Суммирование степеней чисел натурального ряда и числа Бернулли
Содержание
Часть 1. Суммирование одинаковых степеней натуральных чисел
.1 Определение и постановка задачи
.2 Сумма n первых чисел натурального ряда
.3 Сумма квадратов n первых чисел натурального ряда
.4 Применение к определению площади сегмента параболы
.5 Сумма кубов n первых чисел натурального ряда
.6 Общий случай. Рекуррентная формула
.7 Выражение суммы k-х степеней n первых чисел натурального ряда через детерминант
.8 Формула Штерна
Часть 2. Бернуллиевы числа
.1 Некоторые свойства сумм Sk
Выражение суммы k-x степеней n первых чисел натурального ряда с помощью бернуллиевых чисел. Формула Моавра
.2 Сумма k-x степеней (n-1) первых чисел натурального ряда. Функция Бернулли
.3 Другой вид для Sk и формулы Моавра
.4 Представление бернуллиева числа в виде детерминанта
.5 Сумма степеней четных и нечетных чисел
.6 Знакопеременная сумма степеней
Список литературы
Часть 1. Суммирование одинаковых степеней натуральных чисел
.1 Определение и постановка задачи
Натуральным рядом чисел называется ряд последовательных целых положительных чисел, начиная от единицы, именно:
, 2, 3, 4, 5, 6, 7,...
Задача настоящей главы состоит в нахождении суммы одинаковых степеней чисел натурального ряда, т, е. суммы вида:
1k+2k+3k+...+nk(1)
где k - целое положительное число. Вначале будут даны элементарные методы суммирования отдельно для первых степеней, вторых, третьих и т. д. Затем будет дана рекуррентна формула, а также общее выражение суммы (1) с помощью детерминанта. Сумму (1) мы условимся обозначать через Sk, где значок k указывает, что мы имеем дело с k-ми степенями натуральных чисел. Таким образом мы можем написать
Sk=1k+2k+3k+ ... +nk.(2)
.2 Сумма n первых чисел натурального ряда
Поставим себе задачей найти сумму n первых чисел натурального ряда. Обозначим эту сумму через S1 Тогда будем иметь:
S1= 1+2 + 3 + ... + (n-2) + (n-1) + n. (1)
Напишем эту сумму в обратном порядке, а именно:
S1=n + (n-1) + (n-2) +... + 3+ 2 + 1. (2)
Сложим почленно выражения (1) и (2). Получим:
S1=(1+n]+[2+(n-1)]+[3+(n-2)]+ ... +[(n-2)+3]+[(n-1)+2]+[n+1] (3)
Легко видеть, что выражение, стоящее внутри каждой квадратной скобки, равно n+1. Таких скобок, очевидно, n. Следовательно, правая часть выражения (3) равна (n+1)n, и мы имеем:
2S1=(n+1)n, откуда S1=(n+1)n (4).
Можно дать другой способ вычисления S1, который затем будет проводиться также для суммирования квадратов, кубов и т. д. натуральных чисел. Чтобы найти сумму (1), будем исходить из известной формулы:
(x+1)2=x2+2x+1 (5)
Дадим х в этой формуле последовательные значения 1, 2,...,n-1, n. Тогда получим такую таблицу:
(6)
В этой таблице, как видим, n строк. Сложим почленно равенства (6), т. е. будем складывать числа по группам, группируя вместе числа, стоящие друг под другом. Будем иметь:
После приведения (подчеркнутых членов) справа и слева и введения обозначения Sslt получим:
(n+1)2=1+2S1+n или 2S,=(n+1)2-(n+1)=(n+1)n
Откуда
.3 Сумма квадратов n первых чисел натурального ряда.
Поставим себе задачей найти сумму квадратов л первых чисел натурального ряда: 12+22+32+…+(n-1)2+n2
Обозначив эту сумму через S2, будем иметь:
S2= 12 +22+32+…+(n-1)2+n2 (1)
Напишем известную из элементарной алгебры формулу разложения куба суммы двух членов:
(x+1)2=x3+3x2+3x+1 (2)
Будем теперь давать х в формуле (2) значения 1, 2,..., n-1, n. Получим такую таблицу из n строк:
(3)
Сложим равенства (3) почленно, будем иметь:
После приведения (подчеркнутых членов) и введения обозначений S1 и S2 получим:
(n+1)3 = 1+3S2+3S1+n (4)
Чтобы получить отсюда S2, заменим S1 его значением (4) из предыдущего параграфа и решим уравнение (4) относительно S2.
Будем иметь постепенно:
S2=(n+1)3-(n+1)-(n)+1-3(n+1)n\2 Или 6S2=2(n+1)3-2(n+1)-3(n+1)n
Вынося n+1 за скобку и произведя необходимые преобразования, получим:
6S2 = (n + 1) (2n2+n) = (n+1) n (2n +1),
или окончательно:
S2=n(n+1)(2n+1)/6
Так, например, при n=10, S2=10*11*21/6=385. Мы имеем, следовательно:
2+22+32+42+52+62+72+82+92+102=385
Из формулы (5) можно вывести такое любопытное предложение арифметического характера: каково бы ни было целое положительное число n, произведение n(n+1) (2n+1) всегда делится на 6.
В самом деле, выражение
n(n+1)(2n+1)/6
равно S2, a S2 как сумма квадратов целых чисел есть число целое.
.4 Применение к определению площади сегмента параболы
Полученное выражение суммы квадратов я первых чисел может быть использовано при вычислении площади параболического сегмента. Возьмем уравнение:
Начертим две прямые, пересекающиеся под прямым углом, Ох и Оу (черт. 1). Горизонтальную прямую Ох будем называть осью абсцисс, а вертикальную Оу - осью ординат. На оси абсцисс будем откладывать произвольные значения х (абсциссы), а на оси ординат значения у (ординаты), вычисленные по формуле (1), и будем строить точки, соответствующие парам чисел (x, у). Тогда получим такой график функции x2, как указано на чертеже. Полученная кривая называется параболой. Возьмем на параболе точку М с положительной абсциссой а. Опустив из М на ось Ох перпендикуляр МА, получим параболический сегмент ОАМ, где OA=а. Поставим задачу определить площадь этого сегмента. Для этого разделим OA на n равных частей; абсциссы точек деления, очевидно, будут:
(2)
В точках деления восставим ординаты до пересечения с дугой ОМ параболы. Точки пересечения обозначим буквами m1, m2,…,mn-1. Из точек т1 т2,…,mn-1, М проведем прямые, параллельные оси абсцисс, до пересечения с продолженной предыдущей ординатой. Тогда получим n прямоугольников, выходящих за параболу, как указано на чертеже.
Рис. 1
Очевидно, что площадь параболического сегмента ОАМ приближенно равна сумме площадей n прямоугольников. Эту сумму обозначим через σn ; чем больше будет n, тем меньше будут прямоугольники и тем меньше будет отличаться σn от искомой площади сегмента параболы. Обозначая площадь сегмента ОАМ через S, мы скажем, что площадь S есть предел σn при n, стремящемся к бесконечности. Это можно записать так:
S=пред σn
n->∞
Наша задача сводится, таким образом, к вычислению σn.
Для вычисления σn заметим, что площадь каждого прямоугольника равна произведению основания на высоту. Основание каждого прямоугольника равно - a/n, так как мы делим отрезок OA, равный а, на n равных частей. Что касается высот прямоугольников, то они определяются по формуле (1), если туда вместо х подставлять значения абсциссы (2) точек деления и значение а абсциссы точки М. Сделав это, получим для высот прямоугольников соответственно значения:
(последнее число получается, если в уравнение (1) вместо х подставить а, абсциссу точки М). Соответственно этому площади наших прямоугольников получат такие выражения:
Величина σn равна сумме величин (5):
или, вынося за скобку a3/n3, будем иметь:
Воспользовавшись формулой (5), получим:
и окончательно:
Чтобы перейти теперь к пределу при n -> ∞, согласно формуле (3), мы должны разделить каждую скобку числителя правой части формулы (6) на n. Тогда представим σn в такой форме:
Когда n стремится к бесконечности, - 1/n стремится к нулю; полагая 1/n- равным нулю, получим:
Следовательно, окончательно имеем для площади параболического сегмента: S=a3/3
Таким путем была определена: площадь параболического сегмента сиракузским математиком Архимедом в III в. до н. э. Рассмотренный прием лежит в основе современного интегрального исчисления.
.5 Сумма кубов n первых чисел натурального ряда
Чтобы определить сумму кубов:
13 + 23 + 33 + ... + n3,(1)
которую обозначим через S3, будем исходить из формулы:
(x+1)4=x4 + 4x3+6x2+4x+1(2)
которую легко проверить непосредственно. Дадим в этой формуле для х последовательно значения 1, 2, 3,..., n. Получим таблицу из я строк:
(3)
Сложим равенства (3) почленно. Получим:
После приведения вводя обозначения S1 , S2, S3, будем иметь:
(n+1)