Общие свойства импульсных систем
Контрольная
работа
Общие
свойства импульсных систем
Содержание
1.
Понятие системы с импульсной модуляцией
.
Информационные возможности импульсных систем
.
Линейные и нелинейные импульсные системы
.
Критерии оценки качества формирования и воспроизведения сигналов с импульсной
модуляцией
.
Графическое представление электрических сигналов
.
Амплитудно-частотный и фазово-частотный спектры периодической
последовательности прямоугольных импульсов
.
Краткие сведения о разрывных функциях
Литература
. Понятие системы с импульсной модуляцией (ИМ)
Модуляцией называют процесс изменения физических
параметров носителя в определенном соответствии с сообщением. В рассматриваемых
нами системах носителями во всех случаях являются колебания тока или напряжения,
а при модуляции изменяются параметры этих колебаний.
В импульсных системах колебания имеют форму
импульсов - прямоугольных, трапецеидальных, треугольных, колоколообразных и
т.д. При внесении информации изменяются те или иные параметры импульсов: амплитуда
- амплитудно-импульсная модуляция (АИМ), длительность - широтно-импульсная
модуляция (ШИМ), временное расположение - временная-импульсная модуляция (ВИМ),
имеющая две разновидности - фазо-импульсную (ФИМ) и частотно-импульсную (ЧИМ)
модуляции. Во всех этих системах осуществляется квантование по времени. По
этому признаку выделяют класс импульсных систем. Широко применяются комбинации
видов модуляции, например, АИМ с ШИМ, ШИМ с ЧИМ и т.д. Если квантование
осуществляется не по времени, а по уровню, получаем кодовую модуляцию (КМ). При
одновременном квантовании и по уровню и по времени будем иметь
импульсно-кодовую модуляцию (ИКМ). ЕЕ еще называют кодовая с тактированием. В
системах с КМ и ИКМ важно, что значение выходной величины может принимать только
дискретные наперед заданные значения. Это дает возможность обеспечение
гарантированной точности представления сигналов в виде импульсов и широко
используется в цифровых системах управления. Используется также сочетание
кодовой с другими видами импульсной модуляции, например, КМ с ШИМ, КМ с ШИМ и
ЧИМ и т.д. Здесь возможны два основных варианта. В первом - базовым является
квантование по времени, например, ШИМ, а длительность импульсов задается
дискретно в соответствии с КМ. Во втором - базовым является квантование по
уровню (КМ), а ШИМ действует в промежутках между уровнями. Такое сочетание в
дальнейшем, в силу некоторых особых свойств сигналов названо нами многозонной
импульсной модуляцией (МИМ).
. Информационные возможности импульсных систем
Импульсная система - это совокупность элементов
и связей. На рис.1 показана структура разомкнутой импульсной системы в наиболее
общем виде.
Рис.1 Структура импульсной системы
ИЭ - импульсный элемент;
М - модулятор;
Х* - импульсный сигнал с модуляцией;
КП - канал передачи (в системах связи);
НЭ - непрерывный элемент или непрерывная часть
(фильтр, нагрузка).
Строгое обоснование информационных
возможностей импульсных систем дано пока только для линейных систем с АИМ
теоремой академика Котельникова В.А. Пусть - непрерывный сигнал (рис.2), - этот же
сигнал в дискретные моменты времени, где - период следования импульсов.
Вводится функция ,
фиксирующая импульсы на очень коротком промежутке времени. Общее напряжение
всех импульсов на интервале будет равно
, (1)
где , ,, - коэффициенты.
Пусть наивысшая частота в сигнале равна . Второй
член ряда (1) содержит низшую из всех боковых частот, равную . Выделить из первого
члена можно в том случае, если эта частота меньше , т.е.
; (2)
, (3)
но - частота амплитудно-модулированных
импульсов. Тогда теорема будет формулироваться следующим образом: по импульсам
функции при помощи фильтра ли гармонического анализа можно восстановить
колебание , если
только частота импульсов больше двойной максимальной частоты, входящей в сигнал. Ясно, то
на периоде максимальной частоты количество импульсов должно быть больше двух.
Рис.2 Иллюстрация к теореме В.А. Котельникова
Отметим, что в импульсных системах энергетической
электроники указанные предельные возможности реализовать не удается, т.к.
силовые фильтры резко отличаются от информационных и различны проблемы
демодуляции, т.е. восстановления сигнала из импульсной последовательности. В
этих случаях надо «усиливать» неравенство (3), т.е. обеспечивать
. (4)
. Линейные и нелинейные импульсные
системы
Линейной называется импульсная
система, в которой линейны все ее элементы по рис.1 - импульсный элемент (ИЭ) с
модулятором (М), канал передачи (КП), непрерывная часть (НЧ). Нелинейной -
система, у которой хотя бы один из элементов нелинеен.
Определение линейности и
нелинейности непрерывной части делятся в теории цепей (курс теоретических основ
электротехники). Для выяснения свойств импульсной части (ИЭ;М) введем понятие
амплитудной и модуляционной характеристик. Первая из них устанавливает
зависимость амплитуды импульсов на выходе модулятора от входного
управляющего сигнала , вторая -
модулируемого параметра от этого же сигнала. Очевидно, что у АИМ эти две
характеристики совпадают, так как модулируемым параметром является амплитуда
импульсов. Характеристика представлена на рис.3. Принципиально система с АИМ
может иметь линейную модуляционную характеристику и быть линейной, так как с
ростом амплитуда
импульсов может неограниченно возрастать, однако в реальных системах
обязательно наступают технические ограничения, что и показано пунктиром на
рис.3.
Рис.3 Модуляционная характеристика
системы с АИМ
У систем с ШИМ амплитудная и
модуляционные характеристики не совпадают (рис.4 и 5), причем обе резко
нелинейны. На рис.5 модулируемый параметр - относительная длительность
импульсов , -
длительность импульса, - период
квантования. Очевидно, что не может быть больше чем .
Рис.4 Амплитудная характеристика с ШИМ
Рис.5 Модуляционная характеристика системы с ШИМ
В КМ и ИКМ характеристики совпадают и нелинейны,
как это показано на рис.6.
Рис.6
4. Критерии оценки качества формирования и
воспроизведения сигналов с импульсной модуляцией
Рассмотрим сущность задач формирования и
воспроизведения сигналов с ИМ.
Задача формирования - заданы требования к выходу
импульсной системы. Необходимо найти алгоритм, при котором достигается
максимальное приближение импульсного выходного сигнала, например, напряжения, к
заданному непрерывному. Это приближение может быть достигнуто различными
методами ИМ и различными аппаратными средствами. В последнее время используют
методы формирования заданного выхода из ортогональных функций Уолша, которые
рассматриваются в разделе 4.
Задача воспроизведения (усиления) - задан
входной сигнал. Необходимо найти алгоритм, при котором выходной усиленный
сигнал максимально (без искажений) приближается к входному.
Критерии оценки качества формирования
рассматривались в курсе «Преобразовательная техника». Кратко приведем основные
соотношения для типового синусоидального сигнала:
) коэффициент гармоник
, (5)
где - эффективное значение выходного
сигнала;
- эффективное значение первой
гармоники выходного сигнала;
) коэффициент искажения:
; (6)
) коэффициент нормы:
; (7)
где - среднее по модулю значение
выходного сигнала;
) к.п.д. выделения:
; (8)
где - мощность i-ой
гармоники.
В системах воспроизведения теряет свое
значение даже в том случае, если мы воспроизводим типовой синусоидальный
сигнал, т.к. появляется дефект амплитуды.
Для систем воспроизведения с
импульсной модуляцией установим вначале понятие неискажающей системы (НС),
структурная схема которой показана на рис.7.
Рис.7
Предварительно отметим, что в разных
областях электроники эти критерии различны. Например, в звуковоспроизводящей
аппаратуре важна форма спектра. В телевидении, телеметрии,
информационно-импульсных системах может изменяться масштаб (k), сдвиг() и
постоянная составляющая (a):
При наличии энергетического входа (рис.8) в
ИМС нельзя менять постоянную составляющую, т.к. она передает энергию. Здесь
выражение для выходного сигнала примет вид:
. (10)
Рис.8
Наиболее жестким является понятие НС в
многофазных системах:
, (11)
т.к. изменение сдвига вызовет
искажения.
Пусть (12)
тогда, подставляя (12) в (10),
получим:
, (13)
где - амплитуда неискаженного сигнала.
В рассматриваемой ИМС
, (14)
где - дефект амплитуды;
- амплитуда первой гармоники
выходного сигнала;
- амплитуда k-ой
гармоники.
Следовательно, если , то
передача первой гармоники производится без искажений. Для систем
воспроизведения введем коэффициент квадратичного отклонения - .
. (15)
С учетом значений для и преобразуем
выражение (15):
где , так как
в силу ортогональности функций.
Тогда
, (16)
так как , , .
Если нет ограничения на фазу , то можно
принять , тогда . Выражение
(16) примет вид:
, (17)
так как , то .
Тогда выражение для можно
записать только через выходные параметры:
. (18)
Если и , т.е. , то
При оценке качества воспроизведения
сигнала в импульсных системах по критерию происходит отображение сигнала в
число, и объективно это число говорит о его качестве только в одном случае,
когда отсутствуют мешающие компоненты и . Во всех других случаях оценка
может считаться объективной только при сопоставлении сигналов, близких по
свойствам (по структуре). Для того, чтобы связать оценку сигнала с его
структурой в частотной области, было введено понятие частотно зависимого
коэффициента среднеквадратичного отклонения :
, (20)
где - абсцисса центра тяжести спектра
выходного сигнала.
Определение связано с
вычислением моментов n-го порядка:
, (21)
где - огибающая спектра.
В случае вычисления момента первого
порядка (n=1) формула
(21) приобретает вид:
. (22)
В формуле (22) роль «силы» играет
площадь, охваченная огибающей спектра, а является точкой приложения этой
силы. Отметим, что для идеальной системы .
. Графическое представление
электрических сигналов
Существует два способа представления
электрических сигналов: временной и спектральный.
При временном способе электрический
сигнал изображается графиком в прямоугольной системе координат, по ординате
которой указывается мгновенное значение напряжения (тока) изображаемого
сигнала, а по оси абсцисс - текущее время (рис.9).
Рис.9 Временной способ представления
сигнала
При спектральном способе представления
электрический сигнал рассматривается как сумма простых (гармонических)
колебаний, каждое из которых имеет свое максимальное значение, частоту и фазу.
Эта сумма гармонических составляющих однозначно определяет сигнал (его
свойства, форму кривой и т.п.). При спектральном способе гармонические
составляющие графически представляют в прямоугольной системе координат в виде
вертикальных линий, абсциссы которых определяют частоту гармоник, а высота
(ордината) соответствует их максимальным значениям (рис.10).
Рис.10 Спектральный способ
представления сигнала
Напомним, что связь сигналов во
временной и частотной области устанавливается преобразованиями Фурье. При этом
периодический импульсный сигнал с периодом «Т» во временной области
представляется дискретным частотным спектром в частотной области по формуле:
, (23)
где - постоянная составляющая;
- амплитуды спектральных
составляющих;
- угловая частота следования
импульсов.
В свою очередь амплитуды гармоник
находятся по известным формулам:
(24)
Непериодический импульсный сигнал
имеет непрерывный частотный спектр (спектральную плотность) , который
находится с использованием прямого преобразования Фурье:
. (25)
Если известна спектральная плотность
, то можно
найти сигнал во временной области с использованием обратного
преобразования Фурье (интеграла Фурье):
. (26)
. Амплитудно-частотный и
фазо-частотный спектры периодической последовательности прямоугольных импульсов
Для лучшего понимания материала о
свойствах спектров модулированных импульсных сигналов, представленных в
последующих разделах, рассмотрим способы построения амплитудно-частотного
спектра (АЧС) и фазо-частотного спектра (ФЧС) немодулированной
последовательности импульсов, а также поведение АЧС при изменении длительности
и частоты следования этих импульсов. Зададим периодическую импульсную
последовательность (рис.11):
, (27)
где - амплитуда импульса;
- середина первого импульса,
относительно начала координат;
- длительность импульса;
- период следования импульсов.
Постоянная составляющая:
, (28)
где - относительная длительность
импульсов.
Амплитуды косинусоидальных
составляющих:
. (29)
Амплитуды синусоидальных
составляющих:
. (30)
Амплитуды гармоник:
. (31)
Фазы гармоник:
. (32)
Выражение для немодулированной
последовательности импульсов приобретает вид:
. (33)
Анализ выражения (23) дает следующие
выводы:
) постоянная составляющая
пропорциональна ;
) амплитуды всех гармоник
пропорциональны и зависят
от
) распределение амплитуд
гармоник по величине подчиняется закону , где ;
) сдвиг фазы не зависит от , а
определяется только значением .
Для определения АЧС выражение (33) запишем в
следующем виде:
, (34)
где - частота следования импульсов;
1,2,3,…- номер интервала значений «».
Огибающая АЧС:
, (35)
где .
Огибающая пересекает ось частот при , т.е. при ,,,.
При , ;
при , , , ;
при , , , и т.д.
Таким образом, для построения АЧС
есть все необходимое:
) угловая частота следования
импульсов ;
) угловые частоты всех других
гармоник , где n = 1,2,3,…;
) закон изменения амплитуд .
Нормируем амплитуды, поделив все в
формуле (33) на . Проводим
вертикали частот 0, , и т.д. и
огибающую. Пересечение их дает амплитуды гармоник (рис.12).
Рис.12 Спектральная характеристика
немодулированной последовательности прямоугольных импульсов
Обычно эффективная полоса частот
задается выражением:
.
При построении АЧС необходимо
пользоваться следующими положениями:
) спектральные линии должны
быть расположены на равном расстоянии, которое равно ;
) спектр имеет арочную
структуру. Ширина первой полуарки и каждой малой арки равна , т.е.
определяется периодом следования и относительной длительностью
импульсов ;
) число спектральных линий
под каждой аркой определяется соотношением между длительностью импульсов и
частотой их следования и равно , т.к. при кратных амплитуды
равны нулю.
Для построения ФЧС воспользуемся выражением:
, (36)
Которое следует из выражения (34) и
обозначает сдвиг фазы n - ой гармоники. Ширина арки равна:
.
Сдвиг фазы на частоте,
соответствующей окончанию арки:
.
Получается треугольник (рис.13):
К определению угла наклона ФЧС:
Рис.13
.
Отсюда , т.е. знак определяет
наклон огибающей и знак дискретного слагаемого в формуле (36) (см рис.14).
. Краткие сведения о разрывных
функциях
Для аналитического представления
импульсных сигналов широко применяют разные функции.
Под разрывными понимают функции, для
которых в определенных точках пределы справа и слева от точки не равны
друг другу, т.е. имеют в виду функции с разрывами первого рода. Наиболее
распространенные из них приведены в табл.1, а графики этих функций представлены
на рис.15.
Рис.14 ФЧС при различных значениях
Таблица 1
Наименование
функции
|
График
|
Аналитическое
описание
|
Обозначение
|
1.
Единичная -“- рис.15,а рис.15,б 1(x)
1(-x)
|
|
|
3.
Модуль
|
рис.15,в
|
|
|
4.
Сигнум(знак х)
|
|
|
5.
Дельта
|
рис.15,д
|
|
|
6.
Антье 7. -“- 8. -“-
|
рис.15,е
рис.15,ж -“-
|
|
|
9.
Дробная 10. -“- 11. -“- 1 -“-
|
рис.15,з
рис.15,и рис.15,к рис.15,л
|
|
|
13.
Треугольная 14. -“-
|
рис.15,м
рис.15,н
|
|
|
15.
Прямоугольный синус 16. -“-
|
рис.15,о
рис.15,п
|
|
|
17.
-“- 18. Смещенные функции
|
рис.15,т
рис.15,с
|
|
|
Рис.15
импульсный модуляция частотный сигнал
Табл.1 является исходной, для
описания сложных сигналов при моделировании электронных импульсных схем,
например, с ШИМ, МИМ и т.д. С помощью рассмотренных разрывных функций можно
задавать алгоритмы преобразования сигналов управления и описать
импульсный сигнал на выходе модулятора в функции времени.
Литература
1.
Барыбин, А.А. Электроника и микроэлектроника. Физико-технологические основы / А.А.
Барыбин. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 424 c.
.
Белов, Н.В. Электротехника и основы электроники: Учебное пособие / Н.В. Белов,
Ю.С. Волков. - СПб.: Лань, 2012. - 432 c.
.
Белоусов, В.В. Судовая электроника и электроавтоматика: Учебник / В.В.
Белоусов, В.А. Волкогон. - М.: Колос, 2008. - 645 c.
.
Борисенко, В.Е. Наноэлектроника: теория и практика: Учебник / В.Е. Борисенко,
А.И. Воробьева, А.Л. Данилюк, Е.А. Уткина. - М.: БИНОМ. ЛЗ, 2013. - 366 c.
.
Вайнштейн, Л.А. Теория дифракции. Электроника СВЧ / Л.А. Вайнштейн. - М.: Радио
и связь, 1995. - 600 c.
.
Велстистов, Е. Все о приключениях Электроника: Повести / Е. Велстистов. - СПб.:
Азбука-Аттикус, 2013. - 592 c.
.
Велтистов, Е.С. Победитель невозможного: третья книга из цикла о приключениях
Электроника / Е.С. Велтистов. - М.: Дет. лит., 2010. - 235 c.
.
Воронков, Э.Н. Твердотельная электроника. Практикум: Учебное пособие для студ.
высш. учеб. заведений / Э.Н. Воронков. - М.: ИЦ Академия, 2010. - 128 c.
.
Воронков, Э.Н. Твердотельная электроника: Учебное пособие для студ. высш. учеб.
заведений / Э.Н. Воронков, А.М. Гуляев, И.Н. Мирошникова. - М.: ИЦ Академия,
2009. - 320 c.
.
Гальперин, М.В. Электротехника и электроника: Учебник / М.В. Гальперин. - М.:
Форум, НИЦ ИНФРА-М, 2013. - 480 c.
.
Голубева, Н.С. Основы радиоэлектроники сверхвысоких частот: Учебное пособие /
Н.С. Голубева, В.Н. Митрохин; Под общ. ред. проф. д.т.н. И.Б. Федоров. - М.:
МГТУ им. Баумана, 2008. - 488 c.
.
Горохов, П.К. Толковый словарь по радиоэлектронике / П.К. Горохов. - М.:
Русский язык, 1993.
.
Гусев, В.Г. Электроника и микропроцессорная техника: Учебник / В.Г. Гусев, Ю.М.
Гусев. - М.: КноРус, 2013. - 800 c.
.
Джонс, М.Х. Электроника - практический курс / М.Х. Джонс. - М.: Техносфера,
2013. - 512 c.
.
Евстратов, В.А. Радиоэлектроника прогулочных судов / В.А. Евстратов. - М.:
ТрансЛит, 2008. - 128 c.
.
Ермуратский, П.В. Электротехника и электроника / П.В. Ермуратский, Г.П.
Лычкина, Ю.Б. Минкин. - М.: ДМК Пресс, 2013. - 416 c.
.
Ефимов, И.Е. Основы микроэлектроники / И.Е. Ефимов, И.Я. Козырь. - М.: Высшая
школа, 1983.
.
Жаворонков, М.А. Электротехника и электроника: Учебное пособие для студ. высш.
проф. образования / М.А. Жаворонков, А.В. Кузин. - М.: ИЦ Академия, 2013. - 400
c.
.
Иньков, Ю.М. Электротехника и электроника: Учебник для студентов учреждений
среднего профессионального образования / Б.И. Петленко, Ю.М. Иньков, А.В.
Крашенинников. - М.: ИЦ Академия, 2013. - 368 c.
.
Калашников, В.И. Электроника и микропроцессорная техника: Учебник для студ.
учреждений высш. проф. обр. / В.И. Калашников, С.В. Нефедов. - М.: ИЦ Академия,
2012. - 368 c.
.
Кашкаров, А.П. Новейшие технологии в электронике: дома, на даче, в автомобиле /
А.П. Кашкаров. - Рн/Д: Феникс, 2013. - 172 c.
.
Колистратов, М.В. Электротехника и электроника: электротехника на оборудовании
National Instruments: Лабораторный практикум / М.В. Колистратов, Л.А.
Шапошникова; Под ред. Л.А. Шамаро. - М.: ИД МИСиС, 2012. - 79 c.
.
Кузовкин, В.А. Электротехника и электроника: Учебник для бакалавров / В.А.
Кузовкин, В.В. Филатов. - М.: Юрайт, 2013. - 431 c.
.
Кучумов, А.И. Электроника и схемотехника: Учебное пособие / А.И. Кучумов. - М.:
Гелиос АРВ, 2011. - 336 c.
.
Лапынин, Ю.Г. Контрольные материалы по электротехнике и электронике: Учебное
пособие для учреждений среднего профессионального образования / Ю.Г. Лапынин. -
М.: ИЦ Академия, 2011. - 128 c.
.
Лачин, В.И. Электроника: Учебное пособие / В.И. Лачин, Н.С. Савелов. - Рн/Д:
Феникс, 2010. - 703 c