжимают к
оси ОХ в раз. При R<0
дополнительно график функции отражают симметрично относительно оси ОХ.
3. Построение графиков функций с
помощью переносов параллельно осям координат.
А) с помощью переноса параллельно оси
ОХ на вектор .
Б) с помощью переноса параллельно оси
ОY на вектор .
Построение графика функции с помощью
композиции преобразований
График функции строят из
графика функции с помощью
последовательного выполнения преобразований 1 - 3:
А)
Если К<0, то дополнительно график
функции отражают симметрично относительно оси ОY.
Б)
Если R<0, то
дополнительно график функции отражают симметрично относительно оси ОX
В)
Г)
Построение графика функции
График функции при х ≥
0 (в правой полуплоскости совпадает) получается с помощью симметрии
относительно оси ОY, уже построенной для х ≥ 0
части графика.
Построение графика функции
График функции располагается
в верхней полуплоскости и получается из графика функции следующим
образом: все точки графика функции , лежащие на оси ОХ и выше её,
остаются на месте; все точки графика функции б лежащие нише оси ОХ, отражаются
симметрично относительно оси ОХ.
ПРИМЕРЫ
. Построить график дробно-линейной
функции
Построение. Вначале данную функцию
приводят к виду
:
Порядок построения графика:
А) Б) получают из
графика растяжением
от оси ОХ в 5 раз (ординаты всех точек увеличиваются в 5 раз).
А) получают на график Г) получают из
графика отраженном симметрично относи- переносом параллельно тельно оси
ОХ. Оси ОХ на вектор .
Д) получают из графика переносом
параллельно оси
ОY на
вектор .
Асимптоты графика:
х=1 и у=-2
точки пересечения с осями:
,
. Построить график показательной
функции .
Построение. Вначале данную функцию
приводит к виду :
Порядок построения графика:
А) y=3x=f(x); Б)
получают из
графика у=3х растяжением от оси ОY в 2 раза (абсциссы всех точек
увеличиваются в 2 раза).
В) получают из графика Г) получают из
графи-
отражением симметрично ка
переносом
параллель-
относительно оси ОY. но
оси ОХ на вектор
Точка пересечения с осью ОY:
C5(0,3)
. Построить график
тригонометрической функций y=3cos(2x+1)
Построение. Вначале данную функцию
приводят к виду
Порядок построения графика:
А) y=cosx = f(x); Б)
y=cos2x получают из
графика
y=cosx сжатием
к оси ОY в 2 раза.
-
Период Т=2π Амплитуда
А=1 Период Т= π Амплитуда А=1
В) y=3cos2x получают
из графика Г) получают из
гра-
y=cos2x растяжением
от оси ОХ фика y=3cos2x
переносом пара-
в 3 раза. ллельно
оси ОХ на вектор .
Период Т=π Амплитуда
А=3 Точки пересечения с осями:
(0;3cos1) и ;
. Построить график логарифмической
функции
Построение. Вначале данную функцию
производят к виду:
Порядок построения графика:
А) получают из
графика
отражением части,
расположенной в нижней
полу-плоскости, симметрично относи-тельно оси ОХ.
В) получают из Г) получают из
графика переносом графика
отра-
параллельно оси ОХ на вектор жжением
части, расположенной
в
нижней полуплоскости, сим-
метрично относительно оси ОХ.
Асимптота х=3
Точки пересечения с осями:
В3(2;0) и D(0;log23)
. Построить график обратной
тригонометрической функции
Построение.
А) Б) получают на
гра-
фика растяжением от оси ОY в 2 раза.
В) получают из гра- Г) получает из
фика растяжения от графика переносом
оси ОХ в 2 раза. параллельно
оси ОХ на вектор
Точки пересечения с осями:
Е(-1;0) и F(0;π/3)
№ 2. Графическое решение систем неравенств
Множество решений неравенства y>f(x) (или y<f(x)) находят
следующим образом.
На плоскости строят график функции y=f(x). Множество
точек плоскости М(x,y),
расположенных выше графика y=f(x), является
множеством решений неравенства y>f(x), а
множество точек М(x,y),
расположенных ниже графика y=f(x), является
множеством решений неравенства y<f(x), причем
рассматривают только те точки, абсциссы которых принадлежит области определения
функции f(x).
Множество решений неравенства f1(x)>f2(x) определяют
следующим образом.
На плоскости строят графики функций y=f1(x) или y=f2(x).
Множество точек x оси OX, при
которых график первой функции лежит выше графика второй функции является
множеством решений неравенства f1(x)>f2(x).
Множество решений системы неравенств
получают пересечением множеств решений отдельных неравенств входящих в систему.
ПРИМЕРЫ
1.Найти множество решений
неравенства .
Решение: Построим графики
показательной функции
y=2x и линейной
функции .
Определение точки пересечённая А(0,1) и В(2,4)
графиков.
Множество точек оси ОХ, при которых график
линейной функции лежит ниже графика показательной функции, образует интервал
(0,2).
Ответ: (0,2)
.Построить область, удовлетворяющую системе
неравенств
вектор произведение
неравенство геометрический
Построение:
А) Строки график функции: y=arcsin x
Б) Строим график функции :
Множество решений второго
неравенства системы заштриховано на чертеже (точки, лежащие на прямых y=±2, не
принадлежат множеству решений).
В) Область, удовлетворяющая системе
неравенств получается пересечением множеств решений первого и второго
неравенств (точки, лежащие на верхней и нижней границах области, не принадлежат
множеству решений, а точки, лежащие на баковых границах, принадлежат
множеству).
.Построить область, удовлетворяющую
системе неравенств.
Построение:А) Строим график функции
Множество решений первого
неравенства
системы заштриховано на чертеже
(точки, лежащие на оси ОY, не принадлежат множеству решений,
так как абсцисса этих точек равна нулю и не входит в область определения
функции ).
Б) Строим график функции :
Множество решений второго
неравенства системы заштриховано
В) Области удовлетворяющие системе
неравенств, получаются пересеченными множеств решений первого и второго
неравенств (точки, держащие на границах областей, включая отрицательную полуось
и точку 0, не
принадлежат множеству решений системы).
. Построить область, удовлетворенную
системе неравенств
Построение:
А) Строим графики функций y=-1 и
y=ln(2-x):
Порядок построения график:
y=ln(2-x): 1) y=lnx
) y=ln(-x)
) y=ln[-(x-2)]
Б) Строям графики прямых линий В)
Область, удовлетворяющая . системе
неравенств, изображена на чертеже (границы области не принадлежат множеству
решений).
Самостоятельная
работа
1. Построить графики функции:
а) , б) , в) ,
г) , д) , е) y=4cos(3x-1)
ЛИТЕРАТУРА
Бугров Я.С., Никольский С.М.Элементы
линейной алгебры и аналитической геометрии М: Наука 1985
Бугров Я.С. Никольский С.М.
Дифференциальное и интегральное исчисление М:. Наука 1984.
Пискунов Н.С.Дифференциальное и
интегральное исчисление М:. Наука 1985 Т.
Берман Г.М. Сборник задач по курсу
математического анализа М: Наука 1985
Клетеник Д.В. Сборник задач по
аналитической геометрии. М: Наука 1980