Подъем инвариантов классических групп
Подъем инвариантов классических групп
А.Н. Зубков, Омский государственный педагогический
университет, кафедра алгебры
Пусть
G простая алгебраическая группа одного из трех классических типов - B, C, D,
над алгебраически замкнутым полем K произвольной характеристики. Группа G=G(n)
канонически вложена в GL(n) для подходящего n [8]. Рассмотрим диагональное
действие группы G на -
m экземплярах пространства матриц
M(n) сопряжениями. Возникает интересная задача - описать кольцо инвариантов
In,m=K[M(n)m]G(n) . В предлагаемой работе будет доказано, что имеет место
естественный эпиморфизм ,
который индуцирован каноническим отображением , где тогда и только тогда, когда , или (для симплектического случая определение другое,
здесь зануляются все элементы вне "центрального" -блока). На остальных местах
отображение тождественно.
Все
необходимые сведения о модулях с хорошей фильтрацией (кратко модули с ХФ),
можно найти в [5].
Мы
будем использовать идею доказательства теоремы 2 из [5]. Пусть .
Cлучай
B, D. Мы будем предполагать, что . Подходящим образом изменяя базис, мы можем
считать, что . Более
того, так как действие сопряжениями, то можно полагать даже, что .
Пара
аффинных G-многообразий (G
- произвольная редуктивная группа) называется хорошей, если K[W] и IV - G-
модули с ХФ. Здесь IV - это идеал . Пусть W=M(n), V= C(A)=CG(A), где . Наша задача сейчас -
показать, что и, что - хорошая пара.
Нетрудно
проверить, что g-1Ag = En + (a-1)(xij), где xij = g1ig1j, g=(gij), En -
единичная матрица. Обозначим через M(n)r множество матриц ранга , а через S - подпространство
симметрических матриц в M(n).
Лемма
1. Класс сопряженности V совпадает с , где T - это множество всех матриц,
удовлетворяющих условиям .
Обозначим
множество через L
Доказательство.
Легко проверить непосредственно, что M(n)1 совпадает с множеством матриц вида
(xiyj), где независимо
пробегают все векторы из n-мерного векторного пространства E(n). Пусть и лежит в . Тогда xiyj = yixj. Найдутся xi0 и
yj0 не равные нулю, ведь .
Тогда из xi0yj0 = yi0xj0 следует, что . Далее, если xi =0, тогда xi0yi= yi0xi =0, то
есть yi=0 и наоборот. Другими словами, xi =0 тогда и только тогда, когда yi =0.
Более того, для ненулевых коэффициентов отношение xi/yi является константой.
Обозначим ее t. Переходя к параметрам xi'=t-1/2xi=yi'=t1/2yi, можно
предполагать, что xi=yi для всех i. Подставляя в уравнения определяющие T и
используя то, что , мы
получим, что . Достроим
cистему из одного вектора x до ортонормированного базиса пространства E(n) и
расположим векторы этого базиса столбцами (причем x - первый) в матрице g.
Ясно, что , и g-1Ag = En
+ (a-1)z. Таким образом, .
Обратное включение очевидно.
Поскольку
, то мы можем
воспользоваться леммой 1 ()
[7] и заключить, что ,
если докажем, что нормальное
многообразие. Cдвиг и умножение на (ненулевой) скаляр - гомеоморфизмы, поэтому
достаточно показать, что нормально L. Пусть Sn - единичная сфера в E(n). Из
сказанного выше ясно, что отображение из Sn в L по правилу является доминантным. В частности, мы
имеем вложение . Образ
этого вложения порожден элементами xixj. Алгебра имеет градуировку , где R0 - подпространство, натянутое на мономы
четной степени, а R1 - нечетной. Элемент однороден относительно этой градуировки, поэтому
"наследует"
градуировку R. Будем обозначать ее теми же символами. Заметим еще, что K[L]=R0.
Ранг якобиана равен 1
по крайней мере на , и . По критерию Серра ([6] , теорема 5.8.6), K[Sn]
нормально (). Пусть
теперь - целый над R0.
Так как , то и . Следовательно, , то есть , откуда z1=0.
Согласно
предложению 6.7 [2], чтобы доказать, что ( отождествляется с , где ZG(A) - централизатор элемента A,
достаточно проверить, что дифференциал сюръективен. Однако . Используя формализм с двойными числами [8],
имеем: . Таким образом,
. Отсюда ясно, что
образ имеет ту же
размерность n-1. Итак, .
Отметим еще для дальнейшего, что ZG(A) состоит из матриц, у которых правый
"нижний" -угол
- это произвольная матрица из G(n-1), а в первом столбце и первой строке везде
стоят нули, кроме начала, где коэффициент равен .
По
тем же соображениям, что и выше, осталось показать, что (M(n), L) - хорошая
пара. Согласно лемме 1.3(a) [4], можно рассмотреть "башню" и проверить каждый
"скачок". Рассмотрим сначала . Мы имеем коммутативную (все морфизмы
G-эквивариантны) диаграмму:
где вертикальные стрелки -
это просто включения. Переходя к координатным алгебрам, мы получим
"дуальную" диаграмму:
В
первой диаграмме горизонтальные стрелки - G-доминантные морфизмы, поэтому во
второй - вложения. Отсюда ясно, что можно отождествить с (в принятых выше обозначениях). Здесь I - идеал,
порожденный элементом f. Из тех же градуировочных соображений ясно, что . Осталось отметить, что f
G-инвариант и, следовательно, G-модуль изоморфен R0. То, что R0 с ХФ, будет следовать
из того, что - хорошая
пара.
Пусть
теперь по правилу . Ясно, что -эквивариантное отображение, где K* =
GL(1) действует по правилу . Напомним, что отображение G-многообразий называется факторным, если сюръективно и . Хорошо известно, что K*-факторное отображение [4]. Обозначим
через . Покажем, что
(U, B) - хорошая пара. Функтор ограничения переводит GL(n)-модули с ХФ в
G-модули с ХФ. Алгебра изоморфна
как -модуль (Kl - это одномерный K*-модуль
с весом l). Хорошо известно, что GL(n)-модуль Sk(E(n)) с ХФ [9]. По теореме
Донкина-Матье, K[U] -модуль
с ХФ. Заметим, что достаточно доказывать наличие ХФ только относительно G.
Представим алгебру K[U] в виде . Отождествление происходит по правилу , где - стандартный базис E(n), а f1,f2 -
E(2). Cогласно [1], имеет
-фильтрацию c факторами
, где - функтор Шура, пробегает все разбиения с . Нетрудно заметить, что
идеал, порожденный xiyj-xjyi, совпадает с той частью фильтрации, где . Поскольку без кручения [3], то . В частности, IB с ХФ как G-модуль, а
значит, и как -модуль. В
итоге многообразия U, B, Z удовлетворяют условиям предложения 1.4(a) из [4]. А
это значит в частности, что - хорошая пара. Осталось заметить, что (M(n),
M(n)1) - хорошая GL(n)-пара по [4]. Согласно сказанному выше, это также хорошая
G-пара. В частности, хорошей G-парой будет , что и требуется.
Случай
C. Здесь доказательство аналогично ортогональному случаю. Мы только вкратце
повторим основные моменты, указав отличие от рассмотренного выше. Матрица A
остается той же самой. При этом у элементов группы ZG(A) первые и последние
строки и столбцы нулевые, кроме элементов на диагонали, которые взаимно обратны
и пробегают K*. Кроме того, "серединный" -квадрат лежит в G(n-2)=Spn-2(K). Далее, легко
проверить, что класс сопряженности C(A) совпадает с En + (a-1)L, где . В частности, он уже
замкнут. Проверка того, что отождествляется с факторным совершенно аналогична. Здесь , образ Lie(G) состоит из
матриц того же вида, что и в ортогональном случае, только коэффициенты первой
строки и первого столбца никак не связаны друг с другом и поэтому размерность
образа тоже равна 2n-2. Наконец, (M(n), L) - очевидно хорошая пара. Достаточно
рассмотреть башню и
использовать то, что tr(x)-1 - G-инвариант! Заметим еще, что в симплектическом
случае характеристика поля произвольна.
Пусть
теперь G - любая группа типа B, D, C. Дословно повторяя доказательство теоремы
2 из [5], мы получим эпиморфизм , индуцированный (на остальных общих матрицах отображение
тождественно). Разбив матрицы из M(n) на блоки в соответствии с блочным
"строением" группы ZG(A), мы видим, что пространство M(n) изоморфно
(так как ZG(A)-многообразие) в ортогональном случае и в симплектическом. Здесь K и K4
тривиальные модули, а на En-1 (соответственно на En-2) ZG(A) действует как
G(n-1) (G(n-2)) c точностью до умножения на скаляр. Отсюда ясно, что
каноническое отображение (), даст эпиморфизм (). Пусть Rn,m - Q-алгебра, порожденная следами
от всевозможных произведений общих матриц, или транспонированных к ним (в
случае C - симплектически транспонированных).
Доказательство.
К сожалению, размеры статьи, допустимые в данном журнале, не позволяют нам
привести полное доказательство. Поэтому мы просто отметим здесь, что In,m
порождается элементами из После этого утверждение леммы очевидно, ведь
произведение матрицы A на матрицы Xi(n), у которых приравнены нулю коэффициенты
левого верхнего "угла" (или "окаймления" в случае C), дает
тот же результат, что и произведение единичной матрицы.
В
силу сделанного выше замечания о порождающих In,m специализация отображает In,m+1 в In,m. Отсюда уже
легко получается основная теорема.
Теорема.
Каноническое отображение алгебры K[M(n)m] в K[M(n-1)m] ( в случае C) индуцирует эпиморфизм
колец инвариантов.
Список литературы
Akin K., Buchsbaum D.A., Weyman J. Shur functors and Shur
complexes// Adv. in Math. Vol.44. P.207-278 (1982).
Борель
А. Линейные алгебраические группы. M.: Мир., 1972.
De Concini C., Procesi C. A characteristic free approach to
invariant theory// Adv. in Math. 1976. Vol.21. P. 330-354.
Donkin S. The normality of conjugacy classes of matrices// Inv.
Math., Vol.101. P.717-736 (1990).
Donkin S. Invariants of several matrices// Invent. Math. Vol.110.
P.389-401 (1993).
Grotendick A., Dieudonne J. Elements de geometrie algebriques//
Inst. Hautes Etudes Sci.Publ.Math. 4. 1960-1967.
Grosshans F. Observable subgroups and Hilbert's fourteenth problem//
Am.J. Math. 95. P.229-253 (1973).
Humphreys J.E. Linear algebraic groups/ Springer Verlag. 1975.
Zubkov A.N. Endomorphisms of tensor products of exterior powers and
Procesi hypothesis// Commun. in Algebra. 22(15). 6385-6399 (1994).
Для
подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.omsu.omskreg.ru/