Випадкові потоки подій. Пуассонівські потоки
Випадкові потоки подій.
Пуассонівські потоки
В СМО під вхідним потоком подій
розуміють потік вимог на обслуговування (наприклад, потік автомобілів, що
прибувають на АЗС для заправки, де подією є прибуття одного, будь-якого
автомобіля, моментом здійснення події - момент його прибуття на АЗС, часовий
інтервал між подіями - інтервал між моментами прибуття на АЗС цього та
попереднього автомобіля), а також вихідний потік обслуговування (наприклад,
потік заправлених автомобілів, що покидає АЗС).
Потік подій є регулярним, якщо події
відбуваються через рівні інтервали часу.
Випадковий потік характеризується
нерівномірністю інтервалів часу слідування подій. Головною характеристикою
випадкового потоку є ймовірність попадання інтервалу часу між подіями в задані
межі.
До пуассонівського потоку подій
належать ті, що задовольняють наступні умови: відсутність післядії, відсутність
імовірності появи двох подій одночасно (ординарність потоку), стаціонарність
потоку.
Математичні моделі послідовностей
часових інтервалів між подіями у потоках Пуассона та Ерланга
Враховуючи, що Pо() є
імовірність того, що в інтервалі τ немає
жодної події, тобто згідно з законом Пуассона (при m=0):
,
можна стверджувати, що
, (>0)
Тоді диференційна функція
розподілу (щільність розподілу) буде мати вигляд:
, ()
Графіки F(τ) і λ(τ)
для цього закону, що називається експоненціальним (показовим) законом розподілу
інтервалів між сусідніми подіями в пуассонівському потоці, представлено на
рис.1.
Для експоненціального закону
розподілу величина Т = характеризує
швидкість зміни імовірності появи певних інтервалів. Наприклад, за будь-якої
інтенсивності λ
(T) = 0,631 ≈ 0,63; F(2T)
= 0,865; F(3T) = 0,95
F(T) = 0,369λ
≈ 0,37λ; f(2T) ≈
0,135λ; f(3T)
= 0,05λ
,
що означає, що в діапазоні
від 0 до Т = знаходяться
приблизно 63% всіх числових інтервалів між подіями в пуассонівському потоці, в
діапазоні від 0 до 3Т = знаходяться
приблизно 95%. Практично це означає, що визначивши експериментально
інтенсивність потоку λ, можна визначити також межі 95%
діапазону всіх можливих значень часових інтервалів в потоці як Т0,95 =.
Рис.1. Графіки F(τ)
і
λ(τ)
для
експоненціального закону розподілу імовірностей.
Для опису потоків подій з
післядією використовуються потоки Ерланга. При цьому замість одного інтервалу
між подіями розглядають суму k інтервалів як один інтервал, враховуючи, що з
ростом інтервалу взаємодія подій зменшується. Кількість інтервалів визначають
порядок потоку Ерланга. Наприклад, при k = 2 в потоці, що взаємодіє,
розглядають кожну другу подію (шляхом “просіювання” кожної парної або непарної
події), при k = 3 - кожну третю подію і т.д. Очевидно, чим більша взаємодія
подій в потоці, тим більший слід вибирати інтервал розгляду tj = (j=), де і -
відраховується кожного разу від tj. Очевидно, що найпростіший (пуассонівський)
потік можна розглядати як потік Ерланга 1-го порядку (k=1, тобто без
“просіювання” подій).
де λ
- інтенсивність породжуючого потоку Пуассона (без
“просіювання”).
На рис.2 показані щільності
розподілу імовірностей часових інтервалів слідування подій в потоках Ерланга k-го
порядку при (k=1,2,3,4).
При цьому k є в певній мірі характеристикою зв’язності потоку.
Інтегральна та функція
щільності розподілу мають аналітичний вираз:
математичний
модель подія інтервал
Графік f(τ)
для цього розподілу представлено на рис.2 і є f(τ)
експоненційного закону розподілу, переміщену на τ0.
Приклади моделей потоків подій в
транспортних системах
Приклад 1.
Маємо результати 20 вимірювань
часових інтервалів руху автомобілів у потоці (N=20):
(сек) = 1,2; 2,0; 2,1; 2,0; 2,1;
3,0; 10,5; 2,1; 1,7; 1,2; 1,5; 1,5; 11,5; 11,0; 2,1; 2,0; 1,1; 1,7; 9,7; 11,8
Визначити закон розподілу інтервалів
руху автомобілів у потоці.
Рішення
. Визначимо середній інтервал руху
автомобілів (оцінка математичного сподівання)
сек.
. Визначаємо оцінку дисперсії
інтервалів руху відносно середнього інтервалу
сек.
. Визначаємо інтенсивність
руху
.
. Щільність експоненціального
розподілу часових інтервалів
. Інтегральна функція
розподілу часових інтервалів руху
Графіки f(τ) і F(τ)
представлені на рис.3.
Першим показником належності
послідовності часових інтервалів до експоненціального розподілу є рівність за умови ti>0.
У випадку, що розглядається,
ми маємо саме рівність цих значень. Тому приймаємо у першому наближенні
гіпотезу про експоненціальний закон розподілу часових інтервалів руху в потоці.
Примітка: В цьому прикладі не
розглядається питання визначення репрезентативності вибірки і застосування відповідних
критеріїв перевірки статистичних гіпотез. Ці питання відносяться до курсу
“Прикладна статистика”.
Приклад 2.
В даному прикладі розглянемо
аналогічну задачу за умови руху з підвищеною інтенсивністю, коли на режим руху
починає впливати взаємодія між сусідніми автомобілями, що рухаються в потоці.
Маємо результати 20 вимірювань часових інтервалів руху автомобілів у потоці (N=20):
(сек) = 1,7; 2,0; 2,1; 2,5; 4,0;
5,0; 6,0; 3,1; 2,6; 3,2; 2,0; 6,8; 7,0; 3.2; 3,3; 5,2; 6,0; 3,8; 1,6; 2,0
Рішення
Здійснюємо статистичну обробку даних
за методикою прикладу 1. В результаті визначаємо:
сек; = 3,075 сек2; = 1,753 сек.
Оскільки ≠ при ti>0
(i=) і ці
значення відрізняються досить суттєво, використовуємо для опису розподілу
часових інтервалів руху розподіл Ерланга.
Визначаємо інтенсивність руху
(одночасно це є інтенсивність потоку Ерланга)
Враховуючи
визначаємо порядок потоку
Ерланга
Вибираємо найближче ціле
значення k=4. Таким чином, для опису часових інтервалів руху потоку, що
розглядається, приймаємо потік Ерланга 4-го порядку зі щільністю імовірності
розподілу часових інтервалів
Будуємо графік цієї функції,
звівши результати розрахунків fk(τ) при різних
значеннях τ до
таблиці 1.
Таблиця 1
τ (сек)
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
fk(τ)
|
0
|
0,214
|
0,242
|
0,192
|
0,125
|
0,073
|
Для самостійної роботи.
. Побудувати графік функцій Fk(τ)
та fk(τ), застосовуючи
відповідні формули потоків Ерланга.