Уравнения свертки. Обобщенные функции
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
.
Обобщенные функции
.1
Основные понятия
.2
Пространство обобщенных функций
.3
Дифференциальные уравнения в обобщенных функциях
.4
Свойства обобщенных производных
.5
Обобщенные функции, отвечающие квадратичным формам с комплексными коэффициентами
.
Операции над обобщенными функциями
.1
Свертка обобщенных функций
.2
Преобразование Лапласа обобщенных функций
.3
Преобразование Фурье обобщенных функций
Заключение
Список
использованных источников и литературы
Приложение
А Нахождение решения уравнения изгиба балки в математическом пакете Maple
Введение
Со времен Огюстена Коши понятие функции постоянно уточнялось и
претерпевало все более широкие обобщения и расширения. Обобщенные функции
являются крупнейшим достижение математики XX века. Обобщенные функции получают
сейчас все более широкое распространение в различных разделах математики и
физики.
Понятие обобщенной функции с одной стороны, дает возможность выразить в
математически корректной форме такие идеализированные понятия, как плотность
материальной точки (пространственная), плотность простого или двойного слоя,
интенсивность мгновенного источника и т.д. С другой стороны, в понятии
обобщенной функции находит отражение тот факт, что реально нельзя измерить
значение физические величины в точке, а можно измерять лишь ее средние значения
в достаточно малых окрестностях данной точки. Таким образом, понятие обобщенной
функции учитывает эту двойственную природу измерений и потому служит адекватным
аппаратом для описания распределений различных физических величин. В литературе
обобщенные функции часто называют распределением.
В
конце 20-х годов П. Дирак ввел так называемую -функцию,
обладающую следующим свойством для , если - любая
непрерывная функция, то . Конечно и самому Дираку было ясно, что с
математической точки зрения это определение бессмысленно, что функция не есть функция, понимаемая в классическом
смысле. У О. Хевисайда в его операционном исчислении функция выступает как результат применения оператора к единичной ступеньке. В середине 30-х годов С.Л.
Соболев заложил основы теории обобщенных функций как линейных непрерывных
функционалов над пространством достаточно «хороших» функций и успешно применял
их в исследовании задачи Коши для уравнения гиперболического типа. В
послевоенные годы Л. Шварц, опираясь на созданную школой Н. Бурбаки теорию
линейных локально выпуклых топологических пространств дал систематическое
изложение теории обобщенных функций в его знаменитой двухтомной монографии и
указал на ряд важных ее применений.
Отдельные
классы сингулярных обобщенных функций по существу рассматривались в пионерских
работах С. Бохнера, Ж. Адамара и М. Рисса в связи с задачами «регуляризации»
расходящихся рядов и интегралов.
И.М.
Гельфанд и Г.Е. Шилов расширяют понятие обобщенной функции включая в
рассмотрение целую шкалу пространств основных функций как бесконечно
дифференцируемых, так и аналитических. В 50-е годы Н.Н. Боголюбов впервые
показал фундаментальную роль обобщенной функции в описании процессов локального
взаимодействия элементарных частиц и применил их для построения аксиоматической
квантовой теории поля. В это же время методами теории обобщенных функции были
установлены фундаментальные результаты для произвольных дифференциальных
операторов с постоянными и аналитическими коэффициентами. Следует подчеркнуть,
что обобщенные функции обладают рядом замечательных свойств и преимуществ,
расширяющих возможности классического математического анализа. Например, любая
обобщенная функция оказывается бесконечно дифференцируемой, т.е. сходящиеся
ряды и последовательности их обобщенных функций можно почленно дифференцировать
бесконечно число раз. Поэтому использование техники обобщенных функций
существенной расширяет класс рассматриваемых задач и к тому же приводит к значительным
упрощениям, формализуя элементарные операции.
Целью
курсовой работы является исследование обобщенных функций и их применение на
практике, в частности, на примере нахождения решения изгиба балки в
математическом пакете Maple. Поставленная цель определила постановку следующих
задач:
– анализ существующих видов обобщенных функций;
– изучение пространства обобщенных функций;
– решение уравнений в обобщенных функциях.
Курсовая работа состоит из двух глав. В первой главе рассматривается
понятие обобщенных функций и их виды, пространство обобщенных функции,
дифференциальные уравнения в них. Вторая глава посвящена операциям с
обобщенными функциями, применение свертки к обобщенным функциям, исследование
преобразований Лапласа и Фурье, этапам вычислений в пакете Maple с краткими
сведениями о работе.
В заключении приводится пример нахождения решения уравнения изгиба балки
с применением обобщенных функций в математическом пакете Maple.
1. Обобщенные функции
.1 Основные понятия
Обобщенные функции -
математическое понятие, обобщающее классическое понятие функции. Обобщенные
функции были введены впервые в конце 20-х гг. XX в. П. Дираком в его
исследованиях по квантовой механике, где он систематически использует понятие
дельта-функции и ее производных. Основы математической теории обобщенных
функций были заложены С.Л. Соболевым в 1936 году при решении задачи Коши для
гиперболических уравнений, а в послевоенные годы французский математик Л. Шварц
дал систематическое изложение теории обобщенных функций. Важную роль в
формировании теории обобщенных функций сыграли работы Ж. Адамара, в которых в
связи с изучением фундаментальных решений волновых уравнений рассмотрены
сходящиеся интегралы, а также работы М. Рисса.
С другой стороны, к теории обобщенных функций вплотную подводит теория С.
Бохнера преобразований Фурье функций степенного роста. Эти преобразования Фурье
являются по существу обобщенными функциями и выступают у С. Бохнера как
формальные производные непрерывных функций. Обобщенные функции необыкновенно
быстро, буквально за два-три года, приобрели чрезвычайно широкую популярность.
Достаточно указать хотя бы на тот факт, что количество математических работ, в
которых встречается дельта-функция, возросло во много раз.
В дальнейшем теорию обобщенных функций интенсивно развивали многие
математики, главным образом из-за потребностей математической физики. Теория
обобщенных функций имеет многочисленные применения и все шире входит в обиход
физика, математика и инженера.
Формально
обобщенные функции определяются как линейные непрерывные функционалы над тем
или иным линейным пространством основных функций .
Основным пространством функций является, например, совокупность бесконечно
дифференцируемых финитных функций, снабженная надлежащей сходимостью (или
точнее топологией). При этом обычные локально суммируемые функции отождествляются с функционалами (регулярными
обобщенными функциями) вида:
. (1)
Произвольная
обобщенная функция определяется как функционал , задаваемый равенством:
. (2)
Следовательно,
каждая обобщенная функция бесконечно дифференцируема. Равенство (2) в силу (1)
есть не что иное, как обобщение формулы интегрирования по частям для
дифференцируемых в обычном смысле функций , так что
в этом случае оба понятия производной совпадают.
Сходимость
на (линейном) множестве обобщенных функций вводится как слабая сходимость
функционалов. Оказывается, что операция дифференцирования обобщенных функций
непрерывна, а сходящаяся последовательность обобщенных функций разрешает
почленное дифференцирование бесконечное число раз.
Вводятся
и другие операции над обобщенными функциями, например свертка, преобразование
Фурье и Лапласа. Теория этих операций приобретает наиболее простую и
законченную форму в рамках понятия обобщенных функций, расширяющих возможности
классического математического анализа. Поэтому использование обобщенные функции
существенно расширяет круг рассматриваемых задач и приводит к значительным
упрощениям, автоматизируя элементарные операции.
Примеры:
- -функция
Дирака: , описывает плотность массы (заряда), сосредоточенной
в точке , единичный импульс;
- - функция Хевисайда: , при , , при , ;
производная от этой функции равна единичному импульсу;
- - плотность диполя момента в точке ,
ориентированного вдоль оси ;
- - плотность простого слоя на поверхности с
поверхностной плотностью ;
- плотность
двойного слоя на поверхности с
поверхностной плотностью момента диполей,
ориентированных вдоль направления нормали ;
- свертка
ньютонов, потенциал с плотностью , где - любая обобщенная функция (например, из первых пяти
пунктов);
- общее решение
уравнения колебаний струны задается формулой ,
где и любые
обобщенные функции.
1.2 Пространство обобщенных функций
обобщенный функция преобразование фурье
Совокупность
обобщенных функций, порождаемых основным пространством , образует пространство .
Рассмотрим подпространство обобщенных функций пространства
, состоящее их обобщенных функций, равных нулю вне
некоторого конечного интервала принадлежащего .
Применим в этом пространстве операцию умножения двух функций в виде свертки
этих функций. Если , то и Кроме
того свертка обладает всеми свойствами обычной операции умножения. Роль единицы
в играет функция , так как
для .
Пусть
существует такая что тогда называется обратной обобщенной функцией . Пространство с
введенной операцией умножения образует алгебру (коммутативную) со сверткой.
Пусть
существует алгебра со сверткой .
Обобщенная функция , так как она равна нулю всюду, кроме точки ноль.
Обобщенная функция сосредоточена вначале координат, поэтому Далее,
поэтому
Теорема.
Пусть для существуют обратные функции и , тогда
свертка имеет обратную функцию вида .
Действительно,
.
Есть
определенное в уравнение в свертках .
Свертка существует для любой обобщенной функции , так как
.
Следовательно,
является фундаментальным решением уравнения . В частности, фундаментальное решение уравнения с оператором принадлежит
алгебре со сверткой . Следовательно,
. (3)
Существует операционный метод решения уравнения в свертках. Пусть имеется
уравнение:
, (4)
где
. Среди эффективных методов решения этого уравнения
возьмем метод преобразования Лапласа. Применяя преобразование Лапласа к левой и
правой части этого уравнения, получается:
. (5)
Отсюда
следует: .
Если
для функции существует оригинал, принадлежащий , то он и является искомым решением. В качестве
примера можно рассмотреть уравнение . С
помощью преобразования Лапласа, следует: .
Следовательно,
. (6)
Поэтому
.(7)
Существуют
регулярные и сингулярные обобщенные функции. Обобщенные функции, определяемые
локально интегрируемыми в функциями по формуле ,
называются регулярными обобщенными функциями. Остальные обобщенные функции
называются сингулярными обобщенными функциями.
Производные
обобщенной функции: пусть . Тогда при всех справедлива
формула интегрирования по частям: . Это
равенство будет (обобщенной) производной обобщенной
функции : . В
частности, при данное равенство принимает вид: .
Первообразная
обобщенной функции: пусть n=1. Всякая непрерывная функция имеет (единственную с точностью до аддитивной
постоянной) первообразную: .
Обобщенная функция из называется
первообразной обобщенной функции из , если , т.е. .
Обобщенные
функции не имеют значений в отдельных точках. Тем не менее, можно говорить об
обращении в нуль обобщенной функции в области.
Говорят,
что обобщенная функция равна нулю в области , если для всех . Этот
факт будем записывать так: или . В соответствии с этим определением обобщенные
функции и называются
равными в области , если , при
этом: . В частности, обобщенные функции и называются
равными , если для всех
.
Пусть
обобщенная функция равна нулю в области . Тогда
она, очевидно, равна нулю и в окрестности каждой точки этой области.
Справедливо и обратное.
1.3 Дифференциальные уравнения в обобщенных функциях
Пусть
существует уравнение . Если -
обычная функция, то ее решение есть первообразная, то есть . Пусть теперь -
обобщенная функция.
Определение.
Обобщенная функция называется первообразной обобщенной функцией , если . Если - сингулярная обобщенная функция, то возможны случаи,
когда ее первообразная - регулярная обобщенная функция. Например, первообразная
является ; первообразная
является функция , а
решение уравнения можно записать в виде: ,
где .
Есть
линейное уравнение -го порядка с постоянными коэффициентами
, (8)
где
- обобщенная функция. Пусть - дифференциальный полином -го порядка.
Определение.
Обобщенным решением дифференциального уравнения (8) называется обобщенная
функция , для которой выполняется соотношение:
.
Если
- непрерывная функция, тогда единственным решением
уравнения (8) является классическое решение.
Определение.
Фундаментальным решением уравнения (8) называется любая обобщенная функция такая, что .
Функция
Грина - фундаментальное решение, удовлетворяющее граничному, начальному или
асимптотическому условию.
Теорема.
Решение уравнения (8) существует и имеет вид:
, (9)
если только свертка определена.
Пример:
.
Нетрудно
увидеть, что фундаментальным решением этого уравнения является , так как
(10)
и
. (11)
Поэтому
. (12)
1.4 Свойства обобщенных производных
- Операция
дифференцирования линейна и непрерывна из в :
в , если в ;
- каждая
обобщенная функция бесконечно дифференцируема. Действительно, если , то ; в свою
очередь и т.д.;
- результат
дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования. Например, ;
- если и , то
справедлива формула Лейбница дифференцирования произведения . Например, ;
- если
обобщенная функция , то ;
- если ряд , составленный из локально интегрируемых функций , сходится равномерно на каждом компакте, то его можно
почленно дифференцировать любое число раз (как обобщенную функцию), и
полученные ряды будут сходится в .
Пример.
Пусть
Функция
называется функцией Хевисайда или единичной функцией.
Она локально интегрируема и потому может рассматриваться как обобщенная
функция. Можно найти ее производную. Согласно определению, , т.е. .
1.5 Обобщенные функция , отвечающие квадратичным формам с комплексными
коэффициентами
До
сих пор рассматривались исключительно квадратичные формы с вещественными
коэффициентами. В этом пункте исследуется пространство всех квадратичных форм с комплексными коэффициентами.
Задачей
является определение обобщенной функции , где - комплексное число. Однако в общем случае не будет однозначной аналитической функцией от . Поэтому в пространстве всех квадратичных форм выделяют «верхнюю полуплоскость» квадратичных форм с
положительно определенной мнимой частью и определяют для них функцию . А именно, если квадратичная форма принадлежит этой «полуплоскости», то пологается , где . Такая
функция является однозначной аналитической функцией от .
Можно
сопоставить теперь функции обобщенную
функцию :
, (13)
где
интегрирование ведется по всему пространству. Интеграл (13) сходится при и является в этой полуплоскости аналитической
функцией от . Продолжая аналитически эту функцию, определяется
функционал для других значений .
Для
квадратичных форм с положительно определенной мнимой частью находятся
особые точки функций и вычисляются вычеты этих функций в особых точках.
Обобщенная
функция аналитически зависит не только от , но и от коэффициентов квадратичной формы . Тем самым, является
аналитической функцией в верхней «полуплоскости» всех квадратичных форм вида , где есть
положительно определенная форма. Следовательно, однозначно
определяется своими значениями на «мнимой полуоси», т. е. на множестве
квадратичных форм вида , где -
положительно определенная форма.
2. Операции над обобщенными функциями
.1 Свертка обобщенных функций
Пусть
и -
интегрируемые на любом конечном интервале функции. Свертка функций и определяется
соотношением:
,
если
только интеграл существует и интегрируем по любому конечному интервалу
переменной . Равенство двух интегралов легко проверить, сделав
замену .
Если
, -
регулярные обобщенные функции и , то
можно записать:
Произведение
и можно
рассматривать как прямое произведение , так
что:
.
Это
соотношение определяет свертку обобщенных функций , в том числе и сингулярные обобщенные функции.
Свертка
обобщенных функций имеет следующие свойства:
- ;
- ;
- ;
- если , то
(14)
Доказательство
последнего соотношения. Действительно, для
или
Примеры:
- ;
- .
2.2 Преобразование Лапласа обобщенных функций
Пусть
- обобщенная функция из . Если имеет
компактный носитель, то есть , то,
выражение имеет смысл для любого и
представляет собой целую аналитическую функцию. Она называется преобразованием
Лапласа обобщенной функции и
обозначается .
Определение.
Комплекснозначная функция действительного переменного называется оригиналом, если:
- для ;
- -
кусочно-дифференцируема;
- .
Тогда
функция называется преобразованием Лапласа функции . Функция бесконечно
дифференцируема в полуплоскости и для
нее справедливо следующее соотношение:
.
Если
, то , где - скачок функции в начале
координат. Обратное преобразование Лапласа равно .
Приведем преобразование Лапласа некоторых функций:
- ;
- ;
- ;
- .
Определение.
Преобразование Лапласа обобщенной функции определяется
соотношением: .
Свойства:
- ;
- ;
- .
В данном случае производные нужно рассматривать как производные
обобщенных функций.
Заметно, что:
- ;
- ;
- ;
- ;
- ;
Можно
найти преобразование Лапласа свертки обобщенных функций и :
.
Получается:
. Так как то . Также можно написать
.
Преобразование
Лапласа часто используемых обобщенных функций:
- ;
- ;
- ;
- ;
- ;
- ;
- ;
- ;
- ;
- ;
- ;
- ,
где
- функция Бесселя нулевого
порядка.
2.3 Преобразование Фурье обобщенных функций
Пусть
основное пространство состоит из бесконечно дифференцируемых
комплекснозначных функций действительного переменного , равных нулю вне некоторого конечного интервала.
Преобразование Фурье функции определяется
соотношением: .
Если
рассматривать как комплексную переменную , то
и
- бесконечно дифференцируемая функция (аналитическая)
во всей комплексной плоскости. Интегрируя по частям, получится:
.
В
общем случае можно записать:
.
Далее,
если - дифференциальный полином с постоянными
коэффициентами , то .
Определение.
Преобразование Фурье обобщенной функции называется
обобщенная функция , определяемая соотношением:
,
которое
для регулярных функций называется равенством Парсеваля.
Свойства
преобразования Фурье:
- ;
- ;
- ,
где
- оператор, обратный ,
удовлетворяющий соотношению
;
- ;
- .
Преобразование Фурье от некоторых обобщенных функций:
- ;
- ;
- ;
- ;
- .
Пример. Найти преобразование Фурье обобщенной функции Дирака. По
определению:
.
Заключение
Новые задачи физики и математики, появившиеся в XX столетии, привели к
появлению нового понятия функции - обобщенной функции или распределения.
Обобщенные функции получают сейчас все более широкое распространение в
различных разделах математики. В некоторой форме обобщенные функции по существу
уже давно применялись физиками.
Обычное
понятие функции, которое ставит в соответствие каждому значению (из некоторой области определения этой функции)
соответствующее ему значение ,
оказалось абсолютно недостаточным.
Потребность
в подобном обобщении возникает во многих физических и математических задачах.
Обобщенные функции дают возможность выразить в математически корректной форме
такие идеализированные понятия, как плотность материальной точки, точечного
заряда, точечного диполя, (пространственную) плотность простого или двойного
слоя, интенсивность мгновенного источника и т.д.
В
понятии обобщенной функции находит отражение тот факт, что реально нельзя
измерить значение физической величины в точке, а можно измерять лишь ее средние
значения в малых окрестностях данной точки. Поэтому, техника обобщенных функций
служит удобным и адекватным средством для описания многих распределений
различных физических величин.
В
курсовой работе в качестве примера применения обобщенных функций на практике
была взята задача на нахождение решения уравнения изгиба балки . Вычисления проводились в математическом пакете
Maple. В вычислениях применялись: -функция
Дирака, функция Хевисайда , их производные. Таким образом, было найдено решение
и построен график.
Приложение А
Нахождение
решения уравнения изгиба балки в математическом пакете Maple
Рисунок А.1 - Построение функции Хевисайда
Рисунок А.2 - Описание уравнений нагрузки
Рисунок А.3 - Уравнение изгиба балки и его граничные условия