Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции
Образцы исследования элементарных функций, содержащих
обратные тригонометрические функции
Примеры
Примеры: в нижеследующих примерах приведены образцы
исследования элементарных функций, заданных формулами, содержащими обратные
тригонометрические функции.
Пример №1. Исследовать
функции arcsin(1/x) и arccos(1/y)
и построить их графики.
Решение: Рассмотрим 1-ю
функцию
y = arcsin(1/x)
Д(f): | 1/x | ≤ 1 ,
| x | ≥ 1 ,
( - ∞ ; -1 ]
U [ 1; + ∞ )
Функция нечетная
( f(x) убывает на
пр. [0;1] , f(y)
убывает на пр. [0;π/2] )
Заметим,
что функция y=arccosec(x) определяется из условий cosec(y)=x и y
є [-π/2; π/2], но из условия cosec(y)=x следует sin(y)=1/x, откуда
y=arcsin(1/x). Итак, arccos(1/x)=arcsec(x)
Д(f): ( - ∞ ; -1 ] U [ 1; +
∞ )
Пример
№2. Исследовать функцию y=arccos(x2).
Решение:
Д(f):
[-1;1]
Четная
f(x) убывает на пр. [0;1]
f(x)
возрастает на пр. [-1;0]
Пример
№3. Исследовать функцию y=arccos2(x).
Решение:
Пусть z = arccos(x), тогда y
= z2
f(z) убывает на пр. [-1;1] от π
до 0.
f(y) убывает на
пр. [-1;1] от π2 до 0.
Пример №4. Исследовать
функцию y=arctg(1/(x2-1))
Решение:
Д(f): ( - ∞ ; -1 ) U ( -1;
1 ) U ( 1; +∞ )
Т.к. функция четная, то
достаточно исследовать функцию на двух промежутках:
[ 0 ; 1 ) и ( 1
; +∞ )
X
|
0
|
< x <
|
1
|
< x <
|
+∞
|
u=1/(x2-1)
|
-1
|
↘
|
+ ∞
- ∞
|
↘
|
0
|
y=arctg(u)
|
- π/4
|
↘
- π/2
|
↘
|
0
|
Тригонометрические
операции над аркфункциями
Тригонометрические функции от
одного и того же аргумента выражаются алгебраически одна через другую, поэтому
в результате выполнения какой-либо тригонометрической операции над любой из
аркфункций получается алгебраическое выражение.
В силу определения
аркфункций:
sin(arcsin(x)) = x
, cos(arccos(x)) = x
(справедливо только для x є [-1;1] )
tg(arctg(x)) = x , ctg(arcctg(x))
= x
(справедливо при любых x )
Графическое различие между
функциями, заданными формулами:
y=x и y=sin(arcsin(x))
Сводка формул, получающихся в
результате выполнения простейших тригонометрических операций над аркфункциями.
Аргумент
функция
|
arcsin(x)
|
arccos(x)
|
arctg(x)
|
arcctg(x)
|
sin
|
sin(arcsin(x))=x
|
|
|
|
cos
|
|
x
|
|
|
tg
|
|
|
x
|
1 / x
|
ctg
|
|
|
1 / x
|
x
|
Справедливость всех этих
формул может быть установлена при помощи рассуждений, приведенных ниже:
1.
Т.к. cos2x +
sin2x = 1 и φ = arcsin(x)
Перед радикалом следует взять знак “+”,
т.к. дуга принадлежит правой полуокружности
(замкнутой) , на которой косинус неотрицательный.
Значит, имеем
2.
Из тождества следует:
3.
Имеем
4.
Ниже приведены образцы
выполнения различных преобразований посредством выведения формул.
Пример №1. Преобразовать
выражение
Решение: Применяем формулу , имеем:
Пример №2. Подобным же
образом устанавливается справедливость тождеств:
Пример №3. Пользуясь
Пример №4. Аналогично можно
доказать следующие тождества:
Пример №5. Положив в формулах
, и
,
получим:
,
Пример №6. Преобразуем
Положив в формуле ,
Получим:
Перед радикалами взят знак “+”,
т.к. дуга принадлежит I четверти, а
потому левая часть неотрицательная.
Соотношения между аркфункциями
Соотношения первого рода –
соотношения между аркфункциями, вытекающими из зависимости между
тригонометрическими функциями дополнительных дуг.
Теорема. При всех допустимых х имеют место тождества:
Соотношения второго рода –
соотношения между аркфункциями, вытекающие из соотношений между значениями
тригонометрических функций от одного и того же аргумента. Посредством
соотношений 2-го рода производятся преобразования одной аркфункции в другую (но
от различных аргументов).
Случай №1. Значения двух данных
аркфункций заключены в одной и той же полуокружности.
Пусть, например,
рассматривается дуга α, заключенная в интервале (-π/2; π/2).
Данная дуга может быть
представлена как в виде арксинуса, так и в виде арктангенса. В самом деле, дуга
имеет синус, равный sinα и заключена, так же как и α, в интервале (-π/2;
π/2), следовательно
Аналогично можно дугу α
представить в виде арктангенса:
А если бы дуга α была
заключена в интервале ( 0 ; π ), то она могла бы быть представлена как в
виде арккосинуса, так и в виде арккотангенса:
Так, например:
Аналогично:
Формулы преобразования одних
аркфункций в другие, значения которых содержаться в одной и той же
полуокружности (правой или верхней).
1.
Выражение через арктангенс.
Пусть , тогда
Дуга , по определению арктангенса, имеет
тангенс, равный и расположена в
интервале (-π/2; π/2).
Дуга имеет тот же тангенс и расположена в том
же интервале (-π/2; π/2).
Следовательно,
(1)
(в интервале ( -1 : 1 )
2.
Выражение через арксинус.
Т.к. , то (2)
в интервале
3.
Выражение арккосинуса через арккотангенс. Из равенства следует тождество
(3)
Случай №2. Рассмотрим две
аркфункции, значения которых выбираются в различных промежутках (например,
арксинус и арккосинус; арккосинус и арктангенс и т.п.). Если аргумент
какой-либо аркфункции (т.е. значение тригонометрической функции) положителен,
то соответственно аркфункция (дуга), заключенная в первой четверти, может быть
представлена при помощи любой аркфункции; так, например,
Поэтому каждая из аркфункций
от положительного аргумента может быть выражена посредством любой другой аркфункции.
Значение какой-либо аркфункции
от отрицательного аргумента принадлежит либо промежутку от -π/2 до 0, либо
промежутку от π/2 до π и не может быть представлено в виде
аркфункции, значение которой принадлежит другому (из этих двух) промежутку.
Так, например, дуга не может быть значением арксинуса. В
этом случае
Формулы преобразования одних
аркфункций в другие, значения которых выбираются в различных полуокружностях.
4.
Выражение арксинуса через
арккосинус.
Пусть ,
если , то .
Дуга имеет косинус, равный , а поэтому
При это
равенство выполняться не может. В самом деле, в этом случае
, а
для функции имеем:
так как аргумент арккосинуса
есть арифметический корень , т.е. число
неотрицательное.
Расположение рассматриваемых
дуг пояснено на рисунке:
Х>0 X<0
При отрицательных значениях Х
имеем Х<0, а при положительных X>0, и
Таким образом, имеем
окончательно:
если , (4)
, если
Область определения есть
сегмент [-1;1]; согласно равенству (4), закон соответствия можно
выразить следующим образом:
,
если
, если
5.
Аналогично установим, что
при имеем:
,
если же , то
Таким образом:
, если (5)
, если
6.
Выражение арктангенса через
арккосинус. Из соотношения
при
имеем:
Если же х<0,
то
Итак,
,
если (6)
,
если
7.
Выражение арккосинуса через
арктангенс. Если , то
При имеем:
Итак,
,
если (7)
, если
8.
Выражение арктангенса через
арккотангенс.
,
если х>0 (8)
,если x<0
При x>0 равенство
(8) легко установить; если же x<0, то
.
9.
Выражение арксинуса через
арккотангенс.
,
если (9)
, если
10.
Выражение арккотангенса через
арксинус.
,
если 0<x (10)
, если х<0
11.
Выражение арккотангенса через
арктангенс.
,
если x>0 (11)
,
если x<0
Примеры:
Пример №1. Исследовать
функцию
Решение. Эта функция
определена для всех значений х, за исключением значения х=0 (при х=0) второе
слагаемое теряет смысл). Воспользовавшись формулой (8) получим:
y= 0 , если x>0
-π
, если x<0
На
чертеже изображен график
данной функции
Пример №2. Исследовать
функцию
Решение: Первое слагаемое
определено для значений , второе – для тех же
значений аргумента. Преобразим первое слагаемое по формуле (4).
Т.к. ,
то получаем
,
откуда:
на
сегменте [0;1]
Пример №3. Исследовать
функцию
Решение: Выражения, стоящие
под знаками аркфункций не превосходят по абсолютной величине единицы, поэтому
данная функция определена для всех значений х. Преобразуем первое слагаемое по
формуле (4).
Приняв во внимание равенство
, если
, если
получим:
y
= 0 , если
, если
Выполнение обратных
тригонометрических операций над тригонометрическими функциями.
При преобразовании выражений
вида
следует принимать во внимание
в какой четверти находится аргумент х и в каком промежутке находится значение
данной аркфункции. Рассмотрим, например, первое из данных выражений:
Согласно определению
арксинуса, y – есть дуга правой полуокружности (замкнутая), синус
которой равен sin x;
и
Областью определения функции служит интервал ,
так как при всех действительных значениях х значение промежуточного аргумента содержится на сегменте . При произвольном действительном х
значение y (в общем случае) отлично от значения х.
Так, например, при х=π/6
имеем:
но при х=5π/6
В силу периодичности синуса
функция arcsin x также
является периодической с периодом 2π, поэтому достаточно исследовать ее на
сегменте [-π/2;
3π/2] величиной 2π.
Если значение х принадлежит
сегменту [-π/2;
π/2] то y=x, на
этом сегменте график функции совпадает с биссектрисой координатного угла.
Если значение х принадлежит
сегменту [π/2;
3π/2], то в этом
случае дуга π-х принадлежит сегменту [-π/2; π/2]; и,
так как
, то
имеем y=π-х;
в этом промежутке график
функции совпадает с прямой линией y=π-х. Если значение х
принадлежит сегменту [3π/2;
5π/2], то,
пользуясь периодичностью или путем непосредственной проверки, получим:
y=х-2π
Если значение х принадлежит
сегменту [-3π/2;
-π/2], то
y=-π-х
Если значение х принадлежит
сегменту [-5π/2;
-3π/2], то
y=х+2π
Вообще, если , то
y=х-2πk
и если , то
y=(π-х)+2πk
График функции представлен на рисунке. Это ломаная линия
с бесконечным множеством прямолинейных звеньев.
Рассмотрим функцию
Согласно определению
арккосинуса, имеем:
cos y = cos
x, где
Областью определения данной
функции является множество всех действительных чисел; функция периодическая, с
периодом, равным 2π. Если значение Х принадлежит сегменту [0;
π], то y
= x. Если х принадлежит сегменту [π; 2π], то
дуга 2π-х принадлежит сегменту [0; π] и , поэтому:
Следовательно, на сегменте [π; 2π] имеем
y = 2π
- x
Если х принадлежит сегменту [2π; 3π], то
y = x - 2π
Если х принадлежит сегменту [3π; 4π], то y
= 4π – x
Вообще, если , то y = x - 2πk
Если же , то y = -x + πk
Графиком функции является ломаная линия
Формулы
сложения
Формулы сложения дают выражения
для суммы или разности двух (или нескольких) аркфункций через какую-либо
данную аркфункцию. Пусть дана сумма аркфункций; над этой суммой можно выполнить
любую тригонометрическую операцию. (....) В соответствии с этим дуга-функция
может быть выражена посредством любой данной аркфункции. Однако в различных
случаях (при одних и тех же аркфункциях) могут получаться различные формулы, в
зависимости от промежутка, в котором берется значение рассматриваемой аркфункции.
Сказанное пояснено ниже на
числовых примерах.
Примеры.
Пример №1. Преобразовать в
арксинус сумму
Решение: эта сумма является
суммой двух дуг α и β, где
;
В данном случае (т.к. , а
следовательно, ), а также , поэтому .
Вычислив синус дуги γ,
получим:
Т.к. сумма γ заключена
на сегменте [-π/2;
π/2], то
Пример №2. Представить дугу γ,
рассмотренную в предыдущем примере, в виде арктангенса. Имеем:
Откуда
Пример №3. Представить
посредством арктангенса сумму
Решение: в данном случае (в
отличие от предыдущего) дуга γ оканчивается во второй четверти, т.к. , а .
Вычисляем
В рассматриваемом примере , так как дуги γ и заключены в различных интервалах,
, а
В данном случае
Пример №4. Представить дугу γ,
рассмотренную в предыдущем примере, в виде арккосинуса.
Решение: имеем
Обе дуги γ и расположены в верхней полуокружности и
имеют одинаковый косинус, следовательно, эти дуги равны:
Так как суммы и разности
любых аркфункций можно выражать при помощи произвольных аркфункций, то можно
получать самые разнообразные формулы сложения. Однако все эти формулы выводятся
при помощи однотипных рассуждений. Ниже в качестве примеров даются некоторые из
формул сложения, по этим образцам можно получить аналогичные формулы в
различных прочих случаях.
Формулы сложения аркфункций от положительных
аргументов.
Пусть α и β – две
дуги, заключенные в промежутке от 0 до π/2 (первая
четверть):
, и
Сумма α + β заключена
в верхней полуокружности , следовательно, ее
можно представить в виде аркфункции, значение которой выбирается в том же интервале,
т.е. в виде арккосинуса, а также в виде арккотангенса:
;
Разность α – β заключена
в правой полуокружности:
Следовательно, она может быть
представлена в виде арксинуса, а также в виде арктангенса:
Так как значение всякой
аркфункции от положительного аргумента заключено в интервале (0; π/2) то
сумму двух аркфункций от положительных аргументов можно представить в виде
арккосинуса, а также в виде арккотангенса, а разность двух аркфункций от
положительных аргументов можно представить в виде арккосинуса, а также в виде
арктангенса.
Ниже приведены образцы
соответствующих преобразований.
1.
Преобразуем в арккосинус , где и
Имеем:
Откуда
2.
Аналогично
, где
0 < x < 1, 0 <
y < 1
,
где 0 < x < 1, 0 <
y < 1
Формулы сложения аркфункций от произвольных
аргументов.
1.
Выразить сумму через арксинус
По определению арксинуса
и ,
откуда
Для дуги γ возможны
следующие три случая:
Случай 1:
Если числа x и y разных знаков
или хотя бы одно из них равно нулю, то имеет место случай 1.
В самом деле, при и ,
имеем:
,
и ,
откуда
При x > 0, y > 0 для дуги γ имеет место одна из следующих двух систем неравенств:
а) б)
Необходимым и достаточным
признаком, позволяющим отличить один от другого случаи а) и б), является
выполнение неравенства:
в
случае а) и в случае б)
В самом деле, взаимно
исключающие друг друга соотношения а) и б) влекут за собой взаимно исключающие
следствия и (соответственно),
а потому эти следствия служат необходимыми и достаточными признаками наличия
данных соотношений.
Вычислив , получим:
При x > 0, y > 0 наличие случая 1 означает выполнения неравенства а) т.е. или
Откуда
и,
следовательно,
Наличие случая 1 при x < 0, y < 0 означает выполнение неравенств
;
но тогда для положительных
аргументов –x и –y имеет место случай 1, а потому
или
Случай 2.
В этом случае x > 0, y > 0, т.е. выполняется неравенство б); из условия получим
Случай 3.
Этот случай имеет место
при x < 0, y < 0, и
Изменив знаки на
противоположные придем к предыдущему случаю:
откуда
Дуги γ и имеют одинаковый синус, но (по
определению арксинуса) , следовательно в
случае 1 ;
в случае 2 и в случае 3 .
Итак, имеем окончательно:
, или
; x >
0, y > 0, и (1)
; x < 0, y < 0, и
Пример:
;
2. Заменив в (1) x
на –x получим:
, или
; x >
0, y > 0, и (2)
; x < 0, y < 0, и
3. Выразить сумму через арккосинус
и
имеем
Возможны следующие два
случая.
Случай 1: если , то
Приняв во внимание, что обе
дуги и расположены
в промежутке [0;π] и что в этом промежутке косинус убывает, получим
и следовательно, , откуда
Случай 2: . Если , то
,
откуда при помощи
рассуждений, аналогичных предыдущим, получим . Из
сопоставления результатов следует, что случай 1 имеет место, если , а случай 2, если
.
Из равенства следует, что дуги
и имеют одинаковый косинус.
В случае 1 , в случае 2 ,
следовательно,
,
, (3)
4. Аналогично
,
, (4)
пример:
5.
; xy <
1
; x >
1, xy > 1 (5)
; x <
0, xy > 1
При xy=1
не имеет смысла
6.
;
xy > -1
; x > 0, xy < -1 (6)
; x <
0, xy < -1
7.
;
;
(7)
;
8.
; (8)
;
9.
;
; x >
1 (9)
; x <
-1
10. (10)
(11)
, если (12)
, если