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GFS im Fach
Mathematik
Der Grenzwert einer
Funktion
von Ilya Gufan, 4G5
Selbstverlag 2006
Heilbronn
Inhaltsverzeichnis
Verlauf der Arbeit 3
Einführung 4
Definition des Grenzwertes 5
Schreibweise 6
Beispiele 6
Eindeutigkeit des Grenzwertes 6
Einseitige Grenzwerte 7
Undendliche Grenzwere 8
Wichtige Regeln für
Grenzwertberechnung 9
Bedeutende Grenzwerte 9
Quellennachweis
10
Verlauf der Arbeit
- 2.11.2006, von 12:00 bis 20:00
Suche nach dem Material, Erarbeitung des
Projekts, Fertigung des Entwurfs.
- 26.11.2006, von 12:00 bis 14:00
Endkorrektur.
Hilfsmittel: PC mit Internetanschluss.
Programme: MS Word, Math Type 5.2c, MS
Paint, Opera, Advanced Grapher 2.11.
Die Hauptquelle dieser Arbeit war die Seite www.college.ru, aus der die Darstellungsweise
stammt.
Limes einer Funktion
Einführung
Das Wort Limes[1]
stammt aus dem Lateinischen und bedeuten „Grenzwall“. Es gibt von Römern
gebauten Limen auch in Württemberg.
Der Ausdruck Limes (Grenzwert) bezeichnet in
der Mathematik
- den Grenzwert einer Folge;
- den Grenzwert bzw. die Summe einer
unendlichen Reihe;
- den Grenzwert eines Netzes in Topologie;
- einen Begriff aus der Kategorientheorie;
- den Grenzwert einer Funktion. Das ist das Thema meiner Arbeit.
In der Mathematik bezeichnet der Limes oder
Grenzwert einer Funktion denjenigen Wert, dem sich die Funktion in der Umgebung
der betrachteten Stelle annähert. Ein solcher Grenzwert existiert jedoch
nicht in allen Fällen. Der Grenzwertbegriff wurde im 19. Jahrhundert von Augustin
Louis Cauchy und Heinrich Eduard Heine formalisiert und ist eines der
wichtigsten Konzepte der Analysis. Auf diesem Begriff basiert sich die ganze
Integral- und Differenzialrechnung. Mithilfe von Limen definiert man die
Stetigkeit der Funktion.[2]
Der Grenzwert lasst uns mit „unbegrenzt“ großen und kleinen Werten arbeiten
und solche Unbestimmtheiten wie und mithilfe von Regel von L'Hospital lösen.
Definition des Grenzwertes
Definition nach Cauchy.
Die Zahl L bezeichnet man als Limes der
Funktion f(x) an der Stelle a, wenn
- diese Funktion in einer gewissen Umgebung
der Stelle a definiert ist, ausgenommen von der Stelle a, in der sie nicht
unbedingt definiert sein muss
und
- für jedes ε > 0 gibt es so ein
δ > 0, dass für alle x, die der Voraussetzungen |x – a| <
δ und x ≠ a entsprechen, gilt:
|f (x)
– L| < ε.
Formelle Schreibweise:
Wir können es auch mit den Umgebungen
beschreiben:
mit ist der
Stelle a.
Erklärung:
Bei dem Herannahen des Arguments zu
a kann die Differenz zwischen dem Funktionswert und dem Limes L beliebig klein
sein. Hier sprechen wir immer von dem Betrag der jeweiligen Werte, weil das
Argument von beiden Seiten zum a Herannahen kann.
Definition nach Heine.
Die Zahl L bezeichnet man als Limes der
Funktion f(x) an der Stelle, wenn:
- diese Funktion in einer gewissen Umgebung
der Stelle a definiert ist, ausgenommen von der Stelle a, in der sie nicht
unbedingt definiert sein muss
und
für jede solche Reihenfolge {xn},
dass , die zu a konvergiert,
die entsprechende Reihenfolge der Funktionswerte {f(xn)} zu L
konvergiert.
Die Definition nach Heine finde ich nicht so
geschickt, weil der Begriff „Konvergieren“ definiert werden muss. Also bezieht
man sich auf Folgenlehre.
Anmerkung
1.
Man spricht von Limes an der Stelle a auch dann, wenn die Funktion an
der Stelle a definiert ist.
Anmerkung
2.
Die Definitionen nach A. L. Cauchy und H. E. Heine sind äquivalent. D. h.,
ein Grenzwert nach Cauchy ist immer ein Grenzwert nach Heine und umgekehrt.
Schreibweise
Wenn L Limes (Grenzwert) der Funktion f(x)
an der Stelle a ist, so schreibt man:
Man liest: Der Grenzwert (Limes) der Funktion
f von x bei x gegen a ist gleich L.
Beispiele
Bild 1.
Bild 2.
Eindeutigkeit des Grenzwertes.
Hat eine Funktion f(x) einen Grenzwert
L an der Stelle a, so ist er der einzige Grenzwert an der Stelle a.
So hat die Funktion sgn x keinen
Grenzwert an der Stelle 0.
Hier kann man aber von einem Grenzwert links
bzw. rechts sprechen.
Bild 3.
Signum von x.
Einseitige Grenzwerte
Definition.[3]
Die Zahl L bezeichnet man als Limes (Grenzwert)
der Funktion f(x) an der Stelle a, wenn es
für jedes ε > 0 so ein δ > 0 gibt, dass für alle gilt.
Schreibweise.
Grenzwert links: ;
Grenzwert rechts:.
;
.
Diese Grenzwerte werden oft als einseitige
Grenzwerte bezeichnet.
Manchmal lässt man die Null weg:
;
.
Im deutschspachigen Raum bezeichnet man die
einseitigen Grenzwerte oft mit Indizien l für links und r
für rechts.[4]
Grenzwert
links: ;
Grenzwert
rechts:.
Für die Signumfunktion gilt: ; .
Unendliche Grenzwerte
Wenn für jeden ε > 0 so eine
δ-Umgebung der Stelle a gibt, dass für alle x | (|x
– a| < δ, x ≠ a) gilt: |f (x)|
> ε, so spricht man von einem unendlichen Grenzwert an der Stelle a.
Manche Autoren lehnen solche Bezeichnung ab,
weil keine Zahl ist. Richtig sei es, so zu
schreiben[5]:
.
Man unterscheidet hier auch zwischen und .
Wenn für jeden ε > 0 so ein
δ > 0, dass für jedes x > δ die Ungleichung |f (x) – L|
< ε gilt, so sagt man, dass der Limes der Funktion f(x) bei x gegen
plus unendlich gleich L ist.
Wenn für jeden ε > 0 so ein δ
> 0 gibt, dass für jedes x > δ f (x) > ε gilt, so sagt
man, dass der Limes der Funktion f(x) bei x gegen plus unendlich gleich plus
unendlich ist (oder gegen plus unendlich strebt, weil „unendlich“ keine Zahl
ist).
Analog formuliert man die Limen für
„minus unendlich“.
Beispiel.
Für die Funktion f(x)= gilt:
; ; ;
.
Bild 4.
Wichtige Regeln für
Grenzwertberechnung
- Wenn die Funktionen f(x) und g(x) endliche
Grenzwerte an der Stelle A haben und ,
so gilt:
- , wenn und in
δ-Umgebung der Stelle a.
- Regel von L'Hospital[6]
Bedeutende Grenzwerte
In der Mathematik haben manche Werte eine
besondere Bedeutung.
Das ist in der ersten Reihe die Zahl e.
In deutschsprachigem Raum bezeichnet man sie oft als Euler’sche Zahl, wobei es
nicht ganz richtig ist. Die Zahl wurde von Jakob Bernoulli als Grenzwert
beschrieben, wobei Euler den Buchstaben „e“ eingeführt hat.[7]
;
Ein anderer bedeutender Grenzwert ist
Quellennachweis
- Wikipedia
- #"#_ftnref1" name="_ftn1" title="">[1]
Quelle 1c
[2]
Quelle 3
[3]
Quelle 5
[4]
Unterricht von Herrn Koch
[5]
Unterricht von Herrn Koch; Quelle 4
[6]
Quelle 1b
[7]
Quelle 1d