Исследование решений одной системы интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций
Исследование решений одной системы
интегро-дифференциальных уравнений, возникающей в моделях динамики популяций
Н.В. Перцев, Омский государственный педагогический
университет, кафедра математического анализа
1. Введение
В
работе автора [1] предложена математическая модель, описывающая динамику
численности некоторых популяций с ограниченным временем жизни особей. Модель представляет
собой систему интегро-дифференциальных уравнений
с
начальным условием
где
, а оператор имеет вид , .
В
настоящей работе приводятся результаты изучения вопросов существования,
единственности, неотрицательности и ограниченности решений системы уравнений
(1) с начальным условием (2). Рассмотрены также достаточные условия
экспоненциальной устойчивости нулевого решения, которые применяются к
исследованию вопроса о вырождении популяций. Для изучения поведения решений используются
принцип сжимающих отображений, монотонный метод [2, с. 43] и свойства М -
матриц [3, с. 132].
2. Основные результаты
Введем
некоторые обозначения.Пусть - длина вектора , - норма матрицы A = ( ai j ), [4, с. 196], A+ -
матрица, составленная из элементов , Rm+ - множество векторов с неотрицательными компонентами. Если , то запись u>0 означает,
что ui>0 при всех .
Неравенства между векторами из Rm понимаются как неравенства между их
комнонентами. Для фиксированного T>0 под C+T будем понимать пространство
неотрицательных непрерывных на отрезке [0,T] функций с нормой , где K>0 - некоторая константа, [2, с. 11].
В системе (1) , при под понимается правосторонняя производная. Далее, , , , , . Функции предполагаются непрерывными в своих областях
определения.
От
системы уравнений (1) с начальным условием (2) перейдем к эквивалентной системе
интегральных уравнений вида
где
(Fx)(t) =
Здесь
при , h(t) = 0 при , - отрезок интегрирования, . Примем в дальнейшем, что выполнено
следующее предположение :
H)
элементы матрицы определены,
непрерывны и ограничены, ;
функции удовлетворяют
условию Липшица , , , где D - некоторое выпуклое подмножество Rm+.
Пусть
M1 и M2 такие постоянные, что , , . Зададим матрицы A,B,Q по формулам : , где при и при , , Q = I - A B, I - единичная матрица. Положим
(Lx)(t)
=
Теорема
1. Пусть предположение H) выполняется на множестве D = Rm+. Тогда система
уравнений (3) имеет единственное непрерывное решение x=x(t), определенное на , и справедливы оценки , где .
Теорема
2. Пусть предположение H) выполняется на некотором прямоугольнике и существует , такой, что . Тогда система уравнений (3) имеет единственное
непрерывное, ограниченное решение x=x(t), определенное на , и справедливы оценки .
Теорема
3. Пусть предположение H) выполняется либо на множестве D = Rm+, либо на
некотором прямоугольнике D = D0. Пусть, кроме того, f(0) = 0 и Q является
невырожденной М - матрицей. Тогда система уравнений (1) имеет нулевое решение
x(t) = 0, которое является экспоненциально устойчивым, иначе для всех верно , где .
Приведем
краткую схему доказательства этих теорем. В условиях теоремы 1 будем искать
функцию w(t), удовлетворяющую неравенствам . Выберем . Используя оценку , приходим к неравенству , где , . Имеем, что при (поэлементно). Единичная матрица I является
невырожденной М - матрицей. В силу непрерывной зависимости найдется такое
a0>0, что (I - A0(a0) B) также будет невырожденной М - матрицей. Используя
свойства невырожденных М - матриц, получаем, что существует , такой, что верно неравенство . Отсюда следует, что при всех . Зафиксируем T>0 и обозначим через
CwT множество всех функций , удовлетворяющих неравенству . Тогда из неравенств следует, что . Пусть множество . Для всех верно, что , где , , . Полагая , получаем, что отображение F является
сжимающим. При доказательстве теоремы 2 функция w(t) ищется в виде w(t) = b0,
где . Если существует , такой, что , то и является сжимающим отображением на CwT. Используя
далее принцип сжимающих отображений, убеждаемся в справедливости утверждений
теорем 1 и 2.
Для
доказательства теоремы 3 строится оценка на решение , где , функция w(t) такова, что . Эти неравенства будут выполнены,
если , где , при при . Матрица (I - A1(a) B) непрерывно зависит от a
и (поэлементно) при . Так как Q является
невырожденной М - матрицей, то найдется a = a0 >0 такой, что (I - A1(a0) B)
также будет невырожденной М - матрицей. Используя свойства невырожденных М -
матриц, можно показать, что существуют и такие, что выполняется неравенство . В итоге получаем, что
справедливы оценки на решение .
3. Заключение
Установленные
выше результаты указывают на корректность применения представленной модели в
целях описания динамики численности популяций. Это связано с тем, что решения
модели обладают такими важными свойствами, как существование, единственность,
неотрицательность и ограниченность, которые соответствуют смыслу моделируемых
процессов.
Важным
следствием теоремы 3 являются достаточные условия, при которых популяция
вырождается, т.е. ее численность x(t) такова, что при . Предположение H) задает ограничения на
интенсивности процессов рождения и гибели особей, тогда как условие f(0) = 0
означает, что нет внешних источников поступления новых особей. Заметим, в
частности, что предположение H) и условие f(0) = 0 выполняются для линейных
процессов рождения и гибели особей. В нелинейном случае этому предположению и
условию удовлетворяют f(x) и , заданные в виде некоторых многочленов,
рациональных функций либо функций с непрерывными частными производными. Функции
такого вида широко используются в моделях биологических процессов, см.,
например, [5,6].
Нетрудно
показать, что матрица Q будет невырожденной М - матрицей для малых или при достаточно малых
ненулевых элементах матрицы B. Если в условиях теоремы 3 D = Rm+, то
экспоненциальная оценка на решение x(t) справедлива при любом начальном
значении x(0). Если же D = D0, то эта оценка выполняется для x(0), лежащих в
некоторой окрестности точки x = 0. В обоих случаях конкретный вид начального
распределения особей по возрасту не влияет на экспоненциальную оценку (вектор зависит только от значений
x(0)). В рамках принятых предположений можно сделать следующий вывод: если в
некоторых популяциях особи являются короткоживущими или интенсивности процесса
рождения особей достаточно малы, то такие популяции обязательно вырождаются,
причем независимо от начального распределения особей по возрасту.
В
завершение рассмотрим пример. Одной из классических моделей динамики популяций
является так называемая логистическая модель или модель Ферхюльста, которая
описывается дифференциальным уравнением
с
начальным условием , где
, см., например, [5, c.
14]. Если учитывать ограниченность времени жизни особей, то в соответствии с
(1) следует рассмотреть уравнение
с
начальным условием (2). Здесь в качестве множества D можно рассматривать
произвольный отрезок [0, d], . Пусть . Из теоремы 3 следует, что решение x(t) данного
интегро-дифференциального уравнения таково, что при для любых начальных значений x(0). Можно
показать, что этот результат справедлив и для . Неравенства задают на плоскости область параметров, при которых популяция
вырождается. Кроме того, можно показать, что для решение при , независимо от значений x(0), где x* -
единственный положительный корень уравнения С ростом t решение x(t) приближается к x* либо
монотонно, либо с затухающими колебаниями. Отметим, что решение логистической
модели таких колебаний не имеет.
В
заключение укажем, что система уравнений (1) с начальным условием (2) является
обобщением некоторых из моделей, рассмотренных в работе [7].
Список литературы
Перцев
Н.В. Применение одного дифференциального уравнения с последействием в моделях
динамики популяций // Фундаментальная и прикладная математика / Ред. А.К. Гуц.
Омск, 1994. С.119 - 129.
Красносельский
М.А. и др. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969.
Berman A., Plemmous R.J. Nonnegative Matrices in the Mathematical
Sciences. New York, Academic Press, 1979.
Свирежев
Ю.М. Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии. М.:
Наука, 1987.
Марри
Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях. М.:
Мир, 1983.
Cooke K., Yorke A. Some equations Modelling Growth Processes and
Gonorhea Epidemics // Math. Biosci., 1973. V.16. P.75 - 101.
Для
подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.omsu.omskreg.ru/