Теория вероятности
Математический аппарат
современной экономики часто используется на основе традиционной теории
вероятности, однако сама теория вероятности основана на системе аксиом. Для
этой теории характерна частотная интерпретация вероятности события: мы не
знаем, каков будет исход данного конкретного эксперимента, но знаем, какова
доля того или иного исхода во множестве всех возможных исходов эксперимента,
многократно поставленного при неизменных начальных условиях. В теории
вероятности предполагается, что случайные величины распределены по некоторому
распределению. В этом случае расчеты существенно упрощаются. Такое
предположение не лишено оснований, скажем, при планировании инвестиций, при
моделировании физических процессов (существует теорема о том, что среднее от независимых
случайных величин, распределенных по произвольным законам, распределено по
Гауссу). Итак, в своем эссе я рассмотрю случайные величины и функции
распределения.
Случайные величины
Определение. Пусть — произвольное вероятностное
пространство.
Случайной величиной называется измеримая функция , отображающая в множество действительных чисел , т.е. функция, для которой
прообраз любого
борелевского множества есть
множество из -алгебры .
Примеры случайных величин. 1) Число
выпавшее на грани игральной кости.
2) Размер выпускаемой детали. 3) Расстояние от
начала координат до случайно брошенной в квадрат точки .
Множество значений случайной величины будем обозначать , а образ элементарного
события — . Множество значений может быть конечным, счетным или
несчетным.
Определим -алгебру на множестве . В общем случае -алгебра числового множества может быть образована применением
конечного числа операций объединения и пересечения интервалов или полуинтервалов вида (), в которых одно из чисел или может быть равно или .
В частном случае, когда — дискретное (не более чем счетное) множество, -алгебру образуют любые
подмножества множества ,
в том числе и одноточечные.
Таким образом -алгебру множества можно построить из множеств или , или .
Будем называть событием любое подмножество значений случайной величины : . Прообраз этого события обозначим . Ясно, что ; ; . Все множества , которые могут быть получены как подмножества из множества , , применением конечного числа операций
объединения и пересечения, образуют систему событий. Определив множество
возможных значений случайной величины — и выделив систему событий , построим измеримое пространство . Определим вероятность на
подмножествах (событиях) из
таким образом, чтобы она
была равна вероятности наступления события, являющегося его прообразом: .
Тогда тройка назовем вероятностным пространством случайной
величины , где
— множество значений случайной величины ; — -алгебра числового множества ; — функция вероятности случайной величины .
Если каждому событию поставлено в соответствие , то говорят, что задано распределение
случайной величины .
Функция задается на
таких событиях (базовых), зная вероятности которых можно вычислить вероятность
произвольного события .
Тогда событиями могут быть события .
Функция распределения и ее свойства
Рассмотрим вероятностное пространство , образованное случайной
величиной .
Определение. Функцией распределения
случайной величины называется
функция действительного
переменного ,
определяющая вероятность того, что случайная величина примет в результате реализации эксперимента
значение, меньшее некоторого фиксированного числа :
(1)
Там где понятно, о какой случайной величине , или идет речь, вместо будем писать . Если рассматривать случайную величину как случайную точку на
оси , то функция
распределения с
геометрической точки зрения это вероятность того, что случайная точка в результате реализации
эксперимента попадет левее точки .
Очевидно что функция при любом удовлетворяет неравенству . Функция распределения случайной
величины имеет следующие
свойства:
Доказательство. Пусть и и . Событие, состоящее в том, что примет значение, меньшее, чем , представим в виде объединения двух несовместных
событий и : .
Тогда согласно аксиоме 3 Колмогорова, или по формуле (1)
, (2)
откуда , так как . Свойство доказано.
Теорема. Для любых и вероятность неравенства вычисляется по формуле
(3)
Доказательство. Справедливость формулы (3)
следует из соотношения (2). Таким образом, вероятность попадания случайной
величины в полуинтервал равна разности значений
функции распределения вычисленных на концах полуинтервала и .
2) ; .
Доказательство. Пусть и — две монотонные числовые последовательности,
причем , при . Событие состоит в том, что . Достоверное событие эквивалентно объединению событий :
; .
Так как , то по свойству вероятностей , т.е. .
Принимая во внимание определение предела,
получаем ;
3) Функция непрерывна слева в любой точке ,
Доказательство. Пусть — любая возрастающая
последовательность чисел, сходящаяся к . Тогда можно записать:
На основании аксиомы 3
Так как ряд справа состоит из положительных чисел
и сходится к , то остаток
ряда, начиная с некоторого номера , будет меньше , (теорема об остатке ряда)
.
Используя формулу (3), выразим вероятности
событий через функцию распределения. Получим
,
откуда или , а это означает, что .
Теорема. Вероятность того, что значение
случайной величины больше действительного числа , вычисляется по формуле .
Доказательство. Достоверное событие представим в виде
объединения двух несовместных событий и . Тогда по 3-1 аксиоме Колмогорова или , откуда следует искомая формула.
Определение. Будем говорить, что функция
распределения имеет при скачок , если , где и пределы слева и справа функции распределения в точке .
Теорема. Для каждого из пространства случайной величины имеет место формула
Доказательство. Приняв в формуле (3) , и перейдя к пределу при , , согласно свойству 3), получим искомый
результат.
Можно показать, что функция может иметь не более чем счетное число
скачков. Действительно функция распределения может иметь не более одного скачка
, скачков — не более 3-х, скачков не более чем .
Иногда поведение случайной величины характеризуется не
заданием ее функции распределения, а каким-либо другим законом распределения,
но так, чтобы можно было получить из этого закона распределения функцию
распределения .