Доказательство великой теоремы Ферма для четных показателей степени
Файл: FERMA-2mPF-for
©
Н. М. Козий, 2007
Авторские
права защищены свидетельствами Украины
№ 27312 и
№ 28607
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА ДЛЯ ЧЕТНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ СТЕПЕНИ
Великая теорема Ферма
формулируется следующим образом: диофантово уравнение(#"457321.files/image001.gif"> /11/
Из уравнений /8/ и /11/
имеем:
C= /12/
Таким образом: B = /13/
C /14/
Из уравнений /11/ и /12/
следует, что необходимым условием для того чтобы числа В и С были
целыми, является делимость числа A2 на
число M , т. е. число M должно быть одним из сомножителей,
входящих в состав сомножителей числа А или A2.
Числа А и M должны иметь одинаковую четность.
По формулам /13/ и /14/
определяются числа B и
C как переменные, зависящие от значения
числа А как параметра и значения числа M.
Из изложенного
следует: 1. Квадрат
простого числа A
равен разности квадратов
одной пары чисел B
и C (при M=1). 2. Квадрат составного числа A равен разности квадратов одной пары
или нескольких пар чисел B и
C. 3. Квадрат числа Am равен разности квадратов нескольких
пар чисел. 4. Все числа A> 2 являются пифагоровыми.
Таким образом, существует
бесконечное количество троек пифагоровых чисел А, В и С и,
следовательно, бесконечное количество прямоугольных треугольников, у которых
стороны А, В и С выражаются целыми числами.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА
Вариант 1
Уравнение /3/ с учетом
уравнений /5/ и /6/ запишем следующим образом:
А2m = С2m –В2m =(Сm –Вm )∙(Сm +Вm) /15/
Тогда в соответствии с
уравнениями /13/ и /14/ запишем:
Cm /17/
Из уравнений /16/ и /17/
следует, что необходимым условием для того чтобы числа В и С были
целыми, является делимость числа A2m на число M ,
т. е. число M должно быть
одним из сомножителей, входящих в состав сомножителей числа А или A2m. Следовательно, число A2m должно быть равно:
A2m = M· D, /18/
где D – целое число.
Тогда : Bm = /19/
А число Cm с учетом уравнения /8/ равно:
Cm = Bm + M = /20/
Тогда из уравнений /19/ и
/20/ следует:
B = /21/
C /22/
Если допустить, что В
– целое число, то из уравнения /22/ следует, что число С не может
быть целым числом, так как сомножители в скобках в подкоренных выражениях в уравнениях
/21/ и /22/ отличаются всего на 1.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА
Вариант 2
Выше в доказательстве
теоремы Пифагора доказано, что все натуральные числа являются пифагоровыми.
Следовательно, все натуральные числа распределяются на тройки пифагоровых чисел
и, следовательно, все тройки пифагоровых чисел удовлетворяют уравнению /4/:
С2 =А2
+ В2 /23/
Пифагоровы числа (А,
В, С) могут быть истолкованы как длины сторон прямоугольного треугольника,
а их квадраты могут быть истолкованы как площади квадратов, построенных на гипотенузе
и катетах этого треугольника. Умножив приведенное уравнение на С, получим:
С3=А2∙
С + В2· С /24/
Из уравнения /24/
следует, что объем куба раскладывается на два объема двух параллелепипедов.
Поскольку очевидно, что в уравнении /23/ А<C и В<C, то из уравнения /24/ следует:
С3>А3
+ В3 /25/
На всем множестве троек
пифагоровых чисел ( а все натуральные числа образуют тройки пифагоровых чисел) при
показателе степени n=3 не может
быть ни одного решения уравнения /1/:
Следовательно, на всем множестве
натуральных чисел невозможно куб разложить на два куба.
Умножив уравнение /23/ на
С2, получим:
С2∙С2 =А2·С2
+ В2∙С2 /26/
Все члены этого уравнения
представляют собой объемы параллелепипедов:
параллелепипед С2∙С2
имеет в основании квадрат со стороной С и высоту С2;
параллелепипед А2∙С2
имеет в основании квадрат со стороной А и высоту С2;
параллелепипед В2∙С2
имеет в основании квадрат со стороной В и высоту С2.
Следовательно, в
соответствии с уравнением /26/ объем одного параллелепипеда разложился на сумму
объемов двух параллелепипедов.
Поскольку, как показано
выше, А<C и
В<C, то из уравнения /26/ следует:
С4>А4
+ В4 /27/
В общем случае уравнение
/26/ можно записать следующим образом:
С2∙Сn-2=А2·Сn-2 + В2∙Сn-2 /28/
Сn=А2·Сn-2 + В2∙Сn-2 /29/
Следовательно, в
соответствии с уравнениями /28/ и /29/ объем одного параллелепипеда разложился
на сумму объемов двух параллелепипедов. Поскольку, как показано выше, А<C и В<C, то из уравнения /29/ следует:
Сn>Аn + Вn /30/
Таким образом, великая
теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах при четных
показателях степени.