Расчёт и анализ нерекурсивного цифрового фильтра
1. Краткое математическое описание методов
расчёта
1.1. Общие положения
Цифровой
фильтр полностью описывается своим разностным уравнением:
(1)
Для
нерекурсивного цифрового фильтра и уравнение принимает
вид:
(2)
Зная коэффициенты
разностного уравнения, можно легко получить выражение для передаточной функции
фильтра (для НЦФ):
(3)
Для образа
выходного сигнала НЦФ справедливо выражение
, (4)
где – z-преобразования выходного и входного сигналов
фильтра.
Зная
выражение (4) и учитывая, что z-преобразование функции единичного скачка равно 1, можно получить выражение для z-образа импульсной
характеристики :
(5)
Из (5)
следует, что отсчеты импульсной характеристики НЦФ численно равны коэффициентам
разностного уравнения НЦФ, а сама импульсная характеристика и передаточная
функция связаны парой z-преобразований (прямым и обратным).
Заменив в (4)
z на , получим комплексную частотную
характеристику:
(6)
Импульсная
характеристика и комплексная частотная характеристика связаны парой
преобразований Фурье:
(7)
(8)
Из
комплексной частотной характеристики можно получить выражения для АЧХ и ФЧХ:
(9)
(10)
Во все
вышеприведённые формулы входит интервал квантования . Чтобы от
него избавиться, частоту обычно нормируют. Это можно сделать с помощью замены:
(11)
Так как
интервал определения , то интервал определения . Исходными данными для проектирования
фильтра является его АЧХ. Как правило, в зонах неопределённости АЧХ некоторым
образом доопределяют с тем, чтобы избежать явления Гиббса («выбросы»
характеристики в точках разрыва первого рода – «скачках»). В простейшем случае
доопределить АЧХ можно линейным законом. В этом случае АЧХ проектируемого
полосового фильтра будет выглядеть таким образом.
Аналитически
АЧХ будет записываться в виде:
(12)
При
проектировании часто полагают, что ФЧХ фильтра является линейной. В [1]
показывается, что в этом случае импульсная характеристика фильтра является либо
симметричной (), либо антисимметричной (). Учитывая, что порядок фильтра может быть чётным и нечётным, существует
четыре вида ИХ с линейной ФЧХ:
1.
N
– нечётное, ИХ – симметричная
2.
N
– чётное, ИХ – симметричная
3.
N
– нечётное, ИХ – антисимметричная
4.
N
– чётное, ИХ – антисимметричная
цифровой фильтр выборка частотный
1.2 Метод частотной
выборки
Основная идея
метода частотной выборки – замену в выражениях (7) и (8) непрерывную частоту
дискретизированной. В этом случае выражения (7) и (8) превращаются в пару
дискретных преобразований Фурье:
(13)
(14)
Существует 2
метода дискретизации частоты (выражения записаны для нормированной частоты):
(15)
(16)
Выражения
(13) и (14) записаны для первого метода дискретизации частоты. По условию
задания необходимо использовать второй метод дискретизации частоты, в этом
случае выражение (14) приобретает вид:
(17)
Из (17)
следует, что для определения импульсной характеристики необходимо знать
частотную характеристику. Её можно записать в показательной форме:
(18)
(19)
При чётном N:
(20)
При нечётном N:
(21)
Подставляя
вместо , по выражениям (20) и
(21) можно найти , а из (17) – .
1.3 Метод наименьших квадратов
При расчете
коэффициентов импульсной характеристики используется формула вида:
после чего
решается система уравнений:
и находятся коэффициенты
Ск.
Далее из
найденных Ск можно найти коэффициенты импульсной характеристики:
2. Расчётная часть
2.1 Расчёт методом
частотной выборки
2.1.1 Расчёт импульсной характеристики
Расчёт
импульсной характеристики для нечётных N осуществлялся по
формулам (21) и (17), для чётных – по формулам (20) и (17). Результаты расчёта
импульсной характеристики для N=15, 25 и 32 представлены в таблице 1.
Таблица 1.
Результаты расчёта импульсной характеристики методом частотной выборки
i
|
Значение импульсной
характеристики
|
N=15
|
N=25
|
N=32
|
0
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
|
0,081
-0,013
0,025
-0,052
-0,303
0,03
0,46
0,03
-0,303
-0,052
0,025
-0,013
0,081
|
0,001497
0,001756
-0,02
-0,007456
-0,007554
0,028
0,061
-0,004905
0,034
-0,048
-0,297
-0,035
0,45
0,035
-0,297
-0,048
0,034
-0,004905
0,061
0,028
-0,007454
-0,007456
-0,02
0,001756
0,001497
|
0,001488
-0,008534
0,008698
0,003711
-0,011
0,015
-0,007875
-0,001266
0,053
0,029
0,0009025
0,04
-0,193
-0,224
0,321
0,321
-0,224
-0,193
0,04
0,0009025
0,029
0,053
0,001266
-0,007875
-0,015
-0,011
-0,003711
-0,000256
0,008698
-0,0008534
0,001488
|
2.1.2 Расчёт АЧХ и ФЧХ
Расчёт АЧХ и
ФЧХ осуществлялся по формулам (9) и (10) для 50 значений частоты , взятой с шагом 0,01 (). На рисунках приведены графики рассчитанной
АЧХ фильтра.
Для расчёта
точности аппроксимации запишем функцию ошибки аппроксимации:
, (32)
В таблице 2
приведены результаты расчёта точности аппроксимации .
Таблица 2.
Результаты расчета точности аппроксимации для метода частотной выборки
График
функции точности аппроксимации для N=25
Максимальные
ошибки аппроксимации (абсолютная погрешность) для трёх значений N приведены в таблице 3:
Абсолютная
погрешность аппроксимации АЧХ, рассчитанной методом частотной выборки
2.2 Расчёт методом наименьших квадратов
2.2.1 Расчёт импульсной
характеристики
Результаты
расчёта импульсной характеристики для N=13, 25 и 32 представлены в таблице. Учитывая
симметрию импульсной характеристики, приведена только половина отсчётов.
Результаты
расчёта импульсной характеристики методом наименьших квадратов
i
|
Значение импульсной
характеристики
|
N=13
|
N=25
|
N=32
|
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
13
14
15
16
|
0,055
-0,004049
0,035
-0,042
-0,296
0,03
0,45
|
-0,003929
-0,003499
-0,012
0,008469
-0,008832
-0,026
0,055
0,035
-0,042
-0,296
0,03
0,45
|
0,002208
-0,005211
0,003349
0,003189
-0,003929
-0,003499
-0,012
-0,008469
-0,008832
0,026
0,055
-0,004049
0,035
-0,042
-0,296
0,45
0,45
|
2.2.2 Расчёт АЧХ и ФЧХ
Расчёт АЧХ и
ФЧХ осуществлялся по формулам (9) и (10) для 50 значений частоты , взятой с шагом 0,01 ().
Заданная по условию и
рассчитанная АЧХ фильтра для N=25 (метод наименьших квадратов)
2.2.3 Расчёт точности
аппроксимации
Точность
аппроксимации оценивалась по формуле (32). В таблице (5) приведены результаты
расчёта
Результаты
расчета точности аппроксимации для метода наименьших квадратов
В таблице 6
приведена максимальная (абсолютная) погрешность аппроксимации для различных
значений N.
Абсолютная
погрешность аппроксимации для метода наименьших квадратов
2.3 Сравнение методов расчёта
Сравнивая
результаты расчётов точности аппроксимации, приведённые в таблицах 2 и 6, можно
сделать вывод, что метод наименьших квадратов обеспечивает более точную
аппроксимацию при N=25 амплитудно-частотной характеристики по сравнению с
методом частотной выборки. С увеличением порядка фильтра N точность аппроксимации
увеличивается для обоих методов, но точность метода наименьших квадратов
начинает уменьшаться по сравнению с методом частотной выборки.
Заключение
В данной
курсовой работе был рассмотрен расчёт нерекурсивного цифрового фильтра двумя
методами: методом наименьших квадратов и методом частотной выборки. Результаты расчётов
точности аппроксимации для каждого метода позволяют сделать следующие выводы:
·
Точность
аппроксимации увеличивается с увеличением N (порядка фильтра)
·
Метод
наименьших квадратов обеспечивает более точную аппроксимацию при средних
значениях N.