Автоколебания системы с одной степенью свободы
Автоколебания системы с одной степенью свободы
Введение и краткое резюме
Настоящая работа посвящена исследованию движений
автоколебаний системы с одной степенью свободы под действием внешней
периодической силы. Такие движения представляют интерес для радиотелеграфии
(например, к исследованию таких движений сводится теория регенеративного
приемника). Особенно замечательно здесь явления так называемого
"захватывания". Это явление заключается в том, что, когда период
внешней силы достаточно близок к периоду автоколебаний системы, биения
пропадают; внешняя сила как бы "захватывает" автоколебания.
Колебания системы начинают совершаться с периодом внешнего сигнала, хотя их
амплитуда весьма сильно зависит от амплитуды "исчезнувших"
автоколебаний. Интервал захватывания зависит от интенсивности сигнала и от
автоколебательной системы.
Теоретически этот вопрос уже
разбирался, однако методами математически недостаточно строгими; кроме того,
бралась характеристика весьма частного вида - кубическая парабола. Поэтому мы
будем рассматривать случай произвольной характеристики при колебаниях близких
к синусоидальных.
В этой работе мы рассмотрим
периодические решения с периодом, равным периоду внешней силы, и их
устойчивость при малых отклонениях. Мы оставим в стороне другие стационарные
движения, возможные в исследуемой системы, например периодические решения с
периодом, кратным периоду внешней силе, или квазипериодические решения. Мы
оставим в стороне важный вопрос об устойчивости при больших отклонениях
Для отыскания периодических
решений воспользуемся методом Пуанкаре, которые позволяют быстро решить задачу
для случая колебаний, достаточно близких к синусоидальным. С этой целью введем
в наше уравнение параметр m таким образом, чтобы при m = 0 уравнение превращалось в линейное и колебания делались
синусоидальными. Этот параметр m, который мы предполагать
достаточно малым, может иметь различный смысл в зависимости от выбора системы.
Для решения вопроса об
устойчивости найденного решения при малых отклонениях воспользуемся методами
Ляпунова, требуя, чтобы искомые решения обладали "устойчивостью по
Ляпунову".
В настоящей работе мы не
будем вычислять радиусы сходимости тех рядов, с которыми нам придется иметь
дело; грубая оценка может быть сделана по Пуанкаре.
В § 1 и 2 рассматривается
область достаточно сильной расстройки; § 3 и 4 посвящены рассмотрению области
резонанса; в § 5 показывается, как общие формулы для амплитуд и для
устойчивости, полученные в § 1- 4, могут быть применены в конкретных случаях,
причем в качестве примера рассматривается случай Ван дер Поля. Результаты
применения общих формул совпадают с теми, которые получил нестрогим путем Ван
дер Поль.
§ 1 Отыскание периодического решения в случае
достаточно сильной расстройки.
Уравнение, которое нас будет
интересовать:
При m = 0 это уравнение имеет единственное периодическое решение
Рассмотрим случай, когда m бесконечно мало. Согласно Пуанкаре мы будем искать решение (1) в
следующем виде:
Начальные условия выберем
так:
F2 - степенной ряд по b1 b2, m начинающийся с членов второго
порядка. Подставим (3) в (1):
Сравнивая коэффициенты при b1 b2, m получим уравнение для А, В, С. Начальные условия можно получить для
них, подставив (4) в (3).
Решая задачи Коши, получим:
Для того, чтобы (3)
представляли периодические решения необходимо и достаточно, чтобы
Введем обозначения ; для остальных функций аналогично.
Тогда (6) запишется в виде:
Если в этой системе можно b1 b2 представить
в виде функции m так, чтобы b1 b2, m исчезли из системы (7) , то (3)
- периодическое решение уравнения (1). Иначе Х- не периодично. Достаточным
условием существования периодического решения при малых m служит неравенство 0 Якобиана.
В нашем случае:
Т.е. мы всегда имеем
периодические решения при малых m и любых f.
Искомое периодическое решение может быть найдено в виде.
§ 2 Исследование устойчивости периодического решения
Составим уравнения первого
приближения, порождаемое решением (8). Сделаем замену: x = Ф(t) + x ; в уравнении
(1) при этом отбросим члены , содержащие квадраты и высшие степени x и x'.
Воспользуемся тем фактом, что
Ф (t) - решение уравнения. Получим уравнение первого
приближения:
Это линейное дифференциальное
уравнение с периодическими коэффициентами. Его решение мы будем искать в виде функции времени Удовлетворяют тому
же уравнению, что и x, то есть (10). Начальные условия для них определены
следующим образом.
;
аналогичным образом можно показать, что (11).
Представим правую часть
уравнения в виде степенного ряда по m.
будем
искать в виде: (12).
Подставим (12) в (10) и
сравнивая коэффициенты при соответствующих степенях m, получим:
Начальные
условия для Ао , Во, …. Следует выбрать так, чтобы
выполнялись условия (11). Действительно подставляя (11) в (12) и сравнивая
коэффициенты при соответствующих степенях m, получим
Для В'о и Во
аналогично. Для остальных же как видно из уравнений условия будут нулевые.
Итак:
(14)
Решение (13) можно найти при
помощи квадратур:
(15)
Если вспомнить общую теорию
линейных диффуров с периодическими коэффициентами, то общее решение (10) имеет
вид:
S1,
S2 - периодические функции с
тем же периодом, что и Ф (t). a1, a2 - характеристические показатели.
Если все , т.е. колебания затухают, то в этом
случае выполняется теорема, доказанная Ляпуновым, относительно того, что
периодическое решение уравнения первого приближения вполне устойчиво. Согласно
Пуанкаре характеристические показатели можно определить из следующего
уравнения:
=0
(16) Полагаем ;
Тогда определитель будет:
Вопрос об устойчивости, как
сказано выше, решается знаком Re
(a), или что все равно ÷ l÷ .
Если ÷ l÷
< 1 имеет место устойчивость ÷ l÷ = 1 этот случай для нашей задачи не представляет
интереса. ÷ l÷> 1 имеет место неустойчивость.
При рассмотрении (18) имеют
место 2 случая q > р2; q < р2;
В первом случае l-комплексные; ½l2
½=q;
(20) если q<1; устойчивость q>1 -
неустойчивость.
Случай второй - l - действительные: ;
(21) устойчивость соответствует p и q нетрудно
получить в виде рядов по степени m из формул (19)
(12).
(22)
Если принять во внимание (15)
(22a)
(23)
Мы видим, что при достаточно
малом m и w¹n; n ' Z вопрос об устойчивости решается величиной q и
следовательно знаком b, если b
< 0- имеет место устойчивость, b > 0
- неустойчивость.
В нашем случае b
имеет вид:
(23a)
§ 3 Отыскание периодического решения в области
резонанса.
Тогда l=mlо; w2 = 1+ aо m, (24) (aо ,
m - расстройка , реальный физический резонанс
наступает при aо ¹ 0).
(25)
При m = 0 периодическое решение будет иметь вид : (26)
Следуя Пуанкаре, мы можем
предположить периодическое решение в виде:
(27);
Начальные условия возьмем как
и раньше:
Аналогично тому, как мы это
делали в предыдущих параграфах. Подставляем (27) в (25) и, сравнивая
коэффициенты при b1 b2, m и других интересующих нас величинах, получим уравнение, которым
удовлетворяет A, B, C, D, E,
F. Начальные условия для этих уравнений
определим, если подставим (28) в (27).
(29)
Запишем условия периодичности
для (27):
Делим на m:
( 30a )
Необходимым условием
существования периодического решения является:
Эти уравнения определяют P и Q решения (26), в близости к которому
устанавливается периодическое решение. Они могут быть записаны в раскрытой
форме :
(31)
Для существования
искомого периодического решения достаточно неравенство 0 детерминанта: (см. §
1).
D, Е и их производные найдутся из (29) при помощи
формул аналогичных (15). Заметим, что (30) мы можем определить b1, b2, в виде рядов по степеням m. Таким образом, мы можем (27) как и в § 1 представить в виде ряда.
(33)
P,Q-определяются формулами (31) (32).
§ 4 Исследование устойчивости периодических решений
в области резонанса
Аналогично тому, как мы это
делали в § 2, составим уравнение первого приближения, порожденное решением
(33).
Решение опять будем искать в
виде . Однако нет необходимости проделывать
все выкладки заново. Воспользуемся результатами § 2, приняв:
Из формул (22) (34) , тогда D - тот же Якобиан, что и (32). Распишем его:
(36)
;
Тогда, зная функцию f, мы
можем вычислить D в виде функции P, Q и aо.
Заметим, что равенство (23 а)
в нашем случае имеет вид:
; (37)
Опираясь на результаты
исследования, полученных в § 2, нужно рассмотреть при исследовании устойчивости
два случая: (при достаточно малых m)
1) p2 -
q < 0
2) p2
- q > 0
В первом случае устойчивость
характеризуется условием q<1 или, что то же самое b<0.
Во втором случае (*) последнее
может быть выполнено только, если b < 0, а D > 0. Нетрудно видеть, что необходимым достаточным
условием в обоих случаях является b < 0, D > 0. (Это можно получить из неравенства (*) ).
§ 5 Применение общих формул, полученных в
предыдущих параграфах, к теории захватывания в регенеративном приемнике для
случая, когда характеристика - кубическая парабола.
Мы рассмотрим простой
регенеративный приемник с колебательным контуром в цепи сетки, на который
действует внешняя сила Ро sin w1 t.
Дифференциальное уравнение
колебаний данного контура следующее:
(39)
Считая, что анодный ток
зависит только от сеточного напряжения, а также, что характеристикой является
кубическая парабола:
(40)
S-крутизна характеристики, К - напряжение насыщения .
Далее, вводя обозначения:
Получим дифференциальное
уравнение для х:
(41)
А: (случай далекий от
резонанса).
Для него применяем результаты
§ 1, полагая.
Исходное решение в не
посредственной близости, к которому устанавливается искомое решение следующее:
Если w > 1, т.е. wо >
w1, то
разность фаз равна 0, если w <
1, то разность фаз равна p. В этом отношении все происходит в первом приближении
также, как и при обычном линейном резонансе. Устойчивость определяется знаком b (b < 0).
(42).
Т.е. те решения, для которых
выполняется это условие, устойчивы.
В: (область резонанса , § 3,
4).
В качестве исходного
периодического решения, в непосредственной близости к которому устанавливается
искомое, будет решение следующего вида: x = P sin t + Q cos t (P, Q - const).
Запишем уравнение,
определяющее эти P и Q,
т.е. соотношение (31) для нашего случая.
Или преобразовав
их, получим следующее:
Полагая Р = R sin j; Q =
R cos j. Далее найдем для амплитуды R и фазы j для того исходного периодического решения,
в близости к которому устанавливается
рассматриваемое периодическое решение , соотношения связывающие их :
Первая формула дает
"резонансную поверхность" для амплитуды. Вторая - для фазы. По (38)
условия устойчивости имеют вид b
< 0, D >
0. Считаем b и D через формулы (35-37).
(46)
Т.е. решение является
устойчивым, если удовлетворяется условие (**). В заключение выпишем формулы
для вычисления aо,
соответствующего ширине захватывания
для рассматриваемого случая.
a0 - является общим корнем уравнений
2)
Сама ширина Dw, отсчитанная
от одной границы захватывания до другой выражается следующим образом: Dw = aо w2о
(MS - c r). Можно дать простые формулы
для вычисления ширины захватывания в следующих случаях:
а) l2о << 1; Dw = wо Ро/Vоg.
б) для очень сильных сигналов
( Vоg - амплитуда сеточного
напряжения при отсутствии внешней силы).
Список литературы
1.
Андронов А.А. Собрание
трудов, издательство "Академии наук СССР", 1956.
2.
Андронов А.А., Витт А.
К теории захватывания Ван дер Поля. . Собрание трудов, издательство
"Академии наук СССР", 1956.
3.
Ляпунов А. Общая задача
об устойчивости движения, Харьков, 1892.