Правила использования структурных схем для моделирования системы автоматического регулирования
Задача 1
Задача решается в соответствии пособия [1].
По последней цифре шифра выбираем структурную
схему:
Рис. 1.1
Используя правила преобразования
структурных схем представленных в таблице 1.3 [1], приведем структурную схему к
простейшему виду - одному элементу с результирующей передаточной функцией (см.
рис. 2). На рис. приводятся этапы преобразований. Выражения для эквивалентных
(результирующих) передаточных функций САУ в разомкнутом и замкнутом состояниях
- и
Передаточная функция разомкнутой будет иметь
вид
Передаточная функция замкнутой будет иметь
вид
В соответствии с табл.1.1 выбираем
соответствующие значения передаточных функций и подставляем их в соотношения
для полученных передаточных функций и . Выбор осуществляется по
предпоследней цифре шифра
Значения передаточных функций представлены
в таблице 1.1.
Таблица 1.1
Предпоследняя
цифра шифра
|
W1
|
W2
|
W3
|
W4
|
W5
|
W6
|
W7
|
4
|
k21k4рk5рk6k7
|
|
|
|
|
|
|
Проведем подстановки значений
передаточных функций в соотношения передаточных функций и .
Записать уравнения динамики САР в
операторной форме и в форме линейного дифференциального уравнения.
Проведем преобразования.
Уравнения динамики разомкнутой САР в
операторной форме
, где
Уравнения динамики разомкнутой САР в форме
линейного дифференциального уравнения.
Уравнения динамики замкнутой САР в
операторной форме
где к-ты представлены выше
Уравнения динамики разомкнутой САР в
форме линейного дифференциального уравнения.
где n - выходной сигнал; где n0 -
выходной сигнал
Рис. 1.2 - 1 этап
Рис. 1.3 - 2 этап
Рис. 1.4 - 3 этап
Рис. 1.5 - Преобразование структурной схемы к
простейшему виду
Задача №2
Построение динамических моделей типовых
регуляторов оборотов ГТД
. Типовая принципиальная схема САР оборотов ГТД
выбирается по последней цифре шифра в соответствии с таблицей 2.1 [1].
Последняя цифра шифра 8. Имеем по заданию изодромный регулятор.
Рис. 2.1 - Изодромный регулятор
. Функциональная схема изодромного регулятора на
рис.6.
Рис. 2.2 - Для функциональной схемы: x1- входной
сигнал (либо n0), x2- выходной сигнал (либо n)
Для каждого элемента функциональной схемы
записываем уравнение динамики и передаточной функции. В уравнениях динамики
переменные должны соответствовать входным и выходным величинам, показанным на
структурной схеме. Уравнения динамики типовых звеньев сведены в таблицу 2.2
[1].
Таблица 2.1
№
|
Название
звена
|
Уравнения
динамики
|
1.
|
Чувствительный
элемент (ЧЭ)
|
|
2.
|
Преобразующий
элемент (ПЭ)
|
|
3.
|
Гидравлический
усилитель без обратной связи (УЭ)
|
|
4.
|
|
5.
|
Регулирующий
орган (РО)
|
|
6.
|
Объект
регулирования
|
|
. Структурная схема. Используя, данные таблицы
2.2 запишем передаточные функции типовых звеньев. Передаточная функция для
типового звена, описываемого дифференциальным уравнением выводится с помощью
формулы (1)
(1)
Передаточные функции типовых звеньев
представлены в таблице 2.2
Таблица 2.2
№
|
Название
звена
|
Обозначение
передаточной функции
|
Передаточные
функции отдельных звеньев
|
1.
|
Чувствительный
элемент (ЧЭ)
|
W1(p)
|
|
2.
|
Преобразующий
элемент (ПЭ)
|
W2(p)
|
kп
|
3.
|
Гидравлический
усилитель без обратной связи (УЭ)
|
W3(p)
|
|
4.
|
Корректирующее
звено (КЗ): Гибкая обратная связь (ГОС)
|
W4(p)
|
|
5.
|
Регулирующий
орган (РО)
|
W5(p)
|
kp
|
6.
|
Объект
регулирования
|
W6(p)
|
|
Структурная схема будет иметь вид:
Рис. 2.3 - Структурная схема
Используя правила преобразования структурных
схем, находим передаточные функции замкнутой и разомкнутой систем регулирования.
Передаточная функция разомкнутой САР будет иметь
вид
Передаточная функция замкнутой САР
будет иметь вид
Уравнения динамики замкнутой и разомкнутой САР в
форме обыкновенных линейных дифференциальных уравнений.
Дифференциальное уравнение разомкнутой САР в
общем виде
где А5=
А4=
А3=
А2=
А1=
А0=
В1=
Дифференциальное уравнение замкнутой САР в общем
виде
где А5=, А4=
А3=
А2=
А1=
А0=
В1=
В0=
По таблице 2.3. и 2.4. [1] значения
постоянных коэффициентов (времени и усиления) подставляем в уравнения динамики
САР и оцениваем устойчивость. Устойчивость целесообразно оценивать по
алгебраическим критериям. Численные значения коэффициентов уравнений
Предпоследняя
цифра шифра
|
|
|
|
|
|
4
|
0,8
|
1,6
|
1,3
|
1,5
|
14
|
Численные значения коэффициентов уравнений
Таблица 2.4
Последняя
цифра шифра
|
|
|
|
|
|
|
8
|
1,2
|
0,4
|
6,3
|
0,7
|
0,4
|
1,3
|
С учетом данных по таблицам 2.3 и 2.4
коэффициенты в дифференциальных уравнениях будут равны:
для разомкнутой САР
А5
|
2,4192
|
A4=
|
11,2704
|
A3=
|
45,072
|
A2=
|
70,888
|
A1=
|
45,44
|
A0=
|
5,6
|
B1=
|
9,9372
|
B0=
|
24,843
|
для замкнутой САР
А5=2,4192
|
|
A4=
|
11,2704
|
A3=
|
45,072
|
A2=
|
70,888
|
A1=
|
55,3772
|
A0=
|
30,443
|
B1=
|
9,9372
|
B0=
|
24,843
|
Проведем оценку устойчивости разомкнутой системы
САР с помощью алгебраических критериев Рауса и Гурвица. Раус и Гурвиц показали,
что САУ (система автоматического управления) или САР, описываемая
характеристическим уравнением четвертого порядка
,
будет устойчива, если помимо
положительности коэффициентов, то есть Аn>O , будут выполняться неравенства
вида
.
.
В нашем случае имеем для разомкнутой
САУ следующее дифференциальное уравнение в операторном виде
Проверим неравенства
336,49
|
>
0
|
условие
выполняется
|
750364,1
|
>
0
|
|
условие
выполняется, т.о. САУ устойчива
|
Задача №3
Оценка устойчивости разомкнутых и замкнутых САР
Оценить устойчивость работы систем
автоматического управления авиационных ГТД.
Выбор вариантов - по трем последним цифрам шифра
зачетной книжки.
Исходные данные:
Коэффициенты уравнения динамики чувствительного
элемента (ЧЭ) выбираются по таблице 3.1. по последней цифре шифра (8)
= 1,83; 0,22; 0,95
Коэффициенты уравнения динамики
преобразующего элемента (ПЭ) и регулирующего органа выбираются по таблице 3.2.
по предпоследней цифре шифра (4)
1; 0,8
Коэффициенты уравнения динамики ГТД
объекта регулирования (ОР) выбираются по третьей с конца номера зачетной книжки
в соответствии с таблицей 3.3. (3)
= 0,37; 1,0
. Используя функциональную схему
(рис. 3.1) и структурную схему (рис.3.2), запишем уравнение динамики
разомкнутой и замкнутой систем автоматического регулирования в общем виде
В написании передаточной функции ЧЭ
есть ошибка, поэтому рис.3.2 приводим с исправлением: вместо записываем .
Рис. 3.1 - Функциональная схема
регулятора оборотов двигателя ГТД
Рис. 3.2 - Структурная схема
регулятора оборотов ГТД
Уравнение динамики разомкнутой САУ в
общем виде будет иметь вид:
Уравнение динамики замкнутой САУ в общем виде
будет иметь вид:
. С учетом исходных данных,
выбранных по таблицам 3.1-3.3, запишем уравнения динамики в виде линейного
дифференциального уравнения с известными уравнениями для разомкнутой и
замкнутой САУ.
Конечная задача исследования
устойчивости любой САУ состоит в получении обобщенного дифференциального
уравнения системы, характеризующего протекание в ней динамических процессов.
Одним из возможных путей получения такого уравнения САУ является совместное
решение системы дифференциальных уравнений типовых звеньев, из которых состоит
рассматриваемая система уравнений.
Для разомкнутой
с учетом подстановок и
преобразований
Дифференциальное уравнение
разомкнутой САУ будет иметь вид
Для замкнутой САУ
с учетом подстановок и
преобразований
Дифференциальное уравнение замкнутой
САУ будет иметь вид
. Оценка устойчивости разомкнутой
системы с помощью алгебраических критериев Рауса и Гурвица
Устойчивой называется такая САУ,
которая, будучи, выведенной из состояния равновесия, после устранения внешних
воздействий возвращается к исходному состоянию равновесия. Оценить устойчивость
САУ можно с помощью специальных критериев устойчивости, которые представляют
собой некоторую совокупность алгебраических действий, в результате которых
определяются знаки корней характеристического уравнения системы. Примером
критерии устойчивости является критерий Рауса - Гурвица. Раус и Гурвиц
показали, что САУ, описываемая характеристическим уравнением
автоматический
регулирование система
,
будет устойчива, если при Аn>O все «n»
определители Гурвица (Δn) будут
положительны, т.е.
и т.д.
Произведем оценку по данному
критерию устойчивости
.
Составим определитель Гурвица Δ
Определим все диагностические миноры
1=0,59
0,451
0,305
Т.о. САУ по критерию Рауса -Гурвица
устойчива, т.к. А3= 0,6771>0 и все диагональные миноры положительны.
Считается, что САУ теряет свою
устойчивость, когда хотя бы один числовой коэффициент будет отрицательным.
Найдем критическое значение коэффициента А3 , начиная с которого, т.е. при
А3> Акр данная САУ теряет свою устойчивость.
А1А2-А3А0=0 - САУ на границе
устойчивости.
А3=Акр;
А1А2=АкрА0; Акр =А1А2/А0, Акр = 0,59∙
1,91 /1 =1,128
Т.о., начиная с А3³ 1,128 САУ,
теряет свою устойчивость.
. Устойчивость САУ можно, также,
оценить с помощью графоаналитического критерия А.В. Михайлова. С этой целью
необходимо в характеристическом уравнении системы заменить оператор Р на чисто
мнимое выражениеw, где w- угловая частота. Полученный
многочлен можно считать вектором, модуль и направление которого будут
определяться значением частоты w
(jw)=X(w)+jY(w),
Где X(w)- вещественная часть;(w) мнимая часть.
Для того, чтобы САУ была устойчива,
необходимо и достаточно, чтобы вектор F(jw)
брал начало на положительной вещественной оси X(w) при w=0
в т.А0 и затем монотонно вращался при изменении w от 0 до ¥
в положительном направлении, т.е. против часовой стрелки, совершая поворот на
угол “n” квадранта.
Годограф вектора F(jw), т.е. кривая, которую
описывает конец вектора называется кривой Михайлова при изменении w от 0 до ¥, выходит из точки А0 и
обходит последовательно в положительном направлении “n” квадрантов, где n -
показатель степени характеристического уравнения системы.
Оценим устойчивость САУ с помощью
частотного критерия Михайлова А.В.
Р заменим на jw.
(jw)=А3 (jw)3+
А2 (jw)2 +А1 (jw)+ А0(jw)= 0,6771 (jw)3+1,91 (jw)2 +0,59 (jw)+1;(jw)=X(w)+jY(w) Þ X(w)=-1,91 w2 +1(w)=j(-0,6771 w3+0,59 w)
Зададимся рядом чисел w
w
|
0
|
0,5
|
1
|
2
|
X(w)
|
1
|
0,52215
|
-0,9114
|
jY(w)
|
0
|
0,210363
|
-0,0871
|
-4,2368
|
Рис. 3.3
Мы построили кривую Михайлова на комплексной
плоскости, для чего отложили две оси - вещественную X(w)
и мнимую jY(w).
Таким образом, САУ устойчива, так как вектор F(
jw)
берет начало при w=0 на положительной вещественной оси
X(w)
в т. А0= (1;0) , далее вращается против часовой стрелки при изменении w
от 0 до ¥,
совершая поворот на 3 квадранта.
. Несколько особое место среди критериев
устойчивости САУ занимает критерий Найквиста- Михайлова. Этот критерий позволяет
судить об устойчивости замкнутой по АФЧХ разомкнутой САУ, которая может быть
получена расчетным путем с использованием передаточной функции системы.
При построении АФЧХ разомкнутой АСУ вначале
следует по известному дифференциальному уравнению этой системы получить
выражение ее передаточной Wсау (Р). Далее необходимо оператор Р заменить на
мнимое выражение jw
(P)=M(w)+jN(w).
Конец вектора W (Р) при изменении w
от 0 до ¥
будет описывать кривую, которая совпадает с АФЧХ системы. Критерий Найквиста
гласит: для того, чтобы АСУ, устойчивая в разомкнутом состоянии, была
устойчивой и в замкнутом состоянии, необходимо и достаточно, чтобы годограф
вектора АФЧХ W(jw) не охватывал точку с координатой
(-1;0) на вещественной оси.
Оценим устойчивость замкнутой САУ с помощью
критерия Найквиста, причем А3 кр=0,5 Акр=0,5∙1,128 = 0,563
W (Р)=
Вместо Р подставим jw
(*)
Домножим уравнение (*) на
сопряженный многочлен и после преобразований
Получим вид передаточной функции с учетом
разложения на действительную и мнимую часть
(P)=M(w)+jN(w),
M(w)=;(w)=.
Зададимся рядом чисел w
w
|
0
|
0,1
|
0,2
|
0,3
|
0,4
|
0,5
|
0,6
|
0,7
|
0,8
|
0,9
|
1
|
1,1
|
1,2
|
1,3
|
M(w)
|
0,7547
|
0,7665
|
0,8041
|
0,8754
|
0,9972
|
1,2015
|
1,4969
|
0,8204
|
-1,8790
|
-1,2985
|
-0,8288
|
-0,5748
|
-0,4241
|
-0,3266
|
jN(w)
|
0
|
-0,0457
|
-0,0988
|
-0,1710
|
-0,2872
|
-0,5165
|
-1,1136
|
-2,8142
|
-1,5524
|
-0,2862
|
-0,0246
|
0,0440
|
0,0642
|
0,0689
|
Построим вектор АФЧХ
Т.о. САУ устойчива, т. к. годограф вектора АФЧХ
разомкнутой системы при изменении w от 0 до ¥
не охватывает точку с координатой (-1;0) на вещественной оси.
Вывод: в завершении выполненного задания можно
подвести итог, что рассматриваемая САУ устойчива - о чем свидетельствуют
аналитический критерий Рауса - Гурвица и частотные критерии Михайлова А.В., а
также критерий Найквиста- Михайлова.
Литература
1. В.В.
Никонов. Основы автоматики. Пособие по выполнению контрольной работы.: М.: МГТУ
ГА, 2005 г. - 32 с.
2. Черкасов
Б.А. Автоматика и регулирование воздушно-реактивных двигателей. М.:
Машиностроение, 1988 г.
. Шевяков
А.А. Системы автоматического управления авиационными воздушно-реактивными
силовыми установками. М., 1992 г.
. Гаевский
С.А., Морозов Ф.П., Тихомиров Ю.П. Автоматика авиационных газотурбинных силовых
установок. М.: Военное издательство МО СССР, 1980, 248 с.