Аннуитеты. Понятие и разновидности

Аннуитеты. Понятие и разновидности

Аннуитеты. Понятие и разновидности

Денежный поток с равными интервалами и равными поступлениями денежных средств называется финансовой рентой, или аннуитетом. Различают срочные и бессрочные аннуитеты. По моменту поступления денежных средств в выбранном интервале времени срочные и бессрочные аннуитеты могут быть как потоками пренумерандо, так и потоками постнумерандо. При этом каждый из срочных аннуитетов может рассчитываться как по схеме наращения, так и по схеме дисконтирования.

Классификацию аннуитетов наглядно иллюстрирует рисунок.

Под срочным аннуитетом понимается денежный поток с поступлениями в течение ограниченного времени (срочный денежный поток) с равными по величине поступлениями денежных средств через равные промежутки времени. По моменту поступления денежных средств различают срочные аннуитеты пренумерандо и постнумерандо.

Срочный аннуитет постнумерандо можно рассчитать как по схеме наращения, так и по схеме дисконтирования.

Формула оценки срочного аннуитета постнумерандо по схеме наращения имеет следующий вид:

FVpst = PV (1 + r)n-1 + PV (1 + r)n - 2 + ... + PV (1 + r) + PV

Срочный аннуитет пренумерандо можно рассчитать как по схеме наращения, так и по схеме дисконтирования.

Формула оценки срочного аннуитета пренумерандо по схеме наращения имеет следующий вид:

FVpre=FVpst(l+ r) = PV [(1 +r)n- 1] (1 + r)/r.

Формула оценки срочного аннуитета пренумерандо по схеме дисконтирования имеет следующий вид:

PVpre = PVpst(l + r) = FV [1 - (1+r)-n ] (1 + r) / r.

Под бессрочным аннуитетом (вечная рента) понимается денежный поток с равными по величине поступлениями денежных средств в течение длительного срока через равные интервалы времени. Примером бессрочного аннуитета являются консоли (консолидированная рента) - долгосрочные государственные облигации со сроком обращения, превышающим 30 лет.

В случае бессрочного аннуитета поток равных платежей через равные интервалы в течение длительного периода времени рассматривается как бесконечный. При этом подразумевается, что в рамках выбранного интервала осуществляется только один платеж. В этой связи бессрочный аннуитет математически можно представить как бесконечность (n -> ∞) или как бесконечно убывающую геометрическую прогрессию.

Бессрочный аннуитет (как разновидность денежного потока) можно классифицировать по моменту поступлений в выбранном интервале времени на потоки пренумерандо и постнумерандо. Однако, в отличие от других денежных потоков, которые можно рассчитывать как по схеме наращения, так и дисконтирования, оценка бессрочного аннуитета способом наращения не имеет смысла, так как поток стремится к бесконечности и нельзя определить п. Поэтому единственным способом остается обратный способ (способ дисконтирования).

При этом сначала рассчитывается приведенная стоимость бессрочного аннуитета постнумерандо, а затем с его помощью приведенная стоимость бессрочного аннуитета пренумерандо. Классификация способов оценки бессрочных аннуитетов приведена в таблице.

Способы оценки бессрочных аннуитетов

Формула оценки бессрочного аннуитета постнумерандо по схеме дисконтирования имеет следующий вид:

=A/r

где А - одно денежное поступление за выбранный временной интервал.

Данная формула показывает, что приведенную стоимость можно рассчитать даже для денежного потока с неограниченным количеством платежей. Так, при сроке аннуитета, превышающем 50 лет, и процентной ставке, равной 10%, разница между значениями коэффициентов дисконтирования незначительная. Чем выше значение процентной ставки, тем меньше срок, при превышении которого разница между значениями коэффициента дисконтирования становится несущественной.

Формула оценки бессрочного аннуитета пренумерандо по схеме дисконтирования имеет следующий вид:

= PVprs + A

где PVpre - поток пренумерандо;- поток постнумерандо;

А - величина первого платежа.

Как следует из данной формулы, приведенная стоимость бессрочного аннуитета пренумерандо превышает приведенную стоимость бессрочного аннуитета постнумерандо на величину первого платежа.

денежный аннуитет дисконтирование платеж

Задача №1

Вексель номиналом 200 тыс. руб. предъявлен к учету 1 апреля , срок погашения 10 октября . Определить доход банка, если его учетная ставка 20%.

Решение:

Р=200000(1-0.2*(180+10/360))= 200000(1-0.11)=200000*0.89=178000

I=F-P=200000-178000=22000

Ответ: Доход банка будет составлять 22000 руб.

Задача №2

Инвестору предложено приобрести объект недвижимости, который в течении следующих 5 лет будет приносить по 200 тыс. руб.В конце 5 года объект может быть продан за 2 млн. руб., %-ная ставка по годам 12%-1 год; 10%-2; 11%-3; 11%-4;12%-5, для реверсии 20%. В 1и 2 год % начисляют по полугодиям.

Определить текущую стоимость объекта и будущих доходов.

Решение:

Р1=200000/(1+0.12/2)^2=200000/1.12=178571.43

P2= 200000/(1+0.1/2)^4=200000/1.22= 163934.43

P3=200000/(1+0.11)^3= 200000/1.37= 145985.4

P4= 200000/(1+0.11)^4=200000/1.51=132450.33

P5=200000/(1+0.12)^5=200000/1.76=113636.36

P=2000000/(1+0.2)^5=2000000/2.49=803212.8

P1+P2+P3+P4+P5+P=1537790.15

Ответ: Текущая стоимость объекта будет составлять 803212.8 руб., будущие доходы будут составлять 1537790.15 руб.

Задача №3

Студентка заочного отделения БУАиА выигрывает лотерею 50 тыс. руб., открыла депозит на 3 года под 20% годовых.

Сколько ежегодно должен откладывать супруг чтобы к концу 3 года приобрести автомобиль за 500 тыс.руб.

Решение

1) F=50*(1+0.2)^3=50*1.728=86.4

) 500-86.4=413.6

) 413.6=A*(1.728-1/0.2)=A*3.64

) A=413.6/3.64=113,63

Ответ: 113.63 тыс. руб.нужно откладывать ежегодно в течении 3-х лет.

Задача №4

В банке получен кредит 200 тыс. руб. на 5 лет под 13% начисляемых на непогашенный остаток долга. Возвращать нужно равными частями в конце года. Определите: Величину годового платежа (А); Состав платежей по методу депозитной книжки.

Решение

)(1-(1+0.13)^-5)/0.13=0.46/0.13=3.54

А=200тыс. руб./3.54=56.5

Остаток долга на начало периода

Ежегодный платеж

ВТЧ

Остаток долга на конец периода

%

Основной долг

1

200 тыс. руб.

56.5

26

30.5

169.5

2

169.5

56.5

22

34.5

135

3

135

56.5

17.6

38.9

96.1

4

96.1

56.5

12.5

44

52

5

52

58.8

6.8

52

0