Факторный анализ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
БЕЛОРУССКИЙ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра МО САПР
Использование
факторного анализа для построения рейтинга банков.
Курсовая работа
студентов второй
группы
третьего курса
факультета
прикладной
математики и
информатики
Бескоровайного А.А. и
Лейнова В. А.
Научный руководитель:
Ковалев М.М.
Минск, 1997.
Введение
|
3
|
Методология факторного
анализа
|
4
|
Описание программы
|
8
|
Приложение
|
9
|
Формат
файлов
|
9
|
Таблица
исходных данных
|
9
|
Факторная
матрица
|
10
|
Матрица
факторного отображения
|
11
|
Графическое
представление
|
12
|
В
факторном анализе предполагается, что наблюдаемые переменные являются линейной
комбинацией некоторых латентных (гипотетических или ненаблюдаемых) факторов.
Некоторые из этих факторов допускаются общими для двух и более переменных, а
другие -- характерными для каждого параметра в отдельности.
Применительно
к построению банковских рейтингов реальную картину состояния дает методика,
основанная на применении двухфакторного анализа, которая позволяет представить
банки точками на плоскости, координатными осями которой являются [построенные] факторы, что
особенно удобно для
составления динамических рейтингов, когда при анализе состояния системы во
времени точки, указывающие на состояние банков, превращаются в диаграммы.
Методология факторного анализа.
Необходимо
попытаться наиболее полно проанализировать разнообразные показатели,
характеризующие в нашем случае состояние банков. Для этого необходимо свести их
к меньшему числу некоторых факторов. Представим каждый рейтинговый показатель zj как линейную комбинацию гипотетических
факторов:
Zj=aj1F1+aj2F2+...+ajmFm
(j=1,2...n), где
Fi
– значение i-го фактора для данной (j-ой) компоненты;
aji
– вес фактора i в компоненте j;
m – количество
факторов;
n – количество
показателей.
Можно выделить следующие
этапы построения факторной матрицы:
1.
Создаем исходную матрицу {{xij}}
размерности (n * m), где m – количество
характеристик, а n – количество исследуемых банков.
2.
Строим корреляционную матрицу R={{rij}},
имеющую размерность m *
m:
2.1
Строим ковариационную матрицу: C=XT*X/n :
2.2
Строим корреляционную матрицу:
R={{rij}},
2.3 На основе построенной корреляционной
матрицы строим редуцированную корреляционную матрицу:
3. В методе главных факторов на 1-ом этапе вычислений ищут коэффициенты при
первом факторе так, чтобы сумма вкладов в суммарную
общность была максимальной
Максимум
V1 должен быть обеспечен при условии
Чтобы максимизировать функцию n переменных
воспользуемся методом множителей Лагранжа, с помощью которого приходим к
выводу, что искомая функция является ничем иным как максимальным собственным
значением уравнения
det(R-lE)=0 (2),
где R- редуцированная корреляционная
матрица, полученная в пункте 2.
Далее, подставив найденное значение l1 и получив одно из возможных решений (q11 ,q21, ... ,qn1) уравнения (2), являющихся в свою очередь
собственным вектором, соответствующим данному собственному значению и, для удовлетворения выражению (1), разделив на корень из
суммы их квадратов и умножив на квадратный корень из собственного значения,
получим
что представляет собой искомый коэффициент при факторе F1 в факторном отображении пункта 1.
l1 вычисляется
по формуле:
l1=max{p1j}, где вектор p=R*q1
Вектор q1 находится при
помощи следующего итерационного процесса:
Вычисляем R, R2, R4,...
до тех пор, пока не будет выполняться условие |b(i)-b(i/2)|<e, где b(i) вектор, j-ый
элемент которого равен частному от деления суммы j-ой
строки матрицы Ri на максимальную из сумм
элементов строк матрицы Ri , а в качестве e берется заранее выбранная точность вычислений.
По окончании процесса в качестве вектора q берется
вектор a(i).
4.Для определения коэффициентов при втором факторе F
2
необходимо максимизировать функцию
что делается аналогично вычислениям для 1-го фактора, только
вместо матрицы R используется матрица
Полученную факторную матрицу F
размерности m*2 вращаем путем
умножения на матрицу поворота
,
Окончательный поворот будет произведен на угол, при котором выполнится критерий
Варимакс:
Где r — число факторов.
Умножив
справа исходную матрицу Х на построенную Fпов, получим окончательную
матрицу, показывающую расположение банков в новых координатах (факторах F1
, F2).
Для компьютерной реализации описанного выше метода нами, с
помощью среды Delphi 2.0, была создана программа rating, функционирующая под управлением операционной системы Windows-95.
1. После запуска программа предлагает
пользователю загрузить исходные данные о состоянии банков за некоторые периоды
времени. Исходные файлы хранятся в специальном формате (см.
приложение 1).
2.
Данные загружаются в таблицы (по годам), где и могут быть просмотрены
(см. приложение 2)
В прилагаемом ниже примере исходными данными
является файл по состоянию на 1995 код со следующими показателями,
характеризующими банки :
a1=Активы
a2=Капитал
a3=Капитал/активы в %
a4=.Вложения в другие банки
a5=Вложения в
экономику
a6=Вложения всего
3.
По нажатию соответствующей кнопки на панели управления программой, будут
построены и отображены матрицы факторного отображения (см приложение 4) ,за каждый из периодов времени. Данные матрицы образуются из
факторных матриц, описывающих вклад каждого из показателей в общий фактор (см.
приложение 3)
4.
По желанию пользователя может быть построен график, показывающий
положение банков на факторной плоскости и динамику их развития во времени (см.
приложение 5).
Файлы, используемые в нашей программе
представляют собой текстовые файлы, в которых в качестве разделителей
используются пробелы.
В первом столбце файла хранятся названия
обрабатываемых банков, а в первой строке – названия показателей,
характеризующих их деятельность.
3.
Факторная матрица
Показатель
|
F1
|
F2
|
a1=Активы
|
0.940
|
0.264
|
a2=Капитал
|
0.949
|
0.198
|
a3=Капитал/активы в %
|
0.829
|
0.436
|
a4=Вложения в другие банки
|
0.602
|
0.539
|
a5=Вложения в экономику
|
0.834
|
0.425
|
a6=Вложения всего
|
0.922
|
0.335
|
4.Матрица факторного отображения
5. Графическое
представление
Прямоугольной областью обозначается положение банка на факторной плоскости по
состоянию на 1995 год, а круглой областью такого же цвета обозначается
положение того же банка по состоянию на 1996 год.