Применение методов математической экономики к решению практических задач
Государственное
образовательное учреждение
высшего
профессионального образования
Сибирская
государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ)
Факультет:
Информационные системы в управлении (ИСУ)
Специальность:
Прикладная информатика в экономике (ПИЭ)
Кафедра:
Прикладная информатика в экономике (ПИЭ)
Курсовая
работа
по
дисциплине: «Математическая экономика»
Тема:
«Применение методов математической экономики к решению практических задач»
Выполнил:
студент гр. ПИ-09и1
Загиров
Ринат Рашитович
Проверил:
преподаватель
Попова
Ольга Аркадьевна
Омск
2010
Реферат
Пояснительная записка 32 с., 3 сх., 8 табл., 12
источников.
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ К
РЕШЕНИЮ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ.
МЕТОД АВС-АНАЛИЗА, МЕЖОТРАСЛЕВОЙ БАЛАНСОВЫЙ
МЕТОД, ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД, МЕТОД ВЕТВЕЙ И ГРАНИЦ.
Объектом исследования являются методы
математической экономике для решения экономических задач.
Цель работы - научиться решать задачи
математической экономики с помощью методов математической экономики.
В результате ознакомления с данными методами мы
научились рассчитывать затраты фирм их «плюсы и минусы».
Разработаны математические модели:
графический метод построения затрат, деревья затрат производственной единицы
продукции, алгоритмический метод <#"558822.files/image001.gif">
Теоретические основы ABC-анализа:
ABC-анализ
- метод, позволяющий классифицировать ресурсы фирмы по степени их
важности.анализ - анализ товарных запасов путём деления на три категории:
· А - наиболее ценные,
· В - промежуточные,
· С - наименее ценные.анализ - это
ранжирование ассортимента по разным параметрам. Ранжировать таким образом можно
и поставщиков, и складские запасы, и покупателей, и длительные периоды продаж.
Результатом АВС-анализа является группировка
объектов по степени влияния на общий результат.
Основные этапы выполнения задания и
краткое описание каждого этапа соответствующими выводами и результатами:
Шаг 1:
Необходимо рассчитать суммарный объем продаж за месяцы «январь», «февраль»,
«март».
В Excel
рассчитать это позволяет функция СУММ (число1;[число2];…).
Vj=, j=1,2,3; n=20
Шаг 2:
Необходимо
рассчитать суммарный объем продаж по каждому поставщику за месяцы. Столбец
назовем «Итого за 1 квартал».
В Excel
это также позволяет функция СУММ (число1;[число2];…).
Ui =, i = ; m=3
Шаг 3: Необходимо
найти долю в обороте по каждому поставщику. Для этого необходимо общую сумму за
квартал разделить на сумму объемов продаж по каждому поставщику.
Gi = Ui/U1*100%,
i
=
Шаг 4: Необходимо
рассчитать долю с накопительным итогом по каждому поставщику. Для этого нужно
просуммировать каждое предыдущее значение в столбце «Доля в обороте» с
последующим значением.
Hi = Hi +
H(i+1),
i =
Шаг 5: Произвести
распределение по группам. Сравнить начальные данные с полученными в результате
расчетов.
1) Группа А - 75% от общего
объема продаж
2) Группа B
- 15% от общего объема продаж
) Группа C
- 10% от общего объема продаж
Причем компания изначально считает, что
поставщики делятся на группы:
1) Группа А - 4 поставщика;
2) Группа В - 7 поставщиков;
) Группа С - 9 поставщиков.
Заключение: В
итоге все поставщики попали в группу С, так как доля в обороте всех поставщиков
меньше 10%.
Вывод:
В результате можно сделать вывод, что фирма некорректно сформировала сытовую
политику. В результате возможны дополнительные затраты на акции для
поставщиков, на самом деле не относящихся к группе А или B.
Все поставщики являются наименее ценными.
2. Межотраслевой балансовый метод и
его применение в задачах математической экономики
При решении задач, связанных с планированием
производства и реализацией продукции, приходится сталкиваться с проблемой
определения плановых показателей и распределения на основе полученных данных
имеющихся производственных ресурсов. Определение плановых коэффициентов затрат
- наиболее трудоемкая часть всей работы по составлению планового баланса.
Являясь укрупненными нормативами затрат складываются под влиянием многих
факторов: (степень детализации отраслей и продуктов в балансе, состав и
структура продукции, технология и техническое оснащение производства и др.).
Далеко не всегда воздействие этих факторов удается учесть с достаточной
полнотой и точностью.
Два предлагаемых к рассмотрению метода расчета
затрат: графический и аналитический позволяют с одной стороны реализовать
принцип наглядности в расчете затрат, а с другой стороны - точности, что
существенно повышает надежность расчетов плановых показателей на
рассматриваемый период.
2.1 Применение МБМ для расчетов
полных затрат
Все основные величины и параметры межотраслевых
и производственных матричных моделей находятся между собой в определенной
математической зависимости. Она характеризуется прежде всего уравнениями (1) и
(2), отражающим реально существующие взаимосвязи производства и отраслей в общественном
производстве.
i=1,2,…,n (1)
j=1,2,…,n (2)
Технологические связи между
отраслями и производственными процессами измеряются с помощью коэффициентов
прямых материальных затрат обозначаются . Он показывает сколько единиц
продукции 1-ый отрасли непосредственно затрачиваются в качестве средств
производства на выпуск единицы продукции j-ой отрасли.
При i=j имеем
коэффициент затрат собственной продукции отрасли на единицу её валового
выпуска.
Коэффициенты прямых материальных
затрат представляют собой отношение величины межотраслевых затрат представляют
собой отношение величины межотраслевых потоков к объему валовой продукции
потребляющих отраслей
i=1,2,…,n;
J=1,2,…,n.
(3)
Коэффициенты прямых затрат образуют квадратную
матрицу А, содержащую n
строк и n столбцов:
А=
Из формулы (3) следует, что
(4)
i=1,2,…,n. (5)
Формула (5) представляет собой
систему из n уравнений и
является основным математическим соотношением как стоимостных, так и
натуральных балансов, и служит исходным пунктом расчетов при разработке
балансов на плановый период.
При планировании производства
продукции на заданный период времени известны технологические коэффициенты . Тогда
система (5) содержит n уравнений и 2n неизвестных
- валовые выпуски всех отраслей , j=1,2,…n и уравнение
конечной продукции i=1,2,…n. Такая
система является неопределенной и имеет бесконечное множество решений. Для
нахождения решения системы необходимо задаться произвольными значениями любых n неизвестных
величин, тогда значение остальных n неизвестных
будут определяться однозначно решением системы (5).
2.1.1 Теоретические основы
графического метода построения затрат
Рассмотрим систему уравнений (5). В матричной
форме оно имеет вид:
Х = АХ + Y
(6)
где X= - вектор валовых выпусков;
Y= - вектор конечной продукции;
А= - матрица прямых затрат.
Перепишем (6) в виде:
X - AX=Y;
(E
- A)X=Y;
(7)
X= (E
- A) - Y.
Таким образом, общее решение системы (5) связано
с обращением матрицы
E-A =
Обозначим
Тогда уравнение (7) можно записать в
виде:
X=D*Y.
(8)
Выражение (8) определяет систему n уравнений,
которые выражают валовую продукцию каждой отрасли как функцию
конечной продукции всех отраслей:
i=1,2,…,n (9)
Валовая продукция выступает здесь
как взвешенная сумма количеств конечных продуктов, причем весами являются
коэффициенты , которые
показывают, сколько всего нужно произвести продукции 1-ой отрасли для выпуска в
сферу конечного использования единицы продукции j-ой отрасли.
Значение коэффициентов позволяют
ответить на вопрос: каковы полные потребности в продукции i,
необходимые для получения продукции вида j.
Рассмотрим матрицу
.
Между коэффициентами матрицы D и
коэффициентами и саму
единицу конечной продукции (i=j), которую
также нужно произвести, но которая не является затратами производства в узком
смысле:
=+.
Экономическое различие между
коэффициентами и заключается
в том, что отражают
структурные взаимосвязи промежуточного и конечного продукта, а -
структурные взаимосвязи валового и конечного продукта.
Вычисление полных и прямых затрат через операцию
обращения матрицы Е - А представляют собой относительно точный численный метод
расчета затрат, который позволяет на основе прямых затрат произвести плановые
расчеты полных затрат, исключая из рассмотрения косвенные затраты. При решении
многих производственных задач, в том числе в производственно планировании, необходимо
проводить анализ и учет косвенных затрат. Решить эту проблему позволяет
графический метод расчета затрат, который, который, обладая свойством
наглядности, дает лишь приближенные значения полных затрат.
2.1.2 Деревья затрат
производственной единицы продукции
Рассмотрим производство, в котором участвуют три
продукта Р1,Р2,Р3.
Для выпуска каждого из них требуется затрачивать
продукты двух других видов. Коэффициенты прямых затрат aij
приведены в таблице. Предполагается, что в собственном производстве никакой
продукт прямо не участвует. Поэтому коэффициенты, стоящие на главной диагонали
равны нулю.
Требуется определить в расчете на единицу
продукции Р1,Р2,Р3 приближенные коэффициенты полных затрат всех продуктов,
ограничившись косвенными затратами второго порядка включительно.
0 0,13 0,18
А = 0,26 0 0,5
0,6 0,3 0
Затрачено
Выпуск
|
Р1
|
Р2
|
Р3
|
Р1
|
0
|
0,13
|
0,18
|
Р2
|
0,26
|
0
|
0,5
|
Р3
|
0,6
|
0,3
|
0
|
Рассмотрим производство, в котором участвуют 3
продукта Р1, Р2, Р3. Для выпуска каждого из них требуется затрачивать продукты
2-х других видов. Коэффициенты прямых затрат аij
приведены в таблице. Предлагается, что в собственном производстве никакой
продукт прямо не участвует. Поэтому коэффициенты, стоящие на главной диагонали
равны 0.
Требуется определить в расчете на единицу
продукции Р1, Р2, Р3 приближенные коэффициенты полных затрат всех продуктов,
ограничившись косвенными затратами 2-ого и 3-его порядка включительно.
В соответствии с данными данной таблицы на
единицу продукции Р1 затрачивается 0,26 продукции Р2 и 0,6 продукции Р3. В свою
очередь единица продукта Р2 требуется затрат продукции Р1 в количестве 0,13
единицы и Р3 - 0,3. На единицу продукции Р3 расходуется 0,18 продукции Р1 и 0,5
продукции Р2.
Составим дерево затрат на производство единицы
продукции Р1 всех видов продуктов:
Рассчитаем на единицу продукции Р1 затраты
продукции Р2:
А11=0.5*0.6 + 0.26 + 0.26*0.13*0.26 +
0.5*0.3*0.26 = 0.19
А12=0.3 + 0.26 + 0.6*0.13*0.26 + 0.6 +
0.6*0.18*0.6 + 0.5*0.3*0.6 = 0.67
А13=0.18*0.6 + 0.13*0.5*0.6 + 0.13*0.26*0.18 =
0.85
Теперь рассчитаем косвенные затраты 3-его
порядка для единицы продукции Р1:
D11 = 0.26 +
0.26*0.13*0.26 + 0.5*0.3*0.26 + 0.6*0.5*0.13*026 + 0.26*0.18*0.3*0.26 + 0.5*0.6
+ 0.26*0.18*0.6*0.4 + 0.5*0.6*0.18*0.6 + 0.5*0.3*0.5*0.6 +
0.26*0.5*0.13*0.5*0.6 = 0.81
D12 = 0.3 + 0.26 +
0.6*0.13*0.26 + 0.3*0.26*0.13*0.26 + 0.6*0.18*0.3*0.26 + 0.5*0.3*0.3*0.26 + 0.6
+ 0.6*0.18*0.6 + 0.5*0.3*0.6 + + 0.5*0.26*0.18*0.6+0.6*0.13*0.5*0.6 = 0.91
D13 =
0.13*0.18*0.3*0.26+ 0.13*0.26*0.13*0.26 + 0.18*0.6*0.13*0.26 +
0.13*0.5*0.3*0.26 + 0.18*0.6 + 0.13*0.5*0.6 + 0.13*0.26*0.18 +
0.18*0.6*0.18*0.6 + 0.8*0.3*0.5*0.6 =0.47
Рассчитаем на единицу продукции Р2 затраты
продукции Р1 и Р3.Хотя, затраты продукта Р2 в собственном производстве равны 0,
однако косвенные затраты имеются, и коэффициент полных затрат не равен 0.
Рассчитаем на единицу продукции Р2 затраты 2-ого и 3-его порядков.
Составим дерево затрат на производство единицы
продукции Р2 всех видов продуктов:
Рассчитаем косвенные затраты 2-ого порядка для
единицы продукции Р2:
A21=0.13 +
0.13*0.26*0.13 + 0.18*0.6*0.13 + 0.18*0.3 + 0.13*0.5*0.3 = 0.44
A23=0.3 +
0.6*0.18*0.3 + 0.3*0.5*0.3 +0,6*0.13 + 0.3*0.26*0.13 = 0.46
Рассчитаем косвенные затраты 3-его порядка для
единицы продукции Р2:
D21 = 0.13 +
0.13*0.26*0.13 + 0.18*0.3*0.26*0.13 + 0.18*0.6*0.13 + 0.13*0.5*0.6*0.13 +
0.18*0.3 + 0.13*0.26*0.18*0.3 + 0.18*0.6*0.18*0.3 + 0.13*0.5*0.3 +
0.18*0.3*0.5*0.3 = 0.35
D22 = 0.26*0.13 +
0.26*0.13 + 0.26*0.13 + 0.5*0.6*0.13 + 0.26*0.18*0.6*0.13 + 0.5*0.3 +
0.26*0.18*0.3*0.1 + 0.5*0.6*0.18*0.3 + 0.26*0.13*0.5*0.3 + 0.5*0.3*0.3*0.5 +
0.5*0.3*0.26*0.13 = 0.44
D23 = 0,6*0.13 +
0.3*0.26*0.13 + 0.6*0.13*0.26*0.13 + 0.6*0.18*0.6*0.13 + 0.3*0.6*0.5*0.13 + 0.3
+ 0.6*0.18*0.3 + 0.3*0.5*0.3 + 0.3*0.26*0.18*0.5 + 0.6*0.13*0.3*0.5 = 0.5
Рассчитаем на единицу продукции Р3 затраты
продукции Р1 и Р2.Хотя, затраты продукта Р3 в собственном производстве равны 0,
однако косвенные затраты имеются, и коэффициент полных затрат не равен 0.
Рассчитаем на единицу продукции Р3 затраты 2-ого и 3-его порядков.
Составим дерево затрат на производство единицы
продукции Р3 всех видов продуктов:
Рассчитаем косвенные затраты 2-ого порядка для
единицы продукции Р3:
A31 = 0.18 +
0.13*0.26*0.18 + 0.18*0.6*0.18 + 0.13*0.5 + 0.18*0.3*0.5 = 0.29
A32 = 0.26+0.18 +
0.5*0.6*0.18 + 0.5 + 0.26*0.13*0.5 + 0.5*0.3*0.5 = 1.11
A33 = 0.6*0.18 +
0.3*0.26*0.18 + 0.3*0.5 + 0.6*0.13*0.5 = 0.37
Рассчитаем косвенные затраты 3-его порядка для
единицы продукции Р3:
D31 = 0.18 +
0.13*0.26*0.18 + 0.18*0.6*0.18 + 0.18*0.3*0.26*0.18 + 0.13*0.5*0.6*0.18 +
0.13*0.5 + 0.18*0.3*0.5 + 0.13*0.26*0.13*0.5 + 0.18*0.6*0.13*0.5 +
0.13*0.5*0.5*0.3 = 0.33
D32 = 0.26+0.18 +
0.5*0.6*0.18 + 0.26*0.13*0.26*0.18 + 0.5*0.3*0.26*0.18 + 0.26*0.18*0.6*0.18 +
0.5 + 0.26*0.13*0.5 + 0.5*0.3*0.5 + 0.5*0.6*0.13*0.5 + 0.26*0.18*0.3*0.5 = 1.12
D33 = 0.6*0.18 +
0.3*0.26*0.18 + 0.6*0.13*0.26*0.18 + 0.6*0.18*0.6*0.18 + 0.3*0.5*0.6*0.18 +
0.3*0.5*0.6*0.18 + 0.3*0.5 + 0.6*0.13*0.5 + 0.3*0.26*0.13*0.5 +
0.6*0.18*0.5*0.3 + 0.5*0.3*0.5*0.3 = 0.45
Составим матрицу полных материальных затрат
2-ого порядка:
0,19 0,67 0,85
А= 0,44 0,24 0,46
0,29 1,11 0,37
Составим матрицу полных материальных затрат
3-его порядка:
0,47 0,81 0,91
D= 0,35 0,44 0,5
0,33 1,12 0,45
Рассчитаем погрешность. Для этого из матрицы
материальных затрат 3-его порядка вычтем матрицу материальных затрат 2-ого
порядка и полученную матрицу умножим на 100%. Полученные проценты будут
погрешностью.
,47 0,81 0,91 0,19 0,67 0,85
F = D
- A = 0,35 0,44 0,5
- 0,44 0,24 0,46 =
0,33 1,12 0,45 0,29 1,11 0,37
0.28 0.14 0.12
= 0.09 0.20 0.04
0.04 0.01 0.08
Полученную матрицу умножаем на 100% и получается
погрешность от 1% до 28%.
2.2 Решение задач определенной
области валовой продукции по заданной конечности
потребитель балансовый затрата
маршрут
Объем валовой продукции , i=1,2,…, n по заданной
конечности продукции может быть определен по одной из формул
i=1,2,…,n (10)
i=1,2,…,n (11)
В первом случае расчет основывается
на коэффициенте прямых затрат , i=1,2,…, j=1,2,…,n и сводится
к решению системы n линейных уравнений с n
неизвестными. При большом числе отраслей этот способ предполагает применения
специальных методов. Если в задние по конечной продукции необходимо внести
изменения, то расчет валовой продукции требует пересчета, сводящего к решению
системы n уравнений.
Использование для расчета второй
формулы более удобно, каждое уравнения системы решается достаточно просто и
независимо от других. Изменение, которые необходимо внести в задание по
конечной продукции сводится к следующему: достаточно добавить или вычесть
определенные величины. Применение для расчетов второй формулы требует знания
коэффициентов полных затрат, которые определяются из решения системы n линейных
уравнений с n
неизвестными.
Поэтому для практических расчетов,
если просчитывается один или всего несколько вариантов, рационально
пользоваться первым соотношением, если же расчет производится для нескольких
вариантов конечной продукции с последующими неоднократными изменениями, то
целесообразно рассчитать один раз коэффициенты полных затрат, а варианты
просчитать по второй формуле.
Для решения системы алгебраических
уравнений с целью определения неизвестных коэффициентов используют такие методы,
как метод исключения Гаусса, метод полного исключения Жордана-Гаусса, метод
Зейделя, метод простых итераций.
2.2.1 Теоретические основы метода
Пусть дана система уравнений вида:
В качестве начального (нулевого)
приближения выбирается вектор свободных членов
То есть
Каждая последующая итерация
базируется на результатах предыдущей.
Для k-ой итерации
имеем:
По данным формулам можно получить
решение с любой точностью, при условии, что итерационный процесс сходится.
Достаточный признак сходимости
итерационного процесса: если максимальная сумма абсолютных величин
коэффициентов в первой
части уравнений меньше единицы, то процесс сходится, то есть
Метод простых итераций является
приближенным методом. Критерием остановки вычислительного процесса может служит
например, условие.
i=1,2,…,n
Где E - наперед
заданное число, характеризующие требуемую точность вычислений.
Пример:
Три отрасли: промышленность, сельское хозяйство и прочие отрасли составляют
основу межотраслевого баланса. На плановый период задана матрица прямых затрат
А и вектор конечной продукции Y:
0,45 0,25 0,2 24
А = 0,2 0,12 0,03 Y
= 18
0,15 0,05 0,08 6
Рассчитать плановые объемы валовой продукции,
величину межотраслевых потоков, чистую продукцию отраслей с точностью Е = 0,1.
Результаты представить в форме межотраслевого баланса.
Для расчета валовой продукции составим систему
уравнений:
Х1 = 0,45*Х1 + 0,25*Х2
+ 0,2*Х3 + 24,
Х2 = 0,2*Х1 + 0,12*Х2
+ 0,03*Х3 + 18,
Х3 = 0,15*Х1 + 0,05*Х2
+ 0,08*Х3 + 6;
Для проверки сходимости итерационного процесса
составим суммы:
,45 + 0,25 + 0,2 = 0,9,
,2 + 0,12 + 0,03 = 0,35,
Max {0.9; 0.35;
0.28} = 0.9 < 1
По достаточному признаку итерационный процесс
сходится. Определим нулевое приближение:
Х1(0) = 24,
Х2(0) = 18,
Х3(0) = 6,
Х1(1) = 0,45*Х1(0)
+ 0,25*Х2(0) + 0,2*Х3(0) + 24
Х2(1) = 0,2*Х1(0)
+ 0,12*Х2(0) + 0,03*Х3(0) + 18
Х3(1) = 0,15*Х1(0)
+ 0,05*Х2(0) + 0,08*Х3(0) + 6
Тогда Х1(1) = 40,5,
Х2(1) = 25,1,
Х3(1) = 20,52,
Проверим точность расчетов. Для этого вычислим
величины
|Xi(1)
- Xi(0)|,
i = 1,2,3,
и составим их с требуемым значением Е = 0,1
i = 1, |40.52 - 24|
= 16.52 > 0.1
i = 2, |25.1 - 18| =
7.9 > 0.1
i = 3, |20.52 - 6| =
14.5 > 0.1
Так как требуемая точность не достигнута,
переходим ко второй итерации.
Х1(2) = 0,45*40,5 +
0,25*25,1 + 0,2*20,5 + 14 = 52,6,
Х2(2) = 0,2*40,5 + 0,12*25,1
+ 0,03*20,5 + 18 = 29,73,
Х3(2) = 0,15*40,5 +
0,05*25,1 + 0,08*20,5 + 6 = 14,97.
i = 1, |52.6 - 40.52
| = 12.08 > 0.1
i = 2, |29.73 -
25.1| = 4.63 > 0.1
i = 3, |14.97 -
20.52 | = 2.55 > 0.1
Так как требуемая точность не достигнута,
итерационный процесс продолжается. Отмечу, что для решения данной задачи мне
потребуется выполнить тринадцать итераций, и только результаты последней
тринадцатой итерации значения будут удовлетворять заданной точности. Таким
образом, в результате применения метода простых итераций, получим:
Х1(13) = 67.16
Х2(13) = 36.38
Х3(13) = 19,44
За искомые значения элементов вектора Х
принимают результаты тринадцатой итерации, удовлетворяющие заданной точности.
Тогда Х1(13) = 67.16;
Х2(13) = 36.38;
Х3(13) = 19,44.
Заметим, что метод итераций формально очень
прост, строго цикличен, поэтому он легко программируется и реализуется. Другим
его преимуществом является интересное свойство самоисправляемости: отдельные
ошибки, допущенные в процессе расчетов, вообще говоря, не влияют на правильность
окончательно получаемых результатов.
Для составления баланса рассчитаем также
межотраслевые потоки средств производства Хij
по
формуле:
Xij
= aij * Xij
Получим:
Х11 = 30,2 Х21 = 9,09 Х31 = 3,9
Х12 = 13,43 Х22 = 4,36 Х32 = 0,58
Х13 = 10,07 Х23 = 1,82 Х33 = 1,55
Результаты вычислений с точностью до 0,1
представим в форме межотраслевого баланса. Величина чистой продукции
определяется как разница между валовой продукцией отрасли и суммой
межотраслевых потоков в каждом столбце.
Потребляющие
отрасли Производящие отрасли
|
Промышленность
|
Сельское
хозяйство
|
Прочие
отрасли
|
Конечная
продукция
|
Валовая
продукция
|
|
1
|
2
|
3
|
|
|
1
|
30,2
|
9,09
|
3,9
|
24
|
67,2
|
2
|
13,43
|
4,36
|
0,58
|
18
|
36,4
|
3
|
10,07
|
1,82
|
1,55
|
6
|
19,4
|
Чистая
продукция
|
13,5
|
21,1
|
-
|
-
|
Валовая
продукция
|
67,2
|
36,4
|
19,4
|
-
|
123
|
3. Построение кольцевых маршрутов
Коммерческая деятельность обычно
связана с командировками, поездками по городам для заключения сделок.
Расстояния между любой парой множества из п городов известны и составляют . Если
прямого маршрута между городами i и j не
существует, то допускают, что . Коммерсант, выезжая из какого-либо
города, должен посетить все города, побывав в каждом из них один и только один
раз, и вернуться в исходный город. Необходимо определить такую
последовательность объезда городов, при которой длина маршрута была бы
наименьшей. Таким образом, нам приходиться обращаться к данному методу.
3.1 Содержательная постановка задачи
Метод ветвей и границ (англ.
<#"558822.files/image053.gif">, если
коммивояжер переезжает из города i в городу j в противном
случае .
Задача заключается в определении
матрицы целых неотрицательных значений переменных ,
минимизирующих целевую функцию вида:
) для въезда в город только один раз
) для выезда из города только один
раз
3.3 Описание метода решения
В постановке задача коммивояжера
представляет собой задачу целочисленного линейного программирования.
Действительно, условия исключают в оптимальном решении значения как не имеющие
смысла, а ограничения требуют:
) чтобы маршрут включал только один
въезд в каждый город;
) чтобы маршрут включал лишь один
выезд из каждого города, а целевая функция включала длину маршрута коммивояжера;
) чтобы маршрут образовывал контур,
проходящий через все города.
Таким образом, формируется экономный
вариант маршрута в виде кольца.
3.4 Пример решения задачи
Решение этой задачи строится,
например, методом ветвей и границ целочисленного программирования: Процедура
нахождения оценок заключается в поиске верхних и нижних границ для оптимального
значения на подобласти допустимых решений.
В основе метода ветвей и границ лежит следующая
идея (для задачи минимизации): если нижняя граница для подобласти A дерева
поиска больше, чем верхняя граница какой-либо ранее просмотренной подобласти B,
то A может быть исключена из дальнейшего рассмотрения (правило отсева). Обычно,
минимальную из полученных верхних оценок записывают в глобальную переменную m;
любой узел дерева поиска, нижняя граница которого больше значения m, может быть
исключен из дальнейшего рассмотрения.
Если нижняя граница для узла дерева совпадает с
верхней границей, то это значение является минимумом функции и достигается на
соответствующей подобласти.
Заключение
В данной курсовой работе мы изучили и поняли
суть нескольких методов решения математических задач. Данные методы могут
применяться в различной экономической деятельности. На основе этих методов мы
можем написать какие-то информационные системы, которые будут помогать в
решении каких-то экономических процессов.
Данные методы очень актуальны и интересны, по
моему мнению, так как они просты на процесс своего выполнения и выдают
ожидаемо-правильный результат.
В своё время каждый из этих методов очень
своеобразен и отличается от другого на него похожего. Вот например в методе
АВС-анализа для того чтобы прийти к ожидаемому результату, нам необходимо
построить таблицу в Microsoft
Office Excel
«вбить» туда нужные нам формулы и мы получим ответ. В своё время каждый из этих
методов очень своеобразен и отличается от другого на него похожего. А если
рассматривать межотраслевой балансовый метод, то там всё делается вручную, мы
строим деревья затрат на единицу какой-либо продукции и дальше уже по заданным
нам формулам рассчитываем и получаем ответ.
Таким образом я пришёл к выводу, что данные на
изучение методы очень интересны и актуальны, по мимо всего этого меня
обрадовало то, что в каждом из них есть какая-то «изюминка», которую мы не
найдём в другом методе.
Список используемых источников
1. Васин
А.А., Морозов В.В. - Теория игр и модели математической экономики.
2. Колемаев
В.А. - Математическая экономика.
. Салманов
О. - Математическая экономика с применением Excel.
. Колемаева
В.А. - Математические методы принятия решений в экономике.
. Каплан
В. - Решение экономических задач.
6. Пикуза
В. - Экономические и финансовые расчеты в Excel
<http://books.dore.ru/bs/f1bid9132.html>.
. Овечкина
Е. - Компьютерный анализ и интерпретация эмпирических зависимостей
<http://books.dore.ru/bs/f1bid8495.html>.
. Горелова
Г.В. - Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с
применением Excel <http://books.dore.ru/bs/f1bid3535.html>.
. Струченков
В. - Методы оптимизации в прикладных задачах <http://books.dore.ru/bs/f1bid9324.html>.
. Каплан
В.Е. - Решение экономических задач на компьютере
<http://books.dore.ru/bs/f1bid2598.html>.
. Нейман
В.Г. - Компьютерное моделирование экономики
<http://books.dore.ru/bs/f1bid7680.html>.
. Стихановская
Л.М., Семёнова И.И. - Методические указания по оформлению текстовых документов.