Контрольная по теории вероятности
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ВОРОНЕЖСКИЙ
ИНСТИТУТ ВЫСОКИХ ТЕХНОЛОГИЙ
Факультет заочного и послевузовского
обучения
КОНТРОЛЬНАЯ
РАБОТА №1
По дисциплине: "Теория вероятностей и элементы
математической статистики"
Воронеж
2004 г.
Вариант – 9.
Задача № 1.
№№ 1-20. Техническое
устройство, состоящее из трех узлов, работало в течение некоторого времени t. За это время первый узел оказывается неисправным с
вероятностью р1, второй – с вероятностью р2, третий – с
вероятностью р3. Найти вероятность того, что за время работы: а) все
узлы оставались исправными; б) все узлы вышли из строя; в) только один узел
стал неисправным; г) хотя бы один узел стал неисправным (см. исходные данные в
таблице).
p1=0,4
p2=0,6 p3=0,9
Решение:
Пусть событие А означает,
что первый узел оказался неисправным, В оказался неисправным второй узел
и С – оказался неисправным третий узел, тогда -
первый узел был исправен в промежуток времени t,
- был исправен второй узел, - был исправен третий узел.
а) Пусть событие D означает,
что все узлы оставались исправными, тогда .
Поэтому , учитывая независимость событий , и , по
теореме умножения вероятностей имеем:
б) Пусть событие Е – все узлы вышли из строя, тогда:
в) Пусть событие F – только
один узел стал неисправным, тогда:
События несовместные.
Поэтому, применяя теорему сложения вероятностей несовместимых событий, получим:
г) Пусть событие D1
– хотя бы один узел стал неисправным, тогда:
.
Задача № 2
№39. По линии связи могут быть переданы символы А,
В, С. Вероятность передачи символа А равна 0,5; символа В – 0,3; символа С –
0,2. Вероятности искажения при передаче символов А, В, С равны соответственно
0,01; 0,03; 0,07. Установлено, что сигнал из двух символов принят без
искажения. Чему равна вероятность, что передавался сигнал АВ?
Решение:
Пусть
событие А – передача символа А, событие В – передача символа В, событие С – передача символа С, событие -
искажение при передаче символа А, событие и
- искажения при передаче символов В и С соответственно.
По
условию вероятности этих событий равны:
,
, , ,
Если
события , и - искажения при передаче символов, то
события , и - отсутствие искажений при передаче. Их
вероятности:
Обозначим
через D событие, состоящее в том, что
были переданы два символа без искажений.
Можно
выдвинуть следующие гипотезы:
Н1 – переданы
символы АА,
Н2 – символы
АВ,
Н3 – символы
ВА,
Н4 – символы
АС,
Н5 – символы
СА,
Н6 – символы
ВВ,
Н7 – символы
ВС,
Н8 – символы
СВ,
Н9 – символы
СС.
Вероятности
этих гипотез:
Условные вероятности события D
если имела место одна из гипотез будут:
По формуле Бейеса вычислим условную вероятность с учетом появления события Р:
Задача № 3
№№ 41-60. Найти вероятность
того, что в п независимых испытаниях событие появится: а) ровно k раз; б) не менее k
раз; в) не более k раз; г) хотя бы один
раз, если в каждом испытании вероятность появления этого события равна р (см.
исходные данные в таблице).
Решение:
Так как число испытаний невелико, то для вычисления искомой
вероятности воспользуемся формулой Бернулли:
, где
число сочетаний из п
элементов по k, q=1-p. В рассматриваемом случае:
б) вероятность появления события не менее 4 раз в 5
испытаниях:
в) вероятность появления события не более 4 раз в 5
испытаниях:
г) вероятность появления события хотя бы один раз в 5
испытаниях:
Задача № 4
№№ 61-80. Дана плотность
распределения f(x) случайной величины Х. Найти параметр а, функцию
распределения случайной величины, математическое ожидание М[Х], дисперсию D[X], вероятность выполнения
неравенства х1<x< x2, построить график функции распределения F(x).
Решение:
Для определения параметра а воспользуемся основным
свойством плотности распределения:
, так
как при плотность распределения равна нулю, то
интеграл примет вид: или ,
откуда
;
Функция распределения связана с функцией плотности
соотношением:
Откуда получим:
Математическое ожидание и
дисперсию определим по формулам:
Вероятность выполнения неравенства <x< определим по формуле: Р( <x< )=F( ) – F( )=
Задача
№5
№№ 81-100. Найти вероятность попадания в заданный
интервал нормально распределенной случайной
величины, если известны ее математическое ожидание а и среднее квадратическое
отклонение (см. исходные данные в таблице).
a
= 10
|
b
= 22
|
a = 8
|
s
= 6
|
Решение:
Для определения искомой вероятности воспользуемся формулой:
Здесь - функция Ломпаса,
значения которой определяются по таблице. Учитывая, что функция Ф(х)
нечетная, получим: