Расчёт электрических фильтров по рабочим параметрам
"Расчёт
электрических фильтров по рабочим параметрам"
Оглавление
1. Постановка задачи синтеза электрического фильтра
2. Переход к ФНЧ -
прототипу и нормирование по частоте
3. Аппроксимация частотной характеристики рабочего ослабления фильтра
4. Реализация схемы фильтра ФНЧ
5. Переход от схемы ФНЧ-прототипа
к нормированной схеме заданного фильтра
6. Денормирование и расчёт элементов схемы фильтра
7. Расчёт частотных характеристик фильтра
8. Расчёт частотных характеристик фильтра на ЭВМ
9. Расчет спектра последовательности прямоугольных
импульсов на входе и на выходе фильтра
10. Расчет переходной характеристики фильтра h(t)
Вывод
Список литературы
электрический фильтр частота спектр
1. Задание к курсовой работе
Согласно варианту требуется рассчитать фильтр верхних частот (ФВЧ),
удовлетворяющий следующим техническим требованиям:
·
граничная частота
полосы пропускания (ПП) =21900 (Гц);
·
граничная частота
полосы непропускания (ПН) (Гц);
·
коэффициент
отражения =36%;
·
минимально-допустимое
значение рабочего ослабления в ПН =20 (дБ);
·
сопротивление
нагрузки =450 (Ом).
Аппроксимацию требуется выполнить по Чебышеву, а реализацию - по
Дарлингтону. (Значения взяты из старой методички с вариантами заданий)
2. Постановка
задачи синтеза электрического фильтра
Синтез электрического фильтра по рабочим параметрам (рабочему ослаблению
или рабочей фазовой постоянной) состоит из двух этапов: аппроксимации и
реализации.
На этапе аппроксимации необходимо получить аналитическое выражение
рабочей передаточной функции H(р)
фильтра, удовлетворяющей условиям физической реализуемости по заданным
требованиям.
На этапе реализации по найденной рабочей передаточной функции
определяется схема фильтра и величины составляющих ее элементов.
В синтезе фильтров используется преобразование частоты и нормирование
сопротивлений и частот.
Использование преобразования частоты позволяет свести расчет всех классов
фильтров к расчету фильтра нижних частот (ФНЧ) и производить синтез любого
фильтра в следующем порядке: сначала преобразовать заданную характеристику
рабочего ослабления в низкочастотную, потом синтезировать ФНЧ, далее обратным
частотным преобразованием перейти от элементов схемы ФНЧ к элементам (или
комбинациям элементов) заданного фильтра. Нормирование заключается в том, что
вместо абсолютных значений частот и сопротивлений элементов цепи ФНЧ берутся их
относительные величины. Нормирование осуществляется по отношению к нагрузочному
сопротивлению и граничной частоте полосы пропускания для ФНЧ и ФВЧ (или
среднегеометрической частоте полосы пропускания для ПФ).
Техническими требованиями к фильтру являются:
·
граничные частоты
полосы пропускания (ПП) или , ;
·
граничные частоты
полосы непропускания (ПН) или ,
;
·
максимально-допустимое
значение рабочего ослабления в ПП ΔА (дБ) или коэффициент отражения , которые связаны соотношением:
·
минимально-допустимое
значение рабочего ослабления в ПН (дБ);
·
сопротивление
нагрузки (Ом).
Синтез фильтра производится в следующем порядке:
1. Переход к ФНЧ-прототипу и
нормирование частот;
2. Аппроксимация рабочей передаточной
функции Т(р) и характеристики рабочего ослабления фильтра ;
3. Реализация схемы ФНЧ (ФНЧ-прототипа);
4. Переход от схемы ФНЧ к схеме
заданного фильтра и денормирование ее элементов;
5. Расчет и построение денормированных
частотных характеристик рабочего ослабления А(f) и рабочей фазы В(f) фильтра.
3. Переход к
ФНЧ - прототипу и нормирование по частоте
Рис. 1 Частотные характеристики фильтра верхних частот и фильтра нижних
частот прототипа
При расчете ФВЧ переходим к требованиям для ФНЧ - прототипа. Частотная
характеристика ФВЧ переходит в частотную характеристику ФНЧ - прототипа при
использовании преобразования частоты вида:
, , , .
, , , - нормированные граничные частоты ФНЧП.
=,= ,= , =
4.
Аппроксимация частотной характеристики рабочего ослабления фильтра
На данном этапе по заданным техническим требованиям к ФНЧ - прототипу
необходимо получить математические выражения рабочей передаточной функции H(р) и рабочего ослабления фильтра А(). Известно, что частотное свойство
фильтров определяется функцией фильтрации φ.
Следовательно, задача сводится к выбору аналитического выражения этой
функции и расчету ее коэффициентов. В качестве аппроксимирующих удобно
использовать полиномиальные функции, среди которых наибольшее распространение
имеют полиномы Баттерворта и Чебышева.
При выборе полинома Чебышева в качестве аппроксимирующего функция
фильтрации определяется выражением:
, где .
Для расчёта коэффициента неравномерности рабочего ослабления ,мне
понадобится рассчитать максимально-допустимое значение рабочего ослабления в ПП
ΔA
[дБ], с помощью
коэффициента отражения [%], который был задан, по формуле:
- коэффициент неравномерности рабочего ослабления в полосе
пропускания.
Рабочее ослабление определяется как: . - полином Чебышева, определяемый рекуррентной
формулой , n- порядок фильтра:
Итак, n=3.943. Округляя в большую сторону,
возьмем n=4,
тогда
Аппроксимация по Чебышеву получила название равноволновой.
Сформируем рабочую передаточную функцию:
.
С другой стороны модуль рабочей передаточной функции можно представить
как:
.
Таким образом:
,т.е.
,
- полином Гурвица.
Решая уравнение , определим корни полинома Гурвица:
, .
Имеем:
Рис. 2 Изображение корней уравнения на комплексной плоскости
Формируем рабочую операторную передаточную функцию :
Подставляя , определим рабочее ослабление как:
.
Выполним проверку функции на частотах: , ,.
Аппроксимированное рабочее ослабление удовлетворяет техническим
требованиям.
5. Реализация
схемы фильтра ФНЧ
На данном этапе по найденной ранее функции H(р) необходимо получить схему
ФНЧ .
Реализация по Дарлингтону основана на формировании функции по . Тогда получение схемы нагруженного
фильтра можно свести к реализации двухполюсника путем разложения функции Zвх(р) в цепную дробь (по Кауэру).
, где - коэффициент отражения
, где
определяется по рекуррентной формуле заменой , при этом все слагаемые берутся со
знаком "+".
,
Составим Zвх(р), выбирая знак " - " у
функции ρ(р):
Нормированное значение входного сопротивления в этом случае выражено в
виде цепной дроби:
.
Нормированные значения ёмкостей и индуктивностей будут равны:
, , , , , .
Схема фильтра начинается с последовательно включенного элемента.
Схема. 1 Нормированная схема ФНЧ-прототипа
Если выбрать знак "+" у функции ρ(р), то получим дуальную схему
фильтра:
Нормированные значения ёмкостей и индуктивностей будут равны:
, , , , .
Схема фильтра начинается с параллельно включенного элемента.
Схема. 2 Дуальная нормированная схема ФНЧ-прототипа
В дальнейшем выбираем схему 2, так как через 1 схему при замене, ток течь
не будет .
6. Переход от
схемы ФНЧ-прототипа к нормированной схеме заданного фильтра
Осуществим переход от нормированной схемы ФНЧ-прототипа к схеме ФВЧ по
таблице 1, согласно которой нормированные элементы схемы ФНЧ-прототипа
заменяются на нормированные элементы схемы ФВЧ.
Таблица 1
, , , .
7.
Денормирование и расчёт элементов схемы фильтра
Для перехода от нормированной схемы к денормированной схеме с заданными
нагрузочным сопротивлением и граничной частотой осуществляем изменение уровня
сопротивления и масштаба частоты с помощью следующих множителей:
а) преобразующий множитель сопротивления:
.
б) преобразующий множитель частоты
Коэффициенты денормирования индуктивности и емкости определяем по
формуле:
, .
Таким образом, истинные значения элементов фильтра можно определить как:
, , , , , .
Окончательно получим схему:
Схема. 3 Денормированная схема фильтра верхних частот пятого порядка
8. Расчёт
частотных характеристик фильтра
С помощью расчёта частотных характеристик фильтра проверяется
соответствие фильтра техническим требованиям:
1. Рабочее ослабление в ПП не должно превышать заданной величины :
2. Рабочее ослабление в ПН не должно быть ниже заданного значения
3. Рабочая фаза B(f) позволяет судить о выполнении
требований к её линейности в пределах ПП.
Выполним расчёт частотных характеристик A(f) и B(f) по аппроксимированной
функции H(p). Построим графики А(f) и B(f)
ФВЧ.
Рис. 3 График
зависимости рабочего ослабления ФВЧ и в ПП
(), ().
Рис. 4 График
зависимости рабочей фазы B(f) ФВЧ в ПП
, .
Проверка технических требований по графикам зависимостей рабочего
ослабления и рабочей фазы. подтверждает соответствие аппроксимированной
передаточной функции Т(р) техническому заданию. Это свидетельствует о правильности
выполнения этапа аппроксимации.
9. Расчёт
частотных характеристик фильтра на ЭВМ
После выполнения синтеза электрического фильтра важно убедиться в его
соответствии техническим требованиям. Наиболее полной проверкой правильности
расчета спроектированного фильтра является расчет частотных зависимостей и по передаточной функции Tp(jw), выраженной через элементы фильтра.
Фильтр представляет собой реактивный четырехполюсник лестничной
структуры. С учетом источника сигнала с внутренним сопротивлением R1 и сопротивления нагрузки R2
Рабочая передаточная функция такой схемы может быть определена следующим
образом:
, где - комплексная частота.
, , .
Представим графики зависимости рабочего ослабления и рабочей фазы .
Рис. 6 Частотная
зависимость рабочего ослабления в ПП
, .
Рис.7 Частотная
зависимость рабочей фазы в ПП
, .
По графикам видно, что фильтр полностью удовлетворяет всем техническим
требованиям, значит значения элементов схемы фильтра вычислены верно.
10. Расчет
спектра последовательности прямоугольных импульсов на входе и на выходе фильтра
Рассчитаем спектр последовательности прямоугольных импульсов на входе
фильтра с параметрами: , скважность , частота следования импульсов по формуле , . Вычислив, получим:
Рис. 8 Спектр
последовательности прямоугольных импульсов на входе фильтра
Спектр фаз последовательности на входе при выборе начала координат в
середине импульса определяется выражением:
;
Рис. 9 Спектр фаз последовательности на входе
Выходные спектры амплитуд и фаз определяются выражениями:
, , .
Рис. 10 Спектр амплитуд последовательности на выходе
Рис.11 Спектр фаз последовательности на выходе
Сигнал на входе ФВЧ рассчитывается по формуле: , а на выходе по формуле: , .
Рис. 12 Графики напряжения на входе и на выходе фильтра
11. Расчет
переходной характеристики фильтра h(t)
Для вычисления переходной характеристики используем следующее выражение: . Применив обратное преобразование
Лапласа, получим:
Рис.13 График переходной характеристики h(t)
Используя переходную характеристику, можно выполнить расчет отклика ФВЧ
на прямоугольный импульс с амплитудой 1В и длительностью
.
,
Рис.14 Импульс на выходе фильтра , построенный с помощью , в сравнении с выходным импульсом
Вывод
В данной работе произведен синтез электрического фильтра в два этапа:
аппроксимация и реализация. На первом этапе были получены математические
выражения рабочей передаточной функции Т и рабочего ослабления A, удовлетворяющие условиям
технической реализуемости. На втором этапе по найденной рабочей передаточной
функции Т определили схему фильтра и величины составляющих её элементов.
Произведен расчёт и построение частотных характеристик фильтра,
подтвердивших соответствие аппроксимированной функции Т техническому заданию
Были построены частотные зависимости, подтвердившие высокую точность
фильтра.
На ЭВМ были получены переходная характеристика, спектры сигналов на входе
и выходе фильтра и реакция фильтра на последовательность прямоугольных
импульсов.
Список
литературы
1. Конспект лекций по ОТЦ.
. Методическая разработка к курсовой работе.
. В.П. Бакалов, В.Ф. Дмитриков, Б.И. Крук. Основы теории
цепей 2000г.
. А.Ф. Белецкий . Теория линейных электрических цепей, 1986г.
. Н. Н. Цаплин . Электрические фильтры, 2004г.