Элементарные конфортные отображения
Элементарные конфортные отображения
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Краткая справка. Пусть имеются два множества комплексных точек и . Если
задан закон , ставящий в соответствие каждому точку (или точки) , то говорят, что на множестве задана функция комплексной переменной со значениями в
множестве . Обозначают это следующим образом: . (Часто говорят также, что отображает множество в множество .)
Задание функции эквивалентно заданию двух действительных
функций и тогда ,
где , . Как
и в обычном анализе, в теории функций комплексной переменной очень важную роль
играют элементарные функции. Рассмотрим некоторые из них.
1. - линейная функция. Определена при всех . Отображает полную комплексную плоскость
на полную комплексную плоскость . Функция и
обратная ей - однозначны. Функция поворачивает плоскость на угол, равный ,
растягивает (сжимает) ее в раз и после этого
осуществляет параллельный сдвиг на величину .
Непрерывна на всей комплексной плоскости.
2. .
Определена на всей комплексной плоскости, причем , . Однозначна, непрерывна всюду, за
исключением точки . Отображает полную комплексную
плоскость на полную комплексную плоскость , причем точки, лежащие на единичной
окружности, переходят в точки этой же окружности. Точки, лежащие внутри
окружности единичного радиуса, переходят в точки, лежащие вне ее, и наоборот.
3. - показательная функция. По
определению , т.е. , , . Из
определения вытекают формулы Эйлера:
; ; ;
Определена на всей
комплексной плоскости и непрерывна на ней. периодична
с периодом . Отображает каждую полосу, параллельную
оси , шириной в плоскости в
полную комплексную плоскость . Из свойств отметим простейшие: ,
4. - логарифмическая функция (натуральный
логарифм). По определению: . Выражение называется
главным значением , так что . Определен для всех комплексных чисел,
кроме . -
бесконечно-значная функция, обратная к . ,
5. -
общая показательная функция. По определению, .
Определена для всех , ее главное значение , бесконечно-значна.
6. Тригонометрические функции
;;; По
определению, ; ;
;
7. Гиперболические функции.
Определяются по аналогии с такими же функциями действительной переменной, а
именно:
,
Определены и непрерывны на
всей комплексной плоскости.
Задачи с решением.
1) Найти модули и главные
значения аргументов комплексных чисел: , , , ,
Решение. По определению, ,, ; если
, то очевидно, ,
,
, , ,
, , ,
Найти суммы:
1)
2)
Решение. Пусть: , а
. Умножим вторую строчку на , сложим с первой и, воспользовавшись
формулой Эйлера, получим:
;
Преобразуя, получим:
,
3. Доказать, что: 1) 2)
3) 4)
Доказательство:
1) По определению,
2)
3) ;
Выразить через
тригонометрические и гиперболические функции действительного аргумента
действительные и мнимые части, а также модули следующих функций: 1) ; 2) ; 3) ;
Решение: и, учитывая результаты предыдущего примера, получим:
, , ,
Напомним, что
, ,
3)
, ,
, .
Найти действительные и мнимые
части следующих значений функций: ; ;
Решение. Следуя решению примера 4, будем иметь:
; ; ; ;
;
Вычислить: 1) ; 3) ; 5) ;
2) ; 4) ; 6) ;
Решение. По определению, ,
1),
, ,
2) , , ,
3) , , ,
4),
, ,
5),
, ,
6),
, ,
Найти все значения следующих
степеней:
1) ; 2) ;
3) ; 4);
Решение. Выражение для любых комплексных
и определяются
формулой
1)
2)
3)
4) .
8. Доказать следующие
равенства:
1) ;
2) ;
3)
Доказательство: 1) , если , или ,
откуда , или .
Решив это уравнение, получим , т.е. и
2) , если , откуда , или
, следовательно,
,
3) ,
если , откуда , или
.
Отсюда , следовательно,