Замещение воздуха в сосуде аргоном
Задача
по
физике
Замещение
воздуха в сосуде аргоном
Сосуд V=40
м3 заполнен воздухом при атмосферном давлении начинают продувать
аргоном со скоростью 8 м3/ч. Через сколько времени в сосуде
концентрация кислорода снизится до 0,05 %? Содержание кислорода в аргоне =
0.0005 %.
Наша задача - отыскать функцию концентрации
кислорода по времени продувки K(t). В момент начала продувки t=0 K0=K(t0)=0.21
- кислорода в воздухе по объему k0=21%.
Эта концентрация будет асимптотически приближаться к концентрации кислорода в
продувочном аргоне K(t9999)=5*10^-6=0.0005%.
Вопрос задачи - при каком tx K(tx)=5*10^-4=0.05%. Сосуд продувается с расходом
R=8м3/ч, то есть по кислороду 0.0005% R1=8*0.0005/100=4*10^-5м3/ч, по аргону
99.9995% R2=7.99996м3/ч.
Давление атмосферное, сколько газа вдувается в
сосуд, столько и выходит из него. Газ в сосуде мгновенно приобретает одинаковую
концентрацию в каждой точке объема сосуда, потому что скорость молекул азота,
кислорода и аргона - сотни метров в секунду, и объем в десятки кубометров
осредняется по составу в течение миллисекунд. Мгновенно по сравнению с часовыми
расходами продувки.
Функция концентрации кислорода в сосуде k(t)
максимальна в начальный момент времени t=0
и составляет 0.21 (21% кислорода в атмосферном воздухе) м монотонно убывает,
асимптотически приближаясь к концентрации
=k(t=∞)=5*10^-6=0.0005%.
В начальный момент времени t=0
в сосуде находится V*k0=40*0.21=8.4м3
кислорода.
В течение элементарного приращения времени dt
в сосуд поступит еще R1*dt=4*10^-5м3/час*dt
кислорода и выйдет R*k(t)*dt кислорода, то есть объем кислорода в сосуде будет
выражаться уравнением
V(t)=V*k0
+∫(от t=0 до t=T)
(R1 - R*k(T))*dt
кислород продувочный аргон сосуд
Разделим левую и правую части этого
интегрального уравнения на объем сосуда V
и получим
V(t)/V
= k(t)
= ∫(от t=0 до t=T)
(R1-R*k(t))/V*dt
Продифференцирем уравнение по времени и получим
'(t)=(R1-R*k(t))/V
= R1/V - R/V*k(t)
= ((4*10^-5)/40 - 8/40*k(t))
1/час
Разделив, получим окончательный вид
дифференциального уравнения k’(t)
=(10^-6-0.2*k(t))1/час,
k(0)=0.21 Решение этого дифференциального уравнения стандартно: k(t)=0.209995exp(-0.2*t)+5*10.-6
Вспомним что мы писали о поведении функции k(t)
: При t=0 k0=0.21 - подставим и получим. При очень большом t=∞
экспоненциальный член обнуляется и остается ровно 5*10^-6 - как написано в
условии то есть уравнение решено корректно. Осталось подставить
k(x)=5*10:-4=0.209995exp(-0.2*x)+5*10.-6.(5*10^-4
- 5*10^-6)/0.209995=exp(-0.2*x)
прологарифмируем уравнение и получим ln((5*10^-4
- 5*10^-6)/0.209995)=-0.2*x,
и отсюда x=-5*ln((5*10^-4
- 5*10^-6)/0.209995)x=30.25час
График функции - да очень простой график
функции. Экспонента она и есть экспонента. Я думаю, разумно построить таблицу
не по времени, а по концентрациям. 21%, 10%, 5%, 2%, 1%, 0.5%, 0.2%, 0.1%,
0.05%.t=-5*ln((k(t)-
5*10^-6)/0.209995) - формула в таблицу
K,
%
|
21
|
0
|
10
|
3.7
|
5
|
7.2
|
2
|
11.8
|
1
|
15.2
|
0.5
|
18.7
|
0.2
|
23.3
|
0.1
|
26.7
|
0.05
|
30.25
|
График, по оси абсцисс -
концентрация кислорода в %, по оси ординат - время в часах. Поскольку
концентрации выбраны в «полулогарифмической последовательности» 1-2-5-10,
график экспоненты практически точно - прямая.