Графическое отображение объектов и процессов при их проектировании в промышленности и строительстве
ПРИДНЕСТРОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ
ИМ. Т.Г. ШЕВЧЕНКО
ИНЖЕНЕРНО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
Отделение "Промышленные
технологии"
НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Методическое пособие
по выполнению графических работ.
Для студентов очной формы обучения
специальности
"Механизация сельского
хозяйства"
Рецензенты: Боунегру Т.В., старший преподаватель ПГУ,
Войкин В.Н., начальник КБ ОАО "Литмаш"
Рыбалова Т.Ф., Юсюз В.П. - методическое пособие по выполнению
расчетно-графических работ по дисциплине "Начертательная геометрия"
для студентов АТФ и ИТИ, обучающихся по направлению "Механизация сельского
хозяйства" и "Технология машиностроения". Тирасполь, 2008г., 4,3
п. л, иллюстрации.
Данное методическое пособие разработано для студентов второго
курса дневного факультета АТФ специальности "Механизация сельского
хозяйства" и предназначено для практической проработки курса
"Начертательная геометрия". Оно включает в себя 7 разделов, 6 из
которых - это примеры выполнения расчетно-графических работ. Каждый из этих
разделов состоит из подразделов, одним из которых является теоретический. Он
поможет студентам самостоятельно разобраться при решении задач по темам, так
как в нем указывается последовательность графических построений
("алгоритмы решения задач").
Методическое пособие содержит общие требования к выполнению
расчетно-графических работ, а также требования к их оформлению, задания по
вариантам и контрольные вопросы, необходимые для защиты работ.
Обозначения, терминология и символика, используемая в данных
методических указаниях, соответствуют приводимым в лекционном курсе и в
рекомендуемой литературе.
Методическое пособие дает возможность в наименьшие сроки
выполнить работы, а также глубже подготовиться к сдаче экзамена и тем самым
значительно повысить уровень геометрической и конструкторской подготовки
будущего инженера.
Рекомендовано к изданию методической комиссией и методическим
советом ПГУ им. Т.Г. Шевченко, протокол № от _____________________.
© Авторы:
Рыбалова Т.Ф.
Юсюз В.П.
Содержание
Введение
1. Общие требования и рекомендации к выполнению графических работ
2. Расчетно-графическая работа по теме "Комплексный чертеж
плоскости"
2.1 Задание
2.2 Теоретический раздел
2.2.1 Построение следов плоскости
2.2.2 Определение угла наклона плоскости к плоскостям П1 и
П2
2.2.3 Определение натуральной величины треугольника методом
вращения
2.3 Указания к выполнению задания
2.4 Контрольные вопросы
3. Расчетно-графическая работа по теме "Взаимное пересечение
плоскостей"
3.1 Задание
3.2 Теоретический раздел
3.2.1 Пересечение прямой линии с плоскостью
3.2.2 Определение видимости геометрических элементов способом
конкурирующих точек
3.2.3 Пересечение двух плоскостей произвольного положения
3.2.4 Пересечение плоскости с многогранником
3.3 Указания к выполнению задания (образец выполнения работы смотри
в приложении Ж)
3.4 Контрольные вопросы
4. Расчетно-графическая работа по теме "Взаимная
перпендикулярность и параллельность прямых и плоскостей"
4.1 Содержание работы
4.2 Теоретический раздел работы
4.2.1 Определение расстояния от точки до плоскости
4.2.2 Параллельность плоскостей
4.3 Указания к выполнению задания
4.4 Контрольные вопросы
5. Расчетно-графическая работа № 5 "Сечение поверхности сферы
плоскостями"
5.2 Теоретический раздел
5.2.1 Сечение сферы плоскостью
5.3 Указания к выполнению РГР5
5.4 Контрольные вопросы
6. Расчетно-графическая работа № 6 "Взаимное пересечение
поверхностей"
6.2 Теоретический раздел
6.2.1 Построение линий пересечения поверхности с помощью
вспомогательных секущих плоскостей
6.2.2 Построение линий пересечения поверхностей с помощью
вспомогательных сферических поверхностей
6.3 Указания к выполнению работы
6.4 Контрольные вопросы
7. Расчетно-графическая работа №7"Аксонометрические
проекции"
7.1 Аксонометрическая проекция точки и прямой
7.2 Аксонометрические проекции плоских фигур и геометрических тел
7.3 Прямоугольная изометрическая проекция окружности
7.4 Изометрия шара (рисунок 7.10)
7.5 Указания к выполнению задания
7.6 Контрольные вопросы
Литература
Приложения
Введение
Изучение в технических вузах фундаментальных математических
наук имеет первостепенное значение в формировании будущего инженера, так как
они дают будущему специалисту необходимые знания для решения инженерных задач.
Начертательная геометрия, как прикладная математическая наука
находит особо большое применение в конструкторской практике, где
рассматривается большой комплекс технических задач с широким использованием
математического аппарата. Начертательная геометрия является тем разделом
геометрии, который изучает теоретические основы методов построений изображений
(проекций) геометрических фигур на какой-либо поверхности и способы решения
различных позиционных и метрических задач, относящихся к этим фигурам, при
помощи их изображений.
Начертательная геометрия является грамматикой "языка
техники" (чертежа), построенного по определенным геометрическим правилам.
Чертеж - это своеобразный язык, с помощью которого, используя лишь точки, линии
и ограниченное число геометрических знаков букв и цифр, человек имеет
возможность изобразить на поверхности (в частности на плоскости) геометрические
фигуры или их сочетания (машины, приборы, инженерные сооружения и т.д.) Причем
этот графический язык является интернациональным, понятным любому технически
грамотному человеку, независимо от того, на каком языке он говорит.
Начертательная геометрия служит наилучшим средством развития
у человека его пространственного воображения, без которого немыслимо никакое
творчество.
Задача этой науки - создание оптимальных геометрических форм
объектов машиностроения, архитектуры и строительства, разработка геометрических
основ их воспроизведения в процессе производства, оптимизация технологических
процессов на основе их геометрических моделей, разработка теории графического
отображения объектов и процессов при их проектировании в промышленности и
строительстве.
1. Общие
требования и рекомендации к выполнению графических работ
Каждый студент при изучении курса "Начертательная
геометрия" должен выполнить расчетно-графические работы (работы),
состоящие из нескольких типовых задач различных разделов курса. Работа
выполняется по вариантам, варианты задания выдаются преподавателем. Целью
каждого задания - закрепление знаний студентов по основным разделам курса и
возможность приобрести определенные практические навыки в решении позиционных и
метрических задач. Перечень работ смотри приложение А.
Прежде чем приступить к выполнения работы, необходимо
ознакомиться с лекционным материалом и с краткими пояснениями решений
геометрических задач и графических построений практикума.
Все работы выполняются на листах чертежной бумаги формата А3
(297*420).
Изображения графических элементов, указанных в условии задач,
рекомендуется выполнять в масштабе 1: 1.
Все построения должны быть выполнены чертежным инструментом,
тип и толщины линий должны соответствовать ГОСТ 2.303. Смотри приложение Б. При
этом толщину сплошной толстой основной линии, применяемой для изображения линии
видимого контура, видимых линий пересечения, линий входящих в графическую часть
определителя поверхности, рекомендуется выполнять для данных работ толщиной S= (0,8 - 1,0) мм. Линии
невидимого контура и невидимые линии пересечения поверхности выполнять толщиной
S/2. Линии проекционной связи, вспомогательные линии построения, осевые, линии
симметрии - толщиной S/3. (В данных работах разрешается результат конечного
построения выполнять цветными карандашами, элементы геометрических фигур
покрывать бледными тонами или наносить штриховку).
начертательная геометрия аксонометрическая проекция
Изображение всех точек, используемых для выполнения чертежей,
а также промежуточные результаты построений должны быть выполнены в виде
окружности, диаметр которых больше S.
Наименование точек следует выполнять заглавными
буквами латинского алфавита (А; В; С…) или арабскими цифрами (1; 2; 3 …), линий
- заглавными буквами греческого алфавита (А; В; Г; Δ…Ω), а проекции, указанных выше элементов - этими же знаками с
соответствующим подстрочным индексом. Например: А → П1 =А1;
А → П2 = А2; А → П3 = А3
Наименование и правописание букв латинского и греческого
алфавитов смотри в приложении Б
Буквенные обозначения, цифры, буквы и другие надписи
необходимо выполнять шрифтом №5 или №7 в соответствии с ГОСТ 2.304. Смотри
приложение В
На чертежах необходимо сохранять те построения, которые дают
возможность проверки правильности решения задачи и контроля графической
точности построений.
В правом нижнем углу чертежа должна быть выполнена основная
надпись по ГОСТ 2.104. В графе обозначение (в учебных целях) должна быть
выполнена запись по типу: НГ. РГР№2.600521.08, где НГ - дисциплина
"Начертательная геометрия", РГР№2 - номер очередной работы, 600521 -
номер зачетной книжки, 08 - номер варианта.
В графе наименование записываем наименование графической
работы взятые из приложения А
Каждое задание рассматривается и принимается преподавателем
по бальной системе.
Выполненные работы студент должен хранить у себя и в конце
семестра зачтенные (положительно оцененные) расчетно-графические работы
сброшюровываются в альбом размером 297*420, первым листом которого должен быть
титульный лист. Как выполнять титульный лист смотри методическое пособие
"Шрифты чертежные" (разработка кафедры ТМС). Образец титульного листа
в приложении Г. Альбом предъявляется на зачете, а затем во время сдачи
экзамена.
В случае невыполнения установленного количества графических
работ студент не допускается к сдаче экзамена по "Начертательной
геометрии".
Терминологию и обозначения используемую в данных методических
указаниях смотри в приложении Д.
2.
Расчетно-графическая работа по теме "Комплексный чертеж плоскости"
Целью данной работы является изучение способа
ортогонального проецирования точек, отрезков прямых линий и плоских фигур.
Построение плоскости общего положения, главных линий плоскости, следов
плоскости. Определение натуральной величины отрезка и плоской фигуры.
2.1 Задание
Для плоскости Σ, заданной треугольником
АВС:
построить проекции следов плоскости Σ (АВС);
определить углы φ и ω наклона плоскости Σ (АВС) к плоскостям
проекций Π1 и Π2;
поворотом вокруг горизонтали или фронтали определить
натуральную величину треугольника АВС.
Координаты точек А, В и С выбираем из таблицы 2.1 по
вариантам. Образец выполнения работы смотри в приложении Е.
Таблица 2.1 - координаты точек. В миллиметрах
№ варианта
|
А
|
В
|
С
|
|
x
|
y
|
z
|
x
|
y
|
z
|
x
|
y
|
z
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
1
|
68
|
130
|
31
|
30
|
54
|
145
|
220
|
13
|
18
|
2
|
190
|
58
|
82
|
108
|
29
|
42
|
162
|
97
|
13
|
3
|
150
|
50
|
17
|
93
|
37
|
80
|
50
|
130
|
10
|
4
|
153
|
13
|
156
|
230
|
98
|
38
|
68
|
25
|
11
|
5
|
98
|
156
|
23
|
20
|
38
|
162
|
183
|
11
|
41
|
6
|
114
|
82
|
18
|
35
|
20
|
136
|
198
|
7
|
34
|
7
|
197
|
31
|
130
|
234
|
145
|
54
|
44
|
18
|
13
|
8
|
160
|
140
|
12
|
72
|
30
|
30
|
232
|
15
|
177
|
9
|
68
|
22
|
75
|
27
|
150
|
6
|
122
|
30
|
44
|
10
|
14
|
162
|
13
|
85
|
25
|
119
|
188
|
25
|
21
|
11
|
163
|
23
|
156
|
240
|
162
|
38
|
78
|
41
|
11
|
12
|
111
|
156
|
10
|
33
|
38
|
70
|
195
|
11
|
18
|
13
|
90
|
12
|
140
|
178
|
30
|
30
|
18
|
177
|
15
|
14
|
77
|
82
|
58
|
160
|
42
|
30
|
105
|
13
|
97
|
15
|
150
|
18
|
82
|
229
|
136
|
20
|
65
|
34
|
7
|
16
|
115
|
131
|
18
|
35
|
33
|
136
|
198
|
12
|
34
|
17
|
251
|
13
|
162
|
180
|
119
|
25
|
72
|
21
|
25
|
18
|
108
|
160
|
18
|
29
|
40
|
136
|
192
|
15
|
34
|
19
|
105
|
156
|
13
|
27
|
38
|
98
|
190
|
11
|
25
|
20
|
153
|
10
|
156
|
230
|
70
|
38
|
68
|
18
|
11
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
22
|
105
|
18
|
50
|
162
|
80
|
37
|
205
|
10
|
130
|
23
|
150
|
18
|
160
|
229
|
136
|
40
|
65
|
34
|
15
|
183
|
97
|
8
|
227
|
14
|
92
|
91
|
28
|
10
|
25
|
157
|
18
|
130
|
235
|
136
|
33
|
73
|
34
|
12
|
26
|
87
|
8
|
122
|
63
|
92
|
18
|
180
|
10
|
35
|
27
|
68
|
48
|
75
|
40
|
220
|
40
|
122
|
66
|
14
|
28
|
170
|
122
|
8
|
214
|
18
|
92
|
78
|
35
|
10
|
29
|
104
|
18
|
50
|
161
|
80
|
37
|
204
|
10
|
130
|
30
|
68
|
32
|
75
|
40
|
141
|
40
|
122
|
42
|
14
|
2.2
Теоретический раздел
2.2.1
Построение следов плоскости
Для построения следов плоскости достаточно определить следы
двух прямых линий (отрезков), принадлежащих этой плоскости. Рассмотрим
построение следов прямой g на эпюре Монжа (смотри рисунок 2.1). Для решения
этой задачи пользуемся следующим алгоритмом: чтобы найти горизонтальный
след М прямой g сначала необходимо найти его фронтальную проекцию М2
как точку пересечения фронтальной проекции g2 прямой g с осью;
недостающая горизонтальная проекция М1 совпадает с горизонтальным следом
прямой g, то есть М≡М1; для нахождения фронтального следа N
прямой сначала находим его горизонтальную проекцию N1, как точку
пересечения горизонтальной проекции прямой g с осью; недостающая фронтальная
проекция N2 совпадает с фронтальным следом N, то есть N ≡ N2
Рисунок 2.1
2.2.2
Определение угла наклона плоскости к плоскостям П1 и П2
Прямые линии наибольшего наклона плоскости к плоскостям
проекций П1 и П2 перпендикулярны соответственно
горизонталям или фронталям этой плоскости. Рассмотрим случай определения угла
наклона плоскости Σ, заданной прямой а и
точкой С к горизонтальной плоскости проекций. Прямой угол, составленный линией
наибольшего ската плоскости с ее горизонталью проецируется на горизонтальную
плоскость проекций П1 без искажений. Для решения данной задачи
(смотри рисунок 2.2):
проведем через точку С горизонталь h (h1, h2);
из любой точки, принадлежащей прямой а, восстанавливаем
перпендикуляр к горизонтали h. Получаем А1К1 и А2К2
проекции перпендикуляра (А1К1 ┴ h);
натуральную величину отрезка АК и угол его наклона к
плоскости П1 находим по методу треугольника (смотри рисунок 2.2).
Рисунок 2.2
Как найти угол наклона плоскости к фронтальной плоскости
проекций смотри на рисунке 2.3
Рисунок 2.3
2.2.3
Определение натуральной величины треугольника методом вращения
При решении метрических задач связанных с определением
истинных размеров изображенных на эпюре (комплексном чертеже) фигур, могут
встретиться значительные трудности, если заданные проекции не подвергнуть
специальным преобразованиям. Для этой цели обычно применяют один из двух
способов: вращения или замены плоскостей проекций. Для решения задачи по
определению натуральной величины треугольника воспользуемся способом вращения
его вокруг одной оси. Если задаться целью: одним поворотом расположить
треугольник параллельно плоскости П1, то за ось вращения следует
принимать такую в плоскости треугольника, которая еще до вращения была бы
параллельна горизонтальной плоскости проекций, то есть одну из ее горизонталей
(смотри рисунок 2.4).
Рисунок 2.4
Построения выполняются в следующей последовательности:
через точку С проведем горизонталь h (h2║
х1,2);
из точек А1 и В1 восстанавливаем
перпендикуляры к h1;
строим проекции радиуса вращения одной из них (например А),
это будут проекции А1О1 и А2О2;
по двум проекциям определяем истинную величину радиуса
вращения RА. В настоящем примере радиус определен методом вращения (его
также можно определить методом треугольника);
отрезок RА откладываем от точки О вдоль той
прямой, по которой перемещается горизонтальная проекция вершины А;
через полученную точку и неподвижную D1 проводим прямую до пересечения с
прямой, по которой перемещается горизонтальная проекция вершины В и на их
пересечении отмечаем точку ;
соединяя найденные точки и друг с другом и с неподвижной вершиной С1,
получаем горизонтальную проекцию треугольника. Эта проекция определяет
натуральную величину треугольника АВС;
фронтальная проекция треугольника окажется преобразованной в
прямую линию, совпадающую с С2D2.
2.3 Указания к
выполнению задания
Указания к выполнению задания по координатам точек А,
В и С, взятым с таблицы 2.1 по вариантам, изображаем комплексный чертеж
плоскости Σ (АВС), при этом выбираем ось х, начало
координат и масштаб так, чтобы изображение заняло большую часть поля чертежа
(смотри приложение Е);
для построения следов плоскости Σ (АВС) находим горизонтальные и фронтальные следы двух прямых
(отрезков) плоскости Σ. В нашем примере
выбираем отрезки СВ и СА. Как определить следы прямых смотри теоретический раздел
2.2.1;
найдя горизонтальные и фронтальные следы двух прямых,
соединяем одноименные прямой и получаем следы плоскости;
определяем углы наклона плоскости Σ (АВС) к плоскостям П1 и П2 (смотри раздел
2.2.2). В нашем примере горизонталь и фронталь проведены через точку А.
2.4
Контрольные вопросы
Что мы называем следом плоскости и как его определить на
комплексном чертеже.
Как определить углы наклона плоскости к плоскостям проекций.
Определение натуральной величины треугольника методом
вращения.
3. Расчетно-графическая
работа по теме "Взаимное пересечение плоскостей"
Цель работы: приобрести навыки в решении позиционных
задач на точку, прямую и плоскость. Научиться строить точки пересечения прямой
общего положения с плоскостью и определять видимость геометрических элементов
способом конкурирующих точек.
3.1 Задание
Найти линию пересечения призмы плоскостью. (Призма задана
координатами точек К, L, M, N и плоскость сигма задана координатами точек А, В,
С). Координаты точек выбираем из таблицы 3.1.
Таблица 3.1 - Координаты точек. В миллиметрах
№ вар
|
A
|
B
|
C
|
K
|
L
|
M
|
N
|
|
x
|
y
|
z
|
x
|
y
|
z
|
x
|
y
|
z
|
x
|
y
|
z
|
x
|
y
|
z
|
x
|
y
|
z
|
x
|
y
|
z
|
1
|
240
|
6
|
150
|
0
|
80
|
120
|
200
|
175
|
0
|
190
|
150
|
0
|
255
|
25
|
0
|
145
|
50
|
0
|
115
|
25
|
165
|
2
|
0
|
100
|
118
|
110
|
30
|
165
|
240
|
80
|
34
|
180
|
110
|
0
|
225
|
25
|
0
|
138
|
23
|
0
|
86
|
90
|
160
|
3
|
0
|
124
|
180
|
225
|
35
|
0
|
250
|
208
|
130
|
250
|
128
|
0
|
182
|
8
|
0
|
134
|
58
|
0
|
116
|
145
|
150
|
4
|
60
|
164
|
184
|
40
|
54
|
78
|
238
|
80
|
73
|
165
|
95
|
0
|
230
|
34
|
0
|
116
|
19
|
0
|
114
|
98
|
184
|
5
|
205
|
95
|
142
|
0
|
22
|
35
|
226
|
0
|
0
|
196
|
70
|
100
|
216
|
6
|
|
135
|
18
|
30
|
112
|
68
|
116
|
6
|
240
|
50
|
42
|
180
|
0
|
16
|
0
|
54
|
126
|
180
|
56
|
70
|
168
|
0
|
15
|
90
|
24
|
50
|
86
|
72
|
135
|
7
|
240
|
0
|
86
|
200
|
160
|
95
|
78
|
0
|
48
|
236
|
10
|
80
|
156
|
10
|
0
|
200
|
70
|
43
|
5
|
52
|
126
|
8
|
240
|
50
|
35
|
0
|
115
|
160
|
140
|
150
|
190
|
233
|
69
|
73
|
199
|
33
|
15
|
171
|
8
|
8
|
61
|
114
|
123
|
9
|
230
|
150
|
110
|
104
|
154
|
150
|
82
|
0
|
40
|
228
|
61
|
42
|
228
|
61
|
10
|
153
|
0
|
25
|
164
|
104
|
155
|
10
|
5
|
115
|
30
|
212
|
138
|
176
|
248
|
54
|
148
|
76
|
9
|
6
|
40
|
52
|
0
|
5
|
94
|
47
|
212
|
86
|
11
|
35
|
45
|
160
|
204
|
170
|
0
|
253
|
96
|
98
|
133
|
0
|
115
|
94
|
22
|
38
|
34
|
55
|
105
|
206
|
128
|
78
|
12
|
2500
|
45
|
65
|
138
|
130
|
0
|
0
|
90
|
116
|
239
|
70
|
70
|
194
|
109
|
59
|
165
|
134
|
0
|
33
|
44
|
154
|
13
|
115
|
160
|
180
|
0
|
46
|
144
|
245
|
108
|
54
|
246
|
70
|
35
|
210
|
20
|
98
|
173
|
130
|
162
|
36
|
20
|
98
|
14
|
255
|
105
|
120
|
0
|
62
|
64
|
40
|
180
|
128
|
35
|
4
|
32
|
8
|
100
|
55
|
76
|
0
|
0
|
180
|
150
|
154
|
15
|
0
|
0
|
30
|
234
|
102
|
130
|
234
|
206
|
36
|
50
|
135
|
88
|
0
|
15
|
152
|
16
|
52
|
15
|
182
|
15
|
152
|
16
|
240
|
60
|
80
|
137
|
0
|
162
|
0
|
140
|
132
|
0
|
80
|
80
|
64
|
165
|
0
|
64
|
165
|
80
|
240
|
85
|
80
|
17
|
0
|
30
|
45
|
258
|
116
|
122
|
0
|
116
|
128
|
6
|
0
|
12
|
6
|
58
|
70
|
96
|
0
|
12
|
168
|
140
|
150
|
18
|
250
|
160
|
125
|
0
|
0
|
15
|
128
|
0
|
175
|
19
|
154
|
50
|
0
|
60
|
8
|
62
|
10
|
140
|
190
|
60
|
8
|
19
|
0
|
0
|
15
|
250
|
80
|
70
|
110
|
138
|
138
|
0
|
138
|
115
|
110
|
138
|
138
|
48
|
138
|
12
|
250
|
0
|
138
|
20
|
0
|
90
|
90
|
260
|
104
|
105
|
95
|
0
|
0
|
22
|
0
|
0
|
0
|
54
|
60
|
110
|
0
|
0
|
150
|
145
|
140
|
21
|
245
|
75
|
55
|
0
|
64
|
120
|
0
|
138
|
22
|
238
|
160
|
100
|
198
|
160
|
0
|
128
|
160
|
85
|
68
|
0
|
63
|
22
|
0
|
120
|
45
|
242
|
67
|
115
|
0
|
16
|
154
|
108
|
168
|
8
|
0
|
168
|
8
|
56
|
168
|
102
|
134
|
0
|
76
|
23
|
0
|
90
|
110
|
258
|
152
|
110
|
178
|
52
|
0
|
110
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
80
|
150
|
175
|
83
|
24
|
0
|
0
|
130
|
168
|
25
|
185
|
258
|
124
|
90
|
258
|
160
|
70
|
198
|
160
|
0
|
146
|
160
|
0
|
50
|
0
|
114
|
25
|
230
|
0
|
80
|
230
|
128
|
158
|
28
|
50
|
0
|
175
|
175
|
165
|
115
|
175
|
165
|
230
|
90
|
165
|
0
|
83
|
0
|
26
|
240
|
140
|
80
|
0
|
52
|
107
|
68
|
146
|
0
|
114
|
170
|
102
|
56
|
170
|
5
|
0
|
170
|
102
|
184
|
70
|
27
|
165
|
145
|
180
|
0
|
60
|
75
|
244
|
15
|
0
|
200
|
0
|
12
|
125
|
0
|
50
|
35
|
0
|
12
|
125
|
154
|
185
|
28
|
205
|
95
|
140
|
0
|
20
|
35
|
225
|
0
|
0
|
195
|
70
|
10
|
215
|
6
|
40
|
35
|
20
|
80
|
110
|
70
|
115
|
3.2
Теоретический раздел
3.2.1
Пересечение прямой линии с плоскостью
При решении данной задачи необходимо четко различать
следующие этапы ее выполнения (алгоритм):
проведение анализа прямой и плоскости, участвующих в
пересечении, выяснить какое положение они занимают в пространстве и если общее,
то выполнить построение вспомогательной плоскости дельта (D), которую проводят через
прямую а (а Ì D). В качестве вспомогательной плоскости рекомендуется
брать одну из проецирующих (D ^ Õ1 Ú D ^ Õ2);
построение линии пересечения вспомогательной плоскости дельта
с заданной плоскостью сигма (n = DÇå);
определение точки К как точки пересечения данной прямой а и
построенной прямой n (аÇn = К)
определение видимости прямой на плоскостях проекций.
На рисунке 3.1 дано аксонометрическое изображение прямой а,
пересекающейся с плоскостью сигма, заданной треугольником АВС (å (АВС)). Точка
пересечения К найдена с помощью вспомогательной (горизонтально-проецирующей)
плоскости дельта (D^Õ1), которая с заданной плоскостью сигма
пересекается по прямой (n = D Ç å). Искомая точка К
пересечения прямой а с плоскостью треугольника определена как точка пересечения
прямых а и n
(К = а Ç n).
Рисунок 3.1
Как решается эта задача на эпюре Монжа (комплексном чертеже),
смотри на рисунке 3.2
Рисунок 3.2
На рисунке 3.3 рассмотрен еще один пример решения подобной
задачи: определить точку пересечения прямой а с плоскостью сигма, заданной
двумя параллельными прямыми в и с (а Ç å (в|| с) =К).
Рисунок 3.3
Порядок (алгоритм) решения данной задачи выглядит следующим
образом:
через прямую а проведем вспомогательную фронтально-проецирующую
плоскость дельта (D^Õ2);
вспомогательная плоскость дельта пересекает заданную
плоскость сигма по прямой 12;
находим проекции этой прямой сначала 12 22 (1222
º а1ºD2), потом11 и 21
(точка 1 принадлежит прямой в а точка 2 прямой с, следовательно их проекции
принадлежат одноименным проекциям этих прямых);
находим точку К пересечения прямой 12 с прямой а; 1121Ç а1=К1,
К1 ® К2 (а Ç12) = К.
При выполнении эпюрных построений необходимо проявлять особое
внимание к последней стадии решения, когда определяются проекции искомой точки.
Следует иметь в виду, что если в качестве вспомогательной секущей плоскости
взята горизонтально - проецирующая плоскость, то первой из двух будет
определена фронтальная проекция искомой точки (смотри рисунок 3.2). Применяя же
фронтально-проецирующую плоскость, сначала находят горизонтальную проекцию К1,
а затем К2 (смотри рисунок 3.3).
3.2.2
Определение видимости геометрических элементов способом конкурирующих точек
Видимость для каждой плоскости проекций устанавливаем самостоятельно
(рисунок 3.3). Начнем с фронтальной плоскости проекций. Рассмотрим фронтальную
проекцию 12 точки 1. В ней как бы пересекаются прямые а и в, но они
попали в одну точку на фронтальную плоскость проекций лишь потому, что в
пространстве точки, принадлежащие прямым а и в находятся на одном
перпендикуляре к плоскости Õ2. Если
пройтись лучом сверху вниз, то мы увидим, что ближе к нам расположена прямая а,
а прямая в за ней, следовательно, на Õ2 видим
сначала а2, а потом в2. Видимость для горизонтальной
плоскости проекций устанавливаем с помощью точки 3, принадлежащей прямой а и с
(). Пройдемся лучом снизу вверх и увидим,
что точка 3, принадлежащая прямой с, ниже, чем точка 3 принадлежащая прямой а,
следовательно, прямая а на данном участке выше и мы ее видим.
3.2.3
Пересечение двух плоскостей произвольного положения
Линией пересечения двух плоскостей является прямая, для
построения которой достаточно определить две точки, общие для обеих плоскостей,
либо одну точку и направление линии пересечения двух плоскостей.
Для того чтобы определить эти точки нужно найти точки
пересечения любых двух прямых одной плоскости с другой плоскостью, или точки
пересечения прямой на каждой плоскости с другой плоскостью.
При решении этой задачи (вторая позиционная задача)
пользуются алгоритмом, который составлен на основании общей схемы решения
второй позиционной задачи. Общий вид алгоритма следующий:
проводится вспомогательная поверхность, пересекающая заданные
поверхности;
определяется линия пересечения вспомогательной поверхности с
каждой из заданных поверхностей (m и n);
отмечают точки пересечения построенных линий, которые и
являются искомыми, так как они принадлежат одновременно заданным поверхностям.
Если пересекающиеся плоскости (или одна из плоскостей) заданы
многоугольниками (смотри рисунок 3.4), то построение линии их пересечения
значительно упрощается, если вспомогательные проецирующие плоскости провести не
произвольно, а через какие - либо две из сторон многоугольников. В нашем примере
вспомогательные плоскости дельта перпендикулярны горизонтальной плоскости
проекций и проведены через стороны ЕD и EK, то есть решаем две задачи на
пересечение прямой и плоскости (алгоритм решения этой задачи рассмотрен выше).
Находим линию 12 пересечения плоскости дельта (D) с плоскостью
треугольника АВС (DÇå (АВС) = 12). Точка М есть точка
пересечения линии 12 со стороной DE (М = 12 Ç ЕD), а точка N результат
пересечения прямой ЕК с линией 34. Прямая МN является линией пересечения двух
треугольников. Видимость определяем с помощью конкурирующих точек (смотри
3.2.2).
Рисунок 3.4
3.2.4
Пересечение плоскости с многогранником
Построение сечения многогранника требует многократного
решения задачи о пересечении прямой с плоскостью. Точки, в которых ребра
многогранника пересекаются с заданной плоскостью, будут вершинами исходного
сечения. Тот же результат можно получить, сведя задачу к построению прямых
пересечения плоскости с гранями тела (как пересечение двух плоскостей). Рассмотрим
задачу, когда необходимо определить линию пересечения трехгранной призмы
плоскостью сигма, заданной двумя пересекающимися прямыми (рисунок 3.5).
Рисунок 3.5
Каждая из вершин построенного треугольника (МNL), определена как точка
пересечения соответствующего ребра, с заданной плоскостью сигма.
N = АА1 Ç å
Для нахождения точки N проводим
вспомогательную, горизонтально-проецирующую плоскость дельта, проходящую через
ребро АА1.
Она пересекает плоскость å по прямой 12. Построив 1222
определяем точку N2 и с помощью линии проекционной связи находим
вторую проекцию точки N-N1. Аналогичные построения выполняем для нахождения точек M и L.
L = ВВ1Çå, M = СС1Çå
.3 Указания к
выполнению задания (образец выполнения работы смотри в приложении Ж)
На листе формата А3, расположение книжное, по координатам
точек А В и С строим комплексный чертеж плоскости сигма.
По координатам точек К, М,N и L выполняем комплексный чертеж
призмы. Все построения выполняются в тонких линиях. Определяем видимость ребер
призмы и сторон треугольника.
Если призму пересечь плоскостью, то в сечении получится
многогранник, число вершин которого зависит от того, сколько ребер пересекает
секущая плоскость. В нашем задании секущая плоскость пересекает три ребра,
следовательно, в сечении получится треугольник, каждая вершина которого
находится как точка пересечения ребра с плоскостью å (АВС).
Р = КК1 Ç å= ММ1Ç å= NL Ç å
Рассмотрим нахождение точки Р: через ребро КК1
проведем вспомогательную горизонтально-проецирующую секущую плоскость дельта.
Эта плоскость пересекает плоскость сигма по прямой 12, горизонтальная проекция
которой совпадает с горизонтальной проекцией ребра и вспомогательной плоскости
дельта (1121 º К1К'1ºD2). С помощью проекции
линии связи находим 12 и 22. Искомая точка Р находится на
пересечении прямой АВ и 12 (Р=АВÇ 12). Точки R и S находим
аналогично. По точкам Р, R, S строим треугольник, который получается при
пересечении призмы плоскостью сигма, но так как плоскость сигма ограничена
треугольником АВС, то и линии пересечения будут ограничены сторонами
треугольника. Отмечаем эти точки D и Е, G и F и определяем видимость (приложение Ж).
Следует обратить внимание на то, что данный способ решения не
является единственным. Данную задачу можно решить методом замены плоскостей
проекций.
3.4
Контрольные вопросы
Алгоритм решения задачи на пересечение прямой и плоскости;
Алгоритм решения задачи на пересечение двух плоскостей;
Алгоритм решения задачи на пересечение многогранных
поверхностей плоскостями.
4.
Расчетно-графическая работа по теме "Взаимная перпендикулярность и
параллельность прямых и плоскостей"
Цель работы: закрепить знания и навыки в построении
проекций точек, прямых и плоскостей в соответствии с координатным способом их
задания, приобрести навыки в решении позиционных задач на прямую и плоскость,
научиться строить прямые и плоскости, параллельные и перпендикулярные заданным
плоскостям, а также приобрести умение определять натуральную величину отрезка
прямой по его комплексному чертежу.
.1 Содержание
работы
Определить расстояние от точки D до плоскости сигма заданной
треугольником АВС.
Построить плоскость тэта, параллельную плоскости сигма и
находящуюся на половине расстояния от точки D до плоскости сигма.
Через вершину В плоскости сигма провести плоскость дельта
перпендикулярно отрезку АС и построить линию пересечения двух плоскостей (сигма
и дельта).
Данные для выполнения задания берем по вариантам из таблицы
4.1
Таблица 4.1 - Координаты точек, в миллиметрах
№ Вар.
|
F
|
B
|
C
|
D
|
|
x
|
y
|
z
|
x
|
y
|
z
|
x
|
y
|
z
|
x
|
y
|
z
|
1
|
65
|
10
|
20
|
10
|
20
|
0
|
0
|
60
|
60
|
35
|
70
|
5
|
2
|
70
|
0
|
60
|
45
|
50
|
10
|
0
|
20
|
10
|
20
|
50
|
55
|
3
|
70
|
60
|
45
|
40
|
0
|
55
|
0
|
45
|
10
|
65
|
15
|
0
|
4
|
65
|
20
|
0
|
40
|
5
|
55
|
0
|
55
|
5
|
70
|
65
|
55
|
5
|
60
|
60
|
10
|
45
|
15
|
55
|
0
|
5
|
25
|
10
|
45
|
55
|
6
|
60
|
65
|
20
|
45
|
20
|
50
|
5
|
10
|
10
|
70
|
20
|
10
|
7
|
65
|
15
|
0
|
40
|
0
|
50
|
0
|
40
|
20
|
55
|
60
|
50
|
8
|
60
|
65
|
30
|
45
|
10
|
60
|
5
|
10
|
20
|
75
|
15
|
10
|
9
|
75
|
25
|
0
|
30
|
5
|
50
|
10
|
60
|
20
|
60
|
55
|
55
|
10
|
80
|
20
|
10
|
45
|
0
|
70
|
0
|
45
|
40
|
10
|
0
|
15
|
11
|
65
|
20
|
55
|
20
|
5
|
5
|
0
|
50
|
25
|
60
|
55
|
10
|
12
|
65
|
5
|
25
|
35
|
55
|
65
|
0
|
25
|
0
|
65
|
55
|
0
|
13
|
80
|
0
|
40
|
0
|
20
|
70
|
30
|
45
|
0
|
70
|
55
|
65
|
14
|
75
|
10
|
25
|
50
|
45
|
50
|
0
|
25
|
10
|
65
|
55
|
0
|
15
|
65
|
20
|
10
|
10
|
0
|
20
|
0
|
65
|
60
|
35
|
5
|
75
|
16
|
70
|
60
|
0
|
45
|
10
|
50
|
0
|
10
|
20
|
20
|
55
|
50
|
17
|
65
|
45
|
60
|
40
|
55
|
0
|
0
|
10
|
45
|
65
|
0
|
15
|
18
|
70
|
0
|
20
|
40
|
55
|
5
|
0
|
5
|
50
|
70
|
55
|
65
|
19
|
10
|
60
|
45
|
55
|
15
|
0
|
25
|
5
|
10
|
55
|
45
|
20
|
65
|
20
|
65
|
45
|
50
|
20
|
5
|
10
|
10
|
70
|
10
|
20
|
21
|
60
|
0
|
5
|
46
|
55
|
0
|
0
|
20
|
40
|
55
|
50
|
60
|
22
|
60
|
30
|
65
|
45
|
60
|
10
|
5
|
20
|
10
|
75
|
10
|
15
|
23
|
75
|
25
|
0
|
30
|
50
|
0
|
10
|
20
|
60
|
60
|
55
|
55
|
24
|
80
|
10
|
20
|
45
|
70
|
0
|
0
|
40
|
45
|
10
|
15
|
0
|
25
|
65
|
55
|
20
|
25
|
5
|
5
|
0
|
25
|
50
|
60
|
10
|
55
|
26
|
75
|
25
|
5
|
35
|
65
|
55
|
0
|
0
|
25
|
65
|
0
|
55
|
27
|
80
|
40
|
0
|
0
|
70
|
20
|
30
|
0
|
45
|
70
|
65
|
55
|
4.2 Теоретический
раздел работы
4.2.1
Определение расстояния от точки до плоскости
Так как расстояние от точки до плоскости есть ни что иное,
как перпендикуляр, проведенный из этой точки к плоскости, то наша задача
сводится к проведению этого перпендикуляра. Прямая линия перпендикулярна
плоскости, если она перпендикулярна любым двум взаимно пересекающимся прямым
этой плоскости. Если в качестве этих прямых взять две любые взаимно
пересекающиеся горизонталь и фронталь, то мы можем сказать, что если прямая
перпендикулярна плоскости, то ее горизонтальная проекция перпендикулярна
горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция - перпендикулярна
фронтальной проекции фронтали той же плоскости (l ^∑ (h; f) → l1^h1 Ù l2^f2). При этом справедлива и
обратная теорема, то есть, если проекция прямой перпендикулярна одноименным
проекциям главных линий плоскости, то такая прямая перпендикулярна плоскости
(смотри рисунок 4.1)
Рисунок 4.1
Рассмотрим применение этих теорем при решении практических
задач.
Задача 4.1 Определить расстояние от точки D до плоскости
тэта, заданной треугольником АВС.
Ход решения задачи (смотри рисунок 4.2):
как бы не была задана плоскость, проводим в ней любую
фронталь (f1; f2) и горизонталь (h1; h2);
из точки D1 восстанавливаем перпендикуляр к h1, а из точки D2 - перпендикуляр
к f2
и получаем направление перпендикуляра l (l1 l2);
находим точку К = l∩Θ (как найти эту точку,
смотри задачи на пересечение прямой и плоскости);
D1К1 и D2 К2 проекции
перпендикуляра. Его натуральную величину находим любым известным способом. В
данной задаче его натуральная величина найдена методом треугольник
Рисунок 4.2
Часто приходится решать задачу обратную - строить плоскость,
которая проходит через заданную точку А перпендикулярно данной прямой (рисунок
4.3). Как правило, эту плоскость задают главными линиями плоскости
(горизонталью и фронталью), так как известно направление этих главных линий
плоскости. Через точку А проводим горизонталь (ее горизонтальная проекция
перпендикулярна горизонтальной проекции прямой и через эту же точку А проводим
фронталь плоскости (ее фронтальная проекция перпендикулярна фронтальной
проекции прямой).
Рисунок 4.3
4.2.2 Параллельность
плоскостей
Две плоскости взаимно параллельны, если две пересекающиеся
прямые одной плоскости, параллельны двум пересекающимся прямым другой
плоскости. Через точку пространства можно провести пучок прямых линий
параллельных данной плоскости.
На комплексном чертеже (эпюре Монжа) (смотри рисунок 4.4)
плоскость сигма задана двумя параллельными прямыми и через точку пространства К
проведена плоскость, параллельная заданной, при этом прямая g параллельна с, а
прямая е параллельна прямым а и в
Рисунок 4.4
У параллельных плоскостей их главные линии (следы)
соответственно параллельны. На рисунке 4.5 плоскость сигма задана следами и
дана точка К, через которую нужно провести плоскость, параллельную плоскости
сигма. Для этого через точку К проведем одну из главных линий плоскости
(например горизонталь). Через след горизонтали будет проходить новая плоскость
сигма.
Рисунок 4.5
4.3 Указания
к выполнению задания
Задание должно быть выполнено на листе формата А3,
расположение альбомное и образец его выполнения смотри приложение И. Лист
условно делится на две части, и в левой части выполняется задание 4.1.1 и
4.1.2, в правой части - задание 4.1.3 По координатам точек А, В, С и D выполняем
комплексный чертеж плоскости сигма, заданной треугольником АВС и точки D.
Порядок выполнения задания 4.1.1
В плоскости сигма проводим фронталь и горизонталь (для удобства
данного чертежа фронталь и горизонталь проводим через вершину С, через вершину D проведем прямую l, перпендикулярную плоскости сигма, для
этого проводим l2^ f2 и l1^ h1; находим точку пересечения построенной прямой l с заданной плоскостью сигма (алгоритм решения данной задачи смотри
в разделе 3.2.1 данного методического указания) l∩∑=К К1D1 и К2D2 - проекции перпендикуляра КD или расстояние от точки а до плоскости сигма; для нахождения
натуральной величины отрезка DК можно
воспользоваться любым известным способом. В нашем примере использован метод
прямоугольного треугольника. Для этого из конца (любого) отрезка К1D1 восстановим перпендикуляр, на котором отложим DY = Y к - Y D и тогда К1 = ׀
DК׀
×åðåç середину отрезка DК необходимо провести плоскость сигма, параллельную плоскости
сигма. Для этого отрезок DК делим на две
части, получаем точку L (находим L1 и L2) и через точку L
проводим плоскость тэта, которую задаем двумя пересекающимися прямыми m и n Θ (n∩m), при этом m׀׀ÀÑ, а n ׀׀ÀÂ.
На поле чертежа справа выполняем комплексный чертеж плоскости сигма,
заданной треугольником АВС и через вершину В проводим плоскость дельта,
перпендикулярную стороне АС (плоскость дельта задаем горизонталью и фронталью).
При этом строим f2^А2С2, а h1^А1С1. Чтобы найти линию пересечения этих
двух плоскостей, нам достаточно найти точку пересечения плоскости дельта прямой
АС, так как одна точка пересечения (В) у нас уже есть. Для этого через отрезок
АС проводим фронтально-проецирующую плоскость Ф и найдем прямую 12, по которой
плоскость дельта пересекается плоскостью фи (12=Δ∩Ф). точка К находится на
пересечении прямых АС и 12 (К= АС∩12). Проводим линию пересечения двух
плоскостей и определяем видимость. (В примере точка К найдена другим способом).
4.4 Êîíòðîëüíûå
âîïðîñû
Íàçîâèòå
àëãîðèòì ðåøåíèÿ
çàäà÷è íà ïîñòðîåíèå
ïåðïåíäèêóëÿðà
èç òî÷êè ê ïëîñêîñòè.
Íàçîâèòå
àëãîðèòì ðåøåíèÿ
çàäà÷è íà ïîñòðîåíèå
ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé
ê äàííîé ïðÿìîé;.
Íàçîâèòå
àëãîðèòì ðåøåíèÿ
çàäà÷è íà ïîñòðîåíèå
ïëîñêîñòè, ïàðàëëåëüíîé
çàäàííîé.
5. Ðàñ÷åòíî-ãðàôè÷åñêàÿ
ðàáîòà ¹ 5 "Ñå÷åíèå
ïîâåðõíîñòè
ñôåðû ïëîñêîñòÿìè"
Öåëü ðàáîòû: èçó÷èòü
ñïîñîáû è ïðèîáðåñòè
óìåíèå â ïîñòðîåíèè
ëèíèé ïåðåñå÷åíèÿ
ïîâåðõíîñòè
ñôåðû ïëîñêîñòÿìè
÷àñòíîãî ïîëîæåíèÿ.
5.1 Ñîäåðæàíèå
ðàáîòû: âûïîëíèòü
ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ
ïîâåðõíîñòè
ñôåðû ïëîñêîñòÿìè
÷àñòíîãî ïîëîæåíèÿ
(ôðîíòàëüíî-ïðîåöèðóþùèìè).
Äàííûå äëÿ âûïîëíåíèÿ
çàäàíèÿ áåðåì
ïî âàðèàíòàì
èç òàáëèöû 5.1, îáðàçåö
âûïîëíåíèÿ çàäàíèÿ
ñìîòðè ïðèëîæåíèå
Ê.
Òàáëèöà 5.1 Çàäàíèÿ
ïî âàðèàíòàì.
 ìèëëèìåòðàõ
¹ âàð.
|
À
|
Â
|
Ñ
|
D
|
|
Χ
|
Ζ
|
Χ
|
Ζ
|
Χ
|
Ζ
|
Χ
|
Ζ
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
1
|
85
|
75
|
47
|
110
|
20
|
110
|
85
|
50
|
2
|
85
|
70
|
50
|
100
|
25
|
40
|
85
|
40
|
3
|
27
|
45
|
90
|
45
|
100
|
60
|
60
|
90
|
4
|
70
|
35
|
100
|
70
|
35
|
95
|
45
|
35
|
5
|
10
|
30
|
80
|
80
|
60
|
85
|
35
|
30
|
6
|
90
|
65
|
60
|
95
|
25
|
40
|
90
|
40
|
7
|
35
|
25
|
100
|
50
|
65
|
85
|
35
|
85
|
8
|
105
|
40
|
65
|
90
|
25
|
40
|
90
|
40
|
9
|
90
|
40
|
90
|
70
|
35
|
90
|
35
|
40
|
10
|
85
|
105
|
35
|
65
|
35
|
45
|
85
|
45
|
11
|
80
|
75
|
50
|
75
|
30
|
35
|
80
|
35
|
12
|
85
|
40
|
85
|
105
|
35
|
85
|
25
|
65
|
13
|
90
|
40
|
45
|
90
|
30
|
90
|
30
|
40
|
14
|
40
|
35
|
100
|
70
|
35
|
85
|
40
|
85
|
15
|
70
|
30
|
105
|
80
|
85
|
80
|
40
|
30
|
16
|
35
|
40
|
100
|
40
|
90
|
90
|
60
|
90
|
17
|
35
|
25
|
85
|
70
|
85
|
85
|
35
|
85
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
18
|
75
|
25
|
100
|
85
|
50
|
85
|
30
|
70
|
19
|
85
|
20
|
85
|
80
|
60
|
80
|
35
|
50
|
25
|
80
|
65
|
30
|
85
|
30
|
85
|
80
|
21
|
100
|
75
|
60
|
90
|
30
|
45
|
110
|
45
|
22
|
105
|
90
|
40
|
90
|
40
|
65
|
75
|
30
|
23
|
85
|
86
|
50
|
86
|
20
|
40
|
45
|
25
|
24
|
40
|
25
|
90
|
65
|
90
|
85
|
40
|
25
|
25
|
85
|
50
|
65
|
95
|
25
|
75
|
25
|
50
|
Äëÿ âñåõ âàðèàíòîâ
öåíòð ñôåðû Î
(50; 60; 60), è ðàäèóñ ñôåðû
ðàâåí 40 ìì.
5.2 Òåîðåòè÷åñêèé
ðàçäåë
Ïðè ïîñòðîåíèè
ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ
îäíà èç ïðîåêöèé
ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ
çàäàíà (ýòî ôðîíòàëüíàÿ,
òàê êàê èçâåñòíû
êîîðäèíàòû X è
Z). Â óñëîâèè íàøåãî
çàäàíèÿ ñåêóùèå
ïëîñêîñòè ÿâëÿþòñÿ
ôðîíòàëüíî - ïðîåöèðóþùèìè,
ïîýòîìó ðåøåíèå
çàäà÷è çíà÷èòåëüíî
óïðîùàåòñÿ. Â
ñëó÷àå, åñëè ñåêóùàÿ
ïëîñêîñòü îáùåãî
ïîëîæåíèÿ, ñëåäóåò
âîñïîëüçîâàòüñÿ
îäíèì èç ñïîñîáîâ
ïðåîáðàçîâàíèÿ
åå â ïëîñêîñòü
÷àñòíîãî ïîëîæåíèÿ
(ïðîåöèðóþùóþ).
Åñòåñòâåííî,
÷òî ïðåîáðàçîâàíèÿì
íàäî ïîäâåðãíóòü
è çàäàííóþ ñôåðè÷åñêóþ
ïîâåðõíîñòü.
5.2.1 Ñå÷åíèå
ñôåðû ïëîñêîñòüþ
Ñå÷åíèå ñôåðû
ïëîñêîñòüþ ðàññìîòðèì
íà ïðèìåðå ðåøåíèÿ
çàäà÷è. Ïóñòü
äàíà ñôåðà è ôðîíòàëüíî
- ïðîåöèðóþùàÿ
ïëîñêîñòü äåëüòà
(ñìîòðè ðèñóíîê
5.1). îêðóæíîñòü, ïî
êîòîðîé ïëîñêîñòü
äåëüòà ïåðåñåêàåò
ñôåðó ïðîåöèðóåòñÿ
íà Ï1 â âèäå ýëëèïñà.
Äâå âåðøèíû ýòîãî
ýëëèïñà òî÷êè
1 è 2 ÿâëÿþòñÿ âûñøåé
è íèçøåé òî÷êàìè
(ãëàâíûå òî÷êè
ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ
ñôåðû ïîâåðõíîñòüþ)
ñå÷åíèÿ. Äëÿ èõ
íàõîæäåíèÿ ïîëüçóþòñÿ
òåì, ÷òî îíè ÿâëÿþòñÿ
î÷åâèäíûìè, òî
åñòü íàõîäÿòñÿ
íà ïåðåñå÷åíèè
ñåêóùåé ïëîñêîñòè
ñ ãëàâíûì ìåðèäèàíîì
ñôåðû. Íàõîäèì
12 è 22 è ïî ëèíèè
ñâÿçè è ïî ïðèíàäëåæíîñòè
î÷åðêîâîé îáðàçóþùåé
îïðåäåëÿåì ãîðèçîíòàëüíûå
ïðîåêöèè òî÷åê
1 è 2 (11; 21). Òî÷êè
3 è 4 òîæå ÿâëÿþòñÿ
ãëàâíûìè òî÷êàìè
ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ
- ýòî òî÷êè ñìåíû
âèäèìîñòè íà
ãîðèçîíòàëüíîé
ïëîñêîñòè ïðîåêöèé
è ïðèíàäëåæàò
ýêâàòîðó ñôåðû,
òî÷êè 5 è 6 îïðåäåëÿþò
áîëüøóþ îñü ýëëèïñà
(1252 = 5222; 5161
= 122).
Ðèñóíîê 5.1
Ïðèìåð ðåøåíèÿ
çàäà÷è, êîãäà
ñôåðà ïåðåñåêàåòñÿ
ïëîñêîñòüþ îáùåãî
ïîëîæåíèÿ, ñìîòðè
íà ðèñóíêå 5.2
Ðèñóíîê 5.2
 íàøåì ïðèìåðå
h (h1,h2) - ãîðèçîíòàëü,
f (f 1,f2) - ôðîíòàëü
Ðàññìàòðèâàåìûé
ñëó÷àé ìîæíî
ñâåñòè ê ïðåäûäóùåìó,
ïðîäåëàâ çàìåíó
ïëîñêîñòåé ïðîåêöèé
(Ï2 íà Ï4). Â íîâîé
ñèñòåìå Ï1Ï4
çàäàííàÿ ïëîñêîñòü
ñòàëà ïðîåöèðóþùåé
è ãîðèçîíòàëüíóþ
ïðîåêöèþ ñå÷åíèÿ
ìîæíî ïîñòðîèòü
àíàëîãè÷íî òîìó,
êàê ýòî áûëî ñäåëàíî
íà ðèñóíêå 5.1 Âûñøàÿ
è íèçøàÿ òî÷êè
ñå÷åíèÿ îáîçíà÷åíû
ñîîòâåòñòâåííî
÷åðåç 1è 2 (11; 14) è
(21; 24). Öèôðàìè
3 (31; 34) è 4 (41; 44) îáîçíà÷åíû
òî÷êè, ðàñïîëîæåííûå
íà êîíòóðå ãîðèçîíòàëüíîé
ïðîåêöèè ñôåðû
è îòäåëÿþùèå
âèäèìóþ ÷àñòü
ãîðèçîíòàëüíîé
ïðîåêöèè îò íåâèäèìîé
(òî÷êè âèäèìîñòè).
Çàìåòèì, ÷òî
ýòè òî÷êè (3 è 4) ìîæíî
îïðåäåëèòü è íåïîñðåäñòâåííî
â ñèñòåìå Ï2/Ï1
ïðè ïîìîùè ïëîñêîñòè
Δ, ïðîõîäÿùåé
÷åðåç öåíòð ñôåðû
|| Ï1. Ïîñòðîåíèå
ôðîíòàëüíîé ïðîåêöèè
ñå÷åíèÿ ìîæíî
âûïîëíèòü íåçàâèñèìî
îò óæå ïîñòðîåííîé
ïðîåêöèè ñå÷åíèÿ
íà ïëîñêîñòè
Ï1. Äëÿ ýòîãî ñëåäóåò
ïåðåéòè îò ñèñòåìû
Ï2/Ï1 ê ñèñòåìå
Ï5/ Ï2 (Ï5^ Ï2) è
äàëüíåéøèå ïîñòðîåíèÿ
íè÷åì íå îòëè÷àþòñÿ
îò ïðåäûäóùèõ.
Çàìåòèì, ÷òî
÷åðåç 5 è 6 îáîçíà÷åíû
òî÷êè ñîîòâåòñòâåííî
íàèáîëåå è íàèìåíåå
óäàëåííûå îò
ïëîñêîñòè Ï2.
Òî÷êè 7 è 8 ðàñïîëîæåíû
íà ìåðèäèàíå
ñôåðû è îïðåäåëÿþò
ãðàíèöû âèäèìîñòè
ôðîíòàëüíîé ëèíèè
ñå÷åíèÿ. Åñëè
íàéäåííûõ òî÷åê
íåäîñòàòî÷íî
äëÿ ïîñòðîåíèÿ
ïðîåêöèé ñå÷åíèÿ
(ïðè áîëüøèõ ðàçìåðàõ
÷åðòåæà), òî ïðîìåæóòî÷íûå
òî÷êè ìîãóò áûòü
îïðåäåëåíû ïðè
ïîìîùè âñïîìîãàòåëüíûõ
ñåêóùèõ ïëîñêîñòåé
(ïàðàëëåëåé ñôåðû).
Ðàññìîòðèì
åùå îäèí ïðèìåð
ðàññå÷åíèÿ ñôåðû
ïëîñêîñòÿìè.
Ñôåðà ðàññåêàåòñÿ
ïëîñêîñòÿìè
ïî îêðóæíîñòÿì,
êîòîðûå ïðîåöèðóþòñÿ
â íàòóðàëüíóþ
âåëè÷èíó íà ïëîñêîñòè,
ïàðàëëåëüíûå
ñåêóùèì ïëîñêîñòÿì,
è â îòðåçêè ïðÿìûõ
- íà ïëîñêîñòè,
ïåðïåíäèêóëÿðíûå
ñåêóùèì ïëîñêîñòÿì.
Íà ðèñóíêå 1 ïîêàçàí
ïðèìåð - óñå÷åííàÿ
ïîëóñôåðà Σ║Ï1, à è Θ║Ï3). Îòñå÷åííàÿ
(îòáðîøåííàÿ)
÷àñòü ïîëóñôåðû
ïîêàçàíà ñïëîøíîé
òîíêîé ëèíèåé.
Ðèñóíîê 5.3
5.3 Óêàçàíèÿ
ê âûïîëíåíèþ
ÐÃÐ5
Íà ëèñòå ôîðìàòà
À3, ðàñïîëîæåíèå
àëüáîìíîå, âûïîëíÿåì
â òîíêèõ ëèíèÿõ
òðåõïðîåêöèîííûé
êîìïëåêñíûé
÷åðòåæ ñôåðû, âûáðàâ
òî÷êó Î (50; 60; 60) ñôåðû
ïî êîîðäèíàòàì
è ðàäèóñó ñôåðû
40ìì. Íà ôðîíòàëüíîé
ïëîñêîñòè ïðîåêöèé
ïî êîîðäèíàòàì
òî÷åê À; Â; Ñ è D (òàáëè÷êó
ñ êîîðäèíàòàìè
òî÷åê æåëàòåëüíî
ðàçìåñòèòü íà
ñâîáîäíîì ïîëå
÷åðòåæà âíèçó
ñëåâà), âçÿòûì
ñîãëàñíî âàðèàíòó
èç òàáëèöû 5.1, âûïîëíÿåì
ôðîíòàëüíóþ ëèíèþ
ñå÷åíèÿ ñôåðû
ôðîíòàëüíî-ïðîåöèðóþùèìè
ïëîñêîñòÿìè.
 íàøåì îáðàçöå
â ïðèëîæåíèè Ê
ýòî ëèíèÿ 1DÀ5À' D'1. Ôðîíòàëüíàÿ
ïðîåêöèÿ ëèíèè
ïåðåñå÷åíèÿ ó
íàñ óæå åñòü, à
êàê íàéòè îñòàëüíûå
ïðîåêöèè ñìîòðè
ðàçäåë 5.2.1 äàííîãî
ïîñîáèÿ.
5.4 Êîíòðîëüíûå
âîïðîñû
Êàêàÿ ôèãóðà
ïîëó÷àåòñÿ â
ñå÷åíèè ïðè ïåðåñå÷åíèè
ñôåðû ïëîñêîñòüþ
óðîâíÿ?
Êàêàÿ ôèãóðà
ïîëó÷àåòñÿ â
ñå÷åíèè ïðè ïåðåñå÷åíèè
ñôåðû ïðîåöèðóþùåé
ïëîñêîñòüþ?
Ïåðå÷èñëèòå
ãðàôè÷åñêèå
îïåðàöèè ïðè ïîñòðîåíèè
ïëîñêèõ ñå÷åíèé
ëþáîé ïîâåðõíîñòè.
Êàêèå òî÷êè
ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ
ïîâåðõíîñòè
âðàùåíèÿ ïëîñêîñòüþ
íàçûâàþòñÿ ãëàâíûìè
(îïîðíûìè).
6. Ðàñ÷åòíî-ãðàôè÷åñêàÿ
ðàáîòà ¹ 6 "Âçàèìíîå
ïåðåñå÷åíèå ïîâåðõíîñòåé"
Öåëüþ äàííîãî
çàíÿòèÿ ÿâëÿåòñÿ
èçó÷åíèå ñïîñîáîâ
ïîñòðîåíèÿ ëèíèè
ïåðåñå÷åíèÿ ïîâåðõíîñòåé.
Çàäàíèå:
â ðàñ÷åòíî-ãðàôè÷åñêîé
ðàáîòå ¹6 íåîáõîäèìî
âûïîëíèòü äâå
çàäà÷è íà ïîñòðîåíèå
ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ
ïîâåðõíîñòåé.
Çàäà÷ó ¹6.1 ñìîòðè
â òàáëèöå 6.1, çàäà÷ó
¹6.2 òàáëèöå 6.2, à âàðèàíòû
çàäàíèÿ â òàáëèöå
6.3.
Òàáëèöà 6.1 - Çàäà÷à
6.1
Òàáëèöà 6.2 - Çàäà÷à
6.2
Òàáëèöà 6.3 - Âàðèàíòû
çàäàíèÿ
¹ âàð.
|
Çàäà÷à
¹ 6.1
|
Çàäà÷à
¹6.2
|
¹ âàð
|
Çàäà÷à
¹ 6.1
|
Çàäà÷à
¹6.2
|
|
Òàáëèöà
6.1
|
Òàáëèöà
6.2
|
|
Òàáëèöà
6.1
|
Òàáëèöà
6.2
|
1
|
Ðèñóíîê1
|
Í α
|
125 90°
|
Ðèñóíîê1
|
h À
|
30 40
|
16
|
Ðèñóíîê1
|
Í α
|
120 135°
|
Ðèñóíîê3
|
À α
|
30 90°
|
2
|
Ðèñóíîê3
|
Í α
|
100 90°
|
Ðèñóíîê2
|
À Â
|
55 60
|
17
|
Ðèñóíîê2
|
Í α
|
60 45°
|
Ðèñóíîê2
|
À Â
|
0 40
|
3
|
Ðèñóíîê2
|
Í α
|
55 60°
|
Ðèñóíîê3
|
À α
|
60 60°
|
18
|
Ðèñóíîê3
|
Í α
|
120 120°
|
Ðèñóíîê1
|
h À
|
55 20
|
4
|
Ðèñóíîê4
|
Í α
|
60 45°
|
Ðèñóíîê4
|
À Â
|
50 50
|
19
|
Ðèñóíîê4
|
Í α
|
70 60°
|
Ðèñóíîê2
|
À Â
|
60 60
|
5
|
Ðèñóíîê5
|
Í α
|
110 90°
|
Ðèñóíîê5
|
α1 α2
|
45° 45°
|
20
|
Ðèñóíîê5
|
Í α
|
80 90°
|
Ðèñóíîê3
|
À α
|
0 45°
|
6
|
Ðèñóíîê6
|
À
|
10
|
Ðèñóíîê6
|
À Â
|
30 0
|
21
|
Ðèñóíîê6
|
À
|
0
|
Ðèñóíîê4
|
À Â
|
0 20
|
7
|
Ðèñóíîê7
|
À α
|
10 45°
|
Ðèñóíîê7
|
α
|
90°
|
22
|
Ðèñóíîê7
|
À α
|
10 60°
|
Ðèñóíîê5
|
α1 α2
|
90° 0°
|
8
|
Ðèñóíîê8
|
Í À
|
65 165
|
Ðèñóíîê8
|
À Â
|
20 40
|
23
|
Ðèñóíîê8
|
Í À
|
65 120
|
Ðèñóíîê6
|
À Â
|
0 10
|
9
|
Ðèñóíîê7
|
À α
|
5 90°
|
Ðèñóíîê9
|
À Â
|
20 40
|
24
|
Ðèñóíîê8
|
Í À
|
60 130
|
Ðèñóíîê7
|
α
|
45°
|
10
|
Ðèñóíîê6
|
À
|
20
|
Ðèñóíîê8
|
À Â
|
0 50
|
25
|
Ðèñóíîê6
|
À
|
50
|
Ðèñóíîê8
|
À Â
|
30 30
|
11
|
Ðèñóíîê5
|
Í α
|
110 120°
|
Ðèñóíîê7
|
α
|
60°
|
26
|
Ðèñóíîê5
|
Í α
|
55 90°
|
Ðèñóíîê9
|
À Â
|
30 30
|
12
|
Ðèñóíîê8
|
Í À
|
65 80
|
Ðèñóíîê6
|
À Â
|
50 15
|
27
|
Ðèñóíîê4
|
Í α
|
50 30°
|
Ðèñóíîê1
|
h À
|
0 55
|
13
|
Ðèñóíîê4
|
Í α
|
60 90°
|
Ðèñóíîê9
|
À Â
|
0 50
|
28
|
Ðèñóíîê3
|
Í α
|
150 110°
|
Ðèñóíîê2
|
À Â
|
0 60
|
14
|
Ðèñóíîê3
|
Í α
|
100 135°
|
Ðèñóíîê5
|
α1 α2
|
60° 30°
|
29
|
Ðèñóíîê2
|
Í α
|
70 60°
|
Ðèñóíîê3
|
À α
|
60 90
|
15
|
Ðèñóíîê2
|
Í α
|
50 90°
|
Ðèñóíîê4
|
À Â
|
60 60
|
30
|
Ðèñóíîê1
|
Í α
|
120 75°
|
Ðèñóíîê4
|
À Â
|
|
6.2 Òåîðåòè÷åñêèé
ðàçäåë
Ëèíèÿ ïåðåñå÷åíèÿ
ïîâåðõíîñòåé
ïðåäñòàâëÿåò
ñîáîé ñîâîêóïíîñòü
òî÷åê îáåèõ
ïîâåðõíîñòåé.
 îáùåì ñëó÷àå
äëÿ íàõîæäåíèÿ
ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ
ïîâåðõíîñòåé
èñïîëüçóåòñÿ
ñëåäóþùèé àëãîðèòì
ïîñòðîåíèÿ ëèíèè
ïåðåñå÷åíèÿ ïîâåðõíîñòåé:
Ïðîâåñòè àíàëèç
âèäà ïîâåðõíîñòåé
è èõ âçàèìíîãî
ðàñïîëîæåíèÿ.
Àíàëèç âçàèìíîãî
ðàñïîëîæåíèÿ
ïîâåðõíîñòåé
ïîçâîëÿåò ñäåëàòü
âûâîä î êîëè÷åñòâå
çàìêíóòûõ êîíòóðîâ
â ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ.
 ñëó÷àå ïðîíèöàíèÿ,
êîãäà îäíà èç
ïîâåðõíîñòåé
ïîëíîñòüþ ïåðåñåêàåòñÿ
âòîðîé, ëèíèÿ
ïåðåñå÷åíèÿ ñîñòîèò
èç äâóõ êîíòóðîâ.
Åñëè ïåðåñå÷åíèå
÷àñòè÷íîå (ñëó÷àé
âðåçêè), ëèíèÿ
ïåðåñå÷åíèÿ ïðåäñòàâëÿåò
ñîáîé îäèí ïðîñòðàíñòâåííûé
êîíòóð. Ïðè êàñàíèè
ïîâåðõíîñòåé
äâà êîíòóðà ëèíèè
ïåðåñå÷åíèÿ èìåþò
îáùóþ òî÷êó.
Ïðîâåñòè
àíàëèç âèäà
ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ
ïîâåðõíîñòåé.
Íåîáõîäèìî ïðîàíàëèçèðîâàòü
è âîçìîæíûé âèä
ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ
(åå êîíòóðà): ïðîñòðàíñòâåííûé
èëè ïëîñêèé, ãëàäêèé
èëè ñ èçëîìàìè,
ñèììåòðè÷íûé
èëè íåñèììåòðè÷íûé.
Ëèíèÿ ïåðåñå÷åíèÿ
ìíîãîãðàííèêîâ
â îáùåì ñëó÷àå
ïðåäñòàâëÿåò
ñîáîé ïðîñòðàíñòâåííóþ
çàìêíóòóþ ëîìàíóþ,
â ÷àñòíûõ ñëó÷àÿõ
- ïðîñòðàíñòâåííûå
ëèáî ïëîñêèå
ìíîãîóãîëüíûå
êîíòóðà.
Ëèíèÿ ïåðåñå÷åíèÿ
ïîâåðõíîñòåé
âòîðîãî ïîðÿäêà
â îáùåì
ñëó÷àå - ïðîñòðàíñòâåííàÿ
ãëàäêàÿ êðèâàÿ
÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà.
Åñëè òàêèå ïîâåðõíîñòè
èìåþò îáùóþ ïëîñêîñòü
ñèììåòðèè, òî
è ëèíèÿ ïåðåñå÷åíèÿ
áóäåò ñèììåòðè÷íîé
êðèâîé. Ëèíèÿ
ïåðåñå÷åíèÿ ïîâåðõíîñòè
âðàùåíèÿ ëèáî
ïîâåðõíîñòè
âòîðîãî ïîðÿäêà
ñ ìíîãîãðàííèêîì
â îáùåé ñëó÷àå
- ïðîñòðàíñòâåííàÿ
êðèâàÿ ñ òî÷êàìè
èçëîìà â òî÷êàõ
ïåðåñå÷åíèÿ ðåáåð
ñ ïîâåðõíîñòüþ
âòîðîãî ïîðÿäêà.
Íàéòè òî÷êè
ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ, îïðåäåëÿåìûå
íåïîñðåäñòâåííûì
îáðàçîì. Ëèíèÿ
ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ
ïîâåðõíîñòåé
â îáùåì ñëó÷àå
èìååò õàðàêòåðíûå
(îïîðíûå) òî÷êè,
ñ êîòîðûõ è ñëåäóåò
íà÷èíàòü ïîñòðîåíèå
ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ.
Îïîðíûìè òî÷êàìè
ÿâëÿþòñÿ:
òî÷êè, ïðèíàäëåæàùèå
ðåáðàì ìíîãîóãîëüíèêà,
ó÷àñòâóþùèì
â ïåðåñå÷åíèè;
òî÷êè, â êîòîðûõ
ëèíèÿ ïåðåñå÷åíèÿ
ïåðåñåêàåò ëèíèþ
âèäèìîãî êîíòóðà
ïîâåðõíîñòè
îòíîñèòåëüíî
òîé èëè èíîé ïëîñêîñòè
ïðîåêöèé (ïðîåêöèè
ýòèõ òî÷åê ïðèíàäëåæàò
î÷åðêîâîé ëèíèè
ñîîòâåòñòâóþùåé
ïðîåêöèè ïîâåðõíîñòè
è íàçûâàþòñÿ
î÷åðêîâûìè, îíè
äåëÿò ñîîòâåòñòâóþùóþ
èì ïðîåêöèþ ëèíèè
ïåðåñå÷åíèÿ íà
âèäèìóþ è íåâèäèìóþ,
èõ åùå íàçûâàþò
òî÷êàìè ñìåíû
âèäèìîñòè), íî
íå êàæäàÿ èç î÷åðêîâûõ
ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé
ñìåíû âèäèìîñòè;
ýêñòðåìàëüíûå
òî÷êè, òî åñòü
òî÷êè íàèáîëåå
è íàèìåíåå óäàëåííûå
îò òîé èëè èíîé
ïëîñêîñòè ïðîåêöèé
(ïî îòíîøåíèþ
ê ãîðèçîíòàëüíîé
ïëîñêîñòè ïðîåêöèé
ýòî âûñøàÿ è íèçøàÿ
òî÷êè).
Âûáðàòü
âñïîìîãàòåëüíûå
ïëîñêîñòè - ïîñðåäíèêè
äëÿ ïîñòðîåíèÿ
ïðîìåæóòî÷íûõ
òî÷åê. Îñíîâíûì
ñïîñîáîì ïîñòðîåíèÿ
ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ
ïîâåðõíîñòåé
ÿâëÿåòñÿ ñïîñîá
âñïîìîãàòåëüíûõ
ïîâåðõíîñòåé.
Ñóùíîñòü åãî
çàêëþ÷àåòñÿ
â òîì, ÷òî êàæäàÿ
èç èñêîìûõ òî÷åê
ðàññìàòðèâàåòñÿ
êàê ðåçóëüòàò
ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ
ëèíèé, îäíà èç
êîòîðûõ ðåçóëüòàò
ïåðåñå÷åíèÿ âñïîìîãàòåëüíîé
ïîâåðõíîñòè
ñ îäíîé èç çàäàííûõ,
äðóãàÿ - òîé æå
âñïîìîãàòåëüíîé
ïîâåðõíîñòè
ñ äðóãîé çàäàííîé.
Âûáîð âèäà
è ïîëîæåíèÿ âñïîìîãàòåëüíîé
ñåêóùåé ïëîñêîñòè
îïðåäåëÿåòñÿ
â îñíîâíîì ñëåäóþùèìè
ñîîáðàæåíèÿìè:
íåîáõîäèìîñòüþ
îïðåäåëåíèÿ ïîëîæåíèÿ
ðÿäà îïîðíûõ òî÷åê,
òàê êàê îïîðíûå
òî÷êè ðàñïîëàãàþòñÿ
íà âïîëíå îïðåäåëåííûõ
ëèíèÿõ, òî âñïîìîãàòåëüíûå
ïîâåðõíîñòè
âûáðàòü òàê, ÷òîáû
îíè ïåðåñåêëè
çàäàííûå èìåííî
ïî ýòèì ëèíèÿì
(ñëåäóåò îïðåäåëèòü
âíèìàíèå, ÷òî
ïðè ðåøåíèè êîíêðåòíûõ
çàäà÷ êàæäàÿ
èç îïîðíûõ òî÷åê
òðåáóåò ñîñòàâëåíèÿ
ñâîåãî îñîáîãî
àëãîðèòìà ïîñòðîåíèÿ,
â òî âðåìÿ êàê
ïðîìåæóòî÷íûå
òî÷êè ìîãóò áûòü
ïîñòðîåíû íà
îñíîâàíèè îäíîãî
è òîãî æå àëãîðèòìà);
ëþáàÿ èç ïðîâåäåííûõ
âñïîìîãàòåëüíûõ
ñåêóùèõ ïëîñêîñòåé
äîëæíà ïåðåñåêàòü
êàæäóþ èç çàäàííûõ
ïî ëèíèÿì, ïðîåêöèè
êîòîðûõ äîëæíû
áûòü ãðàôè÷åñêè
ïðîñòûìè (ïðÿìàÿ,
îêðóæíîñòü); âñå
âñïîìîãàòåëüíûå
ïîâåðõíîñòè
äîëæíû ïðîâîäèòüñÿ
â ïðåäåëàõ çîíû
âîçìîæíîãî ðàñïîëîæåíèÿ
(çîíà íàëîæåíèÿ)
ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ.
Âñïîìîãàòåëüíûå
ñåêóùèå ïëîñêîñòè-ïîñðåäíèêè
÷àñòî âûáèðàþò
ïðîåöèðóþùèìè
èëè âðàùàþùèìè
âîêðóã ïðÿìîé
(ñîáñòâåííîé
èëè íåñîáñòâåííîé).
Èç ïðîåöèðóþùèõ
ïëîñêîñòåé ÷àùå
èñïîëüçóþò ïëîñêîñòè
óðîâíÿ. Ïðè îïðåäåëåíèè
ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ
äâóõ ïîâåðõíîñòåé
âðàùåíèÿ, ïðè èõ
îñîáîì âçàèìíîì
ïîëîæåíèè, íå
âñåãäà ðàöèîíàëüíî
ïðèìåíÿòü âñïîìîãàòåëüíûå
ñåêóùèå ïëîñêîñòè,
à èñïîëüçîâàòü
ñïîñîá âñïîìîãàòåëüíûõ
ñåêóùèõ ñôåð
(êîíöåíòðè÷åñêèõ
è ýêñöåíòðè÷åñêèõ).
Êîíöåíòðè÷åñêèå
ñôåðû-ïîñðåäíèêè
ïðèìåíÿþòñÿ äëÿ
îïðåäåëåíèÿ ëèíèè
ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ
ïîâåðõíîñòåé
âðàùåíèÿ ñ ïåðåñåêàþùèìèñÿ
îñÿìè. Êàæäàÿ
èç ýòèõ ïîâåðõíîñòåé
èìååò ñåìåéñòâî
îêðóæíîñòåé,
ÿâëÿþùèõñÿ ëèíèÿìè
ñå÷åíèÿ èõ êîíöåíòðè÷åñêèìè
ñôåðàìè.
Îáúåäèíèòü
ïîëó÷åííûå òî÷êè
â ëèíèþ ïåðåñå÷åíèÿ.
Îáúåäèíåíèå
íàéäåííûõ òî÷åê
â ëèíèþ ïåðåñå÷åíèÿ
ëåã÷å âñåãî ïðîèçâîäèòñÿ
ïóòåì îáõîäà.
Îïðåäåëèòü
âèäèìîñòü ëèíèè
ïåðåñå÷åíèÿ è âèäèìîñòü
ïîâåðõíîñòåé
íà ïëîñêîñòÿõ
ïðîåêöèé.
Äëÿ íàãëÿäíîñòè
÷åðòåæà íà ïëîñêîñòÿõ
ïðîåêöèé îïðåäåëÿþò
âèäèìîñòü ëèíèè
ïåðåñå÷åíèÿ è
ñàìèõ ïîâåðõíîñòåé.
Ïðè ýòîì âèäèìîé
òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ
ÿâëÿåòñÿ òî÷êà,
ïðèíàäëåæàùàÿ
âèäèìûì ÷àñòÿì
îáåèõ ïîâåðõíîñòåé.
6.2.1 Ïîñòðîåíèå
ëèíèé ïåðåñå÷åíèÿ
ïîâåðõíîñòè
ñ ïîìîùüþ âñïîìîãàòåëüíûõ
ñåêóùèõ ïëîñêîñòåé
Ïðè ðåøåíèè
çàäà÷ íà ïîñòðîåíèå
ëèíèé ïåðåñå÷åíèÿ
ïîâåðõíîñòåé
âñïîìîãàòåëüíûå
ñåêóùèå ïëîñêîñòè
îáû÷íî âûáèðàþò
â âèäå ïëîñêîñòåé
óðîâíÿ (ïëîñêîñòåé,
ïàðàëëåëüíûõ
ïëîñêîñòÿì ïðîåêöèé).
Ëèíèè äâóõ ïîâåðõíîñòåé
èìåþò õàðàêòåðíûå
(îïîðíûå, ãëàâíûå)
òî÷êè, ñ êîòîðûõ
è ñëåäóåò íà÷èíàòü
ïîñòðîåíèå ëèíèé
ïåðåñå÷åíèÿ. Îíè
ïîçâîëÿþò âèäåòü,
â êàêèõ ãðàíèöàõ
ìîæíî èçìåíÿòü
ïîëîæåíèå âñïîìîãàòåëüíûõ
ñåêóùèõ ïëîñêîñòåé
äëÿ îïðåäåëåíèÿ
ïðîèçâîëüíûõ
òî÷åê.
Ñïîñîá îïðåäåëåíèÿ
ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ
ïîâåðõíîñòè
ñ ïîìîùüþ ïëîñêîñòåé,
- îñü êîòîðîãî
- ñîáñòâåííàÿ
ïðÿìàÿ.
Ýòîò ñïîñîá
ïðèìåíÿåòñÿ äëÿ
ïîñòðîåíèÿ ëèíèé
ïåðåñå÷åíèÿ:
à) äâóõ êîíè÷åñêèõ
ïîâåðõíîñòåé;
á) êîíè÷åñêîé
è öèëèíäðè÷åñêîé
ïîâåðõíîñòè;
â) êîíè÷åñêîé
ïîâåðõíîñòè
ñ ïîâåðõíîñòüþ
ïèðàìèäû èëè
ïðèçìû;
ã) äâóõ öèëèíäðè÷åñêèõ
ïîâåðõíîñòåé;
ä) öèëèíäðè÷åñêîé
ïîâåðõíîñòè
ñ ïîâåðõíîñòüþ
ïèðàìèäû èëè
ïðèçìû.
Ðàññìîòðèì
íåñêîëüêî ñëåäóþùèõ
çàäà÷.
. Ïîñòðîèòü
ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ
öèëèíäðà è êîíóñà,
îñè êîòîðûõ
ïåðåñåêàþòñÿ
(ðèñóíîê 6.1).
Îáå äàííûå
ïîâåðõíîñòè
ðàññå÷åíû âñïîìîãàòåëüíûìè
ïëîñêîñòÿìè
I2, II2, III2 è ò.ä., êîòîðûå
ïàðàëëåëüíû ïëîñêîñòè
Ï1. Íà ãîðèçîíòàëüíîé
ïðîåêöèè êîíóñà
ïîëó÷èòñÿ ðÿä
êîíöåíòðè÷åñêèõ
îêðóæíîñòåé,
îáîçíà÷åííûõ
òåìè æå íîìåðàìè,
à íà ïðîåêöèè
öèëèíäðà - ðÿä îáðàçóþùèõ.
 ïåðåñå÷åíèè
îáðàçóþùèõ ñ
ñîîòâåòñòâóþùèìè
îêðóæíîñòÿìè
îïðåäåëÿþòñÿ
ãîðèçîíòàëüíûå
ïðîåêöèè òî÷åê
èñêîìîãî ñå÷åíèÿ
à, â, ñ è ïðî÷èå,
ïî êîòîðûì çàòåì
íàõîäÿò èõ ôðîíòàëüíûå
ïðîåêöèè.
Íàéäåííûå
ïðîåêöèè òî÷åê
ñîåäèíÿþò ïëàâíûìè
êðèâûìè. Íåâèäèìûå
÷àñòè ëèíèè
ïåðåñå÷åíèÿ ïðîâåäåíû
øòðèõàìè íà îáåèõ
ïðîåêöèÿõ.
Ãðàíèöåé ìåæäó
âèäèìîé è íåâèäèìîé
÷àñòÿìè ëèíèé
ïåðåñå÷åíèÿ ÿâëÿþòñÿ
êðàéíèå îáðàçóþùèå
öèëèíäðà.
Ðèñóíîê 6.1
Òàêèå íàèáîëåå
õàðàêòåðíûå òî÷êè
ëèíèé ïåðåñå÷åíèÿ
êðèâûõ ïîâåðõíîñòåé
ñëåäóåò ñòðîèòü
â ïåðâóþ î÷åðåäü,
ò.å. íà÷èíàòü
ðàáîòó ñ îïðåäåëåíèÿ
òî÷åê, â êîòîðûõ
êðàéíèå (î÷åðêîâûå)
îáðàçóþùèå êàæäîé
ïîâåðõíîñòè,
îãðàíè÷èâàþùèå
êîíòóð âèäèìîñòè
íà Ï1, Ï2, ïåðåñåêàþò
äðóãóþ ïîâåðõíîñòü.
Ïîñëå ýòîãî íàõîäÿò
ïðîåêöèè íåñêîëüêèõ
ïðîìåæóòî÷íûõ
òî÷åê.
Åñëè êðèâàÿ
ïîâåðõíîñòü ïåðåñåêàåòñÿ
ñ ìíîãîãðàííèêîì,
òî êîíòóð ëèíèè
ïåðåñå÷åíèÿ ñîñòîèò
èç íåñêîëüêèõ
êðèâûõ ÷àñòåé,
ïåðåñåêàþùèõñÿ
ìåæäó ñîáîé íà
ðåáðàõ ìíîãîãðàííèêà,
ñëåäîâàòåëüíî,
â ýòèõ òî÷êàõ
êðèâîëèíåéíûé
êîíòóð èìååò
ðåçêèå èçëîìû.
Ýòè õàðàêòåðíûå
òî÷êè ñëåäóåò
îïðåäåëÿòü â ïåðâóþ
î÷åðåäü. Íà ðèñóíêå
6.2 òàêîâûìè ÿâëÿþòñÿ
òî÷êè (11,12), (21, 22),
(31, 32), (41, 42), â êîòîðûõ
ðåáðà ïðèçìû ïðîíèçûâàþò
ïîâåðõíîñòü êîíóñà.
 îáîèõ ðàññìîòðåííûõ
ïðèìåðàõ ëåãêî
âûáðàòü âñïîìîãàòåëüíûå
ñåêóùèå ïëîñêîñòè
òàê, ÷òîáû â ïåðåñå÷åíèè
èõ ñ êàæäîé èç
äàííûõ ïîâåðõíîñòåé
ïîëó÷èëèñü ïðîñòûå
ëèíèè - îêðóæíîñòè
èëè ïðÿìûå. Îñîáåííîñòü
ýòèõ ïðèìåðîâ
ñîñòîÿëà â òîì,
÷òî îäíà èç äàííûõ
ïîâåðõíîñòåé
áûëà ïðîåöèðóþùåé
(ò.å. åå îáðàçóþùèå
èëè ðåáðà áûëè
ïåðïåíäèêóëÿðíû
ê îäíîé èç ïëîñêîñòåé
ïðîåêöèé).
Ðèñóíîê 6.2
 òàêèõ ñëó÷àÿõ
îäíà èç ïðîåêöèé
èñêîìîé ëèíèè
óæå èìååòñÿ íà
ýïþðå: îíà ñîâïàäàåò
ñ ñîîòâåòñòâóþùåé
ïðîåêöèåé òîé
èç äàííûõ ïîâåðõíîñòåé,
êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ
ïðîåöèðóþùåé
(íàïðèìåð, ñ ïðîôèëüíîé
öèëèíäðà íà ðèñóíêå
6.1 èëè ñ ôðîíòàëüíîé
ðèñóíêå 6.2).
Âñÿ çàäà÷à,
â ñóùíîñòè, ñâîäèòñÿ
ê íàõîæäåíèþ
ïî îäíîé èçâåñòíîé
çàðàíåå ïðîåêöèè
ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ
äðóãèõ åå ïðîåêöèé.
Çàòåì íàéäåíû
åùå äâå õàðàêòåðíûå
òî÷êè (51, 52) è (61, 62), â êîòîðûõ
êðàéíÿÿ îáðàçóþùàÿ
êîíóñà ïåðåñåêàåò
ãðàíè ïðèçìû.
Ïîñëå ýòîãî ìîæíî
íàéòè ïðîåêöèè
íåñêîëüêèõ ïðîìåæóòî÷íûõ
òî÷åê, â êîòîðûõ
äðóãèå îáðàçóþùèå
êîíóñà ïåðåñåêàþò
ãðàíè ïðèçìû
(71, 72; 81, 82; 91, 92; 101, 102).
Ïðèìåð. Ïîñòðîèòü
ëèíèþ ïåðåñå÷åíèÿ
äâóõ ïîâåðõíîñòåé
- êîíè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè
Δ è ñôåðû Ò (ðèñóíîê
6.3).
Çàäàííûå ïîâåðõíîñòè
èìåþò îáùóþ (ôðîíòàëüíóþ)
ïëîñêîñòü ñèììåòðèè,
îïðåäåëÿåìóþ
îñüþ êîíóñà i
è îñüþ ñôåðû i
′.
Ïîñòðîåíèå
ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ
íà÷íåì ñ îïðåäåëåíèÿ
îïîðíûõ òî÷åê.
Ñíà÷àëà îòìå÷àåì
î÷åâèäíûå îáùèå
1 è 7 òî÷êè ïîâåðõíîñòåé
â ïåðåñå÷åíèè
èõ ãëàâíûõ ìåðèäèàíîâ
δ ∩ τ, òàê êàê
ïîâåðõíîñòè
èìåþò îáùóþ ôðîíòàëüíóþ
ïëîñêîñòü ñèììåòðèè
Ô (Ô1). Ôðîíòàëüíûå
ïðîåêöèè òî÷åê
12 (72) = δ2 ∩ τ2
Ãîðèçîíòàëüíûå
ïðîåêöèè òî÷åê
11= 1211∩τ1, 71= 7271∩τ1. Ýòè îïîðíûå
òî÷êè ÿâëÿþòñÿ
íàèâûñøåé 1 è
íàèíèçøåé 7 òî÷êàìè
ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ,
à òàêæå òî÷êàìè
âèäèìîñòè íà
ïëîñêîñòè Ï2.
Áðàòü âñïîìîãàòåëüíûå
ôðîíòàëüíûå ïëîñêîñòè
ïàðàëëåëüíûå
Ï äëÿ ïîñòðîåíèÿ
ñëåäóþùèõ òî÷åê
íåóäîáíî, òàê
êàê îíè áóäóò
ïåðåñåêàòü êîíóñ
ïî ãèïåðáîëàì.
Ãðàôè÷åñêè ïðîñòûå
ëèíèè (îêðóæíîñòè
ïàðàëëåëåé) íà
äàííûõ ïîâåðõíîñòÿõ
ïîëó÷àþòñÿ îò
ïåðåñå÷åíèÿ èõ
ãîðèçîíòàëüíûìè
ïëîñêîñòÿìè
óðîâíÿ Ã. Ïåðâóþ
òàêóþ âñïîìîãàòåëüíóþ
ïëîñêîñòü Ã (Ã2)
áåðåì íà óðîâíå
ýêâàòîðà ñôåðû
h (h2). Ýòà ïëîñêîñòü
ïåðåñåêàåò êîíóñ
ïî ïàðàëëåëè n.
 ïåðåñå÷åíèè
n è h, ïàðàëëåëåé
êîíóñà è ñôåðû,
íàõîäÿòñÿ òî÷êè
âèäèìîñòè ëèíèè
ïåðåñå÷åíèÿ íà
ïëîñêîñòè Ï1
h1∩n1 = 41 (4′1);
4142 ∩h2 (èëè n2)
= 42 (4′2).
Ïðîìåæóòî÷íûå
òî÷êè 6 è 6′ ëèíèè
ïåðåñå÷åíèÿ ïîñòðîåíû
ñ ïîìîùüþ ïëîñêîñòè
Ã′ (Ã′2), ïåðåñåêàþùåé
ïîâåðõíîñòè
ïî ïàðàëëåëÿì
h′ è m.
′1 ∩m1 = 61
(6′1); 6162 ∩ h′2
= 62 (6′2).
Àíàëîãè÷íî
ïîñòðîåíû òî÷êè
2 (2') è 3 (3') ñ ïîìîùüþ
âñïîìîãàòåëüíûõ
ïëîñêîñòåé Ã''
(Ã2'') è Ã"' (Ã2'").
Âèäèìîñòü
çàäàííûõ ïîâåðõíîñòåé
è òî÷åê ëèíèè
ïåðåñå÷åíèÿ íà
ïëîñêîñòè ïðîåêöèé
Ï2 îïðåäåëÿåò
ôðîíòàëüíàÿ ïëîñêîñòü
Ô (Ô1). Ïëîñêîñòü
Ô äåëèò ïîâåðõíîñòè
êîíóñà è ñôåðû
íà äâå ñèììåòðè÷íûå
÷àñòè. Òå ÷àñòè
çàäàííûõ ïîâåðõíîñòåé,
êîòîðûå ðàñïîëîæåíû
ïåðåä ïëîñêîñòüþ
Ô íà ïëîñêîñòè
Ï2 âèäèìû, à çíà÷èò
âèäèìû è òî÷êè
2' 3', 4', 5', 6' èì ïðèíàäëåæàùèå.
Òî÷êè 2, 3, 4, 5, 6 - íåâèäèìû
íà Ï2. Òàê êàê
ëèíèÿ ïåðåñå÷åíèÿ
- êðèâàÿ, ñèììåòðè÷íàÿ
îòíîñèòåëüíî
ïëîñêîñòè Ô, òî
íà ïëîñêîñòè
Ï2 âèäèìàÿ åå
÷àñòü è íåâèäèìàÿ
ñîâïàäàþò. Èçîáðàæàåì
íà ÷åðòåæå âèäèìóþ
÷àñòü ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ
ñïëîøíîé îñíîâíîé
ëèíèåé. Ãðàíèöû
âèäèìîñòè - òî÷êè
1 è 7. Âèäèìîñòü
çàäàííûõ ïîâåðõíîñòåé
è ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ
íà ïëîñêîñòè
ïðîåêöèé Ï1,îïðåäåëÿåò
ïëîñêîñòü Ã (Ã2)
è ïîâåðõíîñòü
ñôåðû: òà ÷àñòü
ñôåðû, êîòîðàÿ
ðàñïîëîæåíà íàä
ïëîñêîñòüþ Ã
íà Ï1, áóäåò âèäèìà,
çíà÷èò è òî÷êè
1, 2', 2, 3, 3' íà Ï1 âèäèìû,
êàê åé ïðèíàäëåæàùèå.
Òî÷êè 5, 5', 6, 6', - íåâèäèìû
íà Ï1. Ãðàíèöû
âèäèìîñòè - òî÷êè
4 è 4'.
Ñîåäèíÿåì
îäíîèìåííûå
ïðîåêöèè ïîñòðîåííûõ
òî÷åê ñ ó÷åòîì
èõ âèäèìîñòè
ïëàâíûìè êðèâûìè
è ïîëó÷àåì ïðîåêöèè
èñêîìîé ëèíèè
ïåðåñå÷åíèÿ.
Ðèñóíîê 6.3
ñïîñîáîì êîíöåíòðè÷åñêèõ
ñôåð;
ñïîñîáîì ýêñöåíòðè÷åñêèõ
ñôåð.
Ðàññìîòðèì
ïåðâûé ñïîñîá
ïîñòðîåíèÿ ëèíèè
ïåðåñå÷åíèÿ. Ýòîò
ñïîñîá ïðèìåíÿåòñÿ
äëÿ ïîñòðîåíèÿ
ëèíèé ïåðåñå÷åíèÿ
äâóõ ïîâåðõíîñòåé
âðàùåíèÿ, îñè
êîòîðûõ ïåðåñåêàþòñÿ.
Äëÿ óïðîùåíèÿ
ãðàôè÷åñêîãî
ðåøåíèÿ íåîáõîäèìî,
÷òîáû ïëîñêîñòü,
îïðåäåëÿåìàÿ
îñÿìè ïîâåðõíîñòè
âðàùåíèÿ, áûëà
ïàðàëëåëüíîé
êàêîé-ëèáî ïëîñêîñòè
ïðîåêöèè.
Ïðèìåð. Ïîñòðîèòü
ëèíèþ ïåðåñå÷åíèÿ
ïîâåðõíîñòè
êîíóñà Δ è öèëèíäðè÷åñêîé
ïîâåðõíîñòè
Ò ñ ïåðåñåêàþùèìèñÿ
âî ôðîíòàëüíîé
ïëîñêîñòè Ô (Ô1)
îñÿìè âðàùåíèÿ
i i′ (ðèñóíîê 6.4). Çàäàííûå
ïîâåðõíîñòè
Δ è Ò èìåþò îáùóþ
ôðîíòàëüíóþ ïëîñêîñòü
ñèììåòðèè Ô (Ô1).
Ñëåäîâàòåëüíî,
ãëàâíûå ìåðèäèàíû
ýòèõ ïîâåðõíîñòåé
ïåðåñåêàþòñÿ
è äàþò â ñâîåì
ïåðåñå÷åíèè
òî÷êè âèäèìîñòè
ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ
íà ïëîñêîñòè
Ï2 èëè ñàìóþ
âûñîêóþ 1 è ñàìóþ
íèçêóþ 7 òî÷êè.
Ðèñóíîê 6.4
 äàííîì ïðèìåðå
âûïîëíåíû óñëîâèÿ,
ïîçâîëÿþùèå ïðèìåíåíèå
âñïîìîãàòåëüíûõ
ñåêóùèõ ñôåð
äëÿ ïîñòðîåíèÿ
òî÷åê ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ.
Îñè ïîâåðõíîñòåé
âðàùåíèÿ ïåðåñåêàþòñÿ
â òî÷êå 0 (01; 02),
êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ
öåíòðîì âñïîìîãàòåëüíûõ
ñåêóùèõ ñôåð.
Ðàäèóñ ñôåð èçìåíÿåòñÿ
â ïðåäåëàõ Rmin< R
<Rmax. Ðàäèóñ ìàêñèìàëüíîé
ñôåðû îïðåäåëÿåòñÿ
ðàññòîÿíèåì
îò öåíòðà 0 äî íàèáîëåå
óäàëåííîé òî÷êè
1 (Rmax = 0212).
Ðàäèóñ ìèíèìàëüíîé
ñôåðû îïðåäåëÿåòñÿ
êàê ðàäèóñ ñôåðû,
êàñàþùåéñÿ îäíîé
ïîâåðõíîñòè
è ïåðåñåêàþùåé
äðóãóþ ïîâåðõíîñòü
ïî îêðóæíîñòè.
 äàííîì ïðèìåðå
ñôåðà ðàäèóñà
R êàñàåòñÿ ïîâåðõíîñòè
êîíóñà ïî îêðóæíîñòè
h (h2, h1) è ïåðåñåêàåò
ïîâåðõíîñòü öèëèíäðà
ïî îêðóæíîñòè
n (n1, n2). Ïëîñêîñòè
ýòèõ îêðóæíîñòåé
ïåðïåíäèêóëÿðíû
îñÿì âðàùåíèÿ
ïîâåðõíîñòåé.
 ïåðåñå÷åíèè
îêðóæíîñòåé
h è n îòìå÷àåì
òî÷êè 4 è 4', ïðèíàäëåæàùèå
ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ
ïîâåðõíîñòåé:
2 (4′2) = h2∩n2;
41 (4′1) =42 41∩h1.
Ïðîìåæóòî÷íàÿ
ñôåðà ðàäèóñà
R ïåðåñåêàåò ïîâåðõíîñòè
Δ è Ò ïî îêðóæíîñòÿì
h′1 è m, â ïåðåñå÷åíèè
êîòîðûõ îïðåäåëÿþòñÿ
òî÷êè 3 è 3'.32 (3′2)
= h′2∩m2; 31 (3′1)
=32 31∩h1. Àíàëîãè÷íî
îïðåäåëåíû òî÷êè
6 (6') è 2 (2′).
Îïðåäåëèì âèäèìîñòü
òî÷åê ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ
íà ïëîñêîñòè
ïðîåêöèé Ï2.
Ïëîñêîñòüþ
âèäèìîñòè ÿâëÿåòñÿ
ïëîñêîñòü Ô. Îíà
äåëèò êðèâóþ íà
äâå ñèììåòðè÷íûå
÷àñòè, êîòîðûå
íà Ï2 ñîâïàäàþò.
Âèäèìàÿ ÷àñòü
ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ
1, 2′, 3′, 4′, 5′, 6′, 7 - çàêðûâàåò
íåâèäèìóþ 1, 2, 3, 4,
5, 6,7. Íà ïëîñêîñòè
Ï2 èçîáðàæàåì
âèäèìóþ ÷àñòü
êðèâîé ñïëîøíîé
îñíîâíîé ëèíèåé.
Ãðàíèöû âèäèìîñòè
- òî÷êè 1 è 7.
Âèäèìîñòü
íà ïëîñêîñòè
ïðîåêöèé Ï1 îïðåäåëÿåò
ïîâåðõíîñòü öèëèíäðà.
Ïëîñêîñòü Σ (Σ2) äåëèò
ïîâåðõíîñòü öèëèíäðà
íà äâå ÷àñòè.
Òà ÷àñòü ïîâåðõíîñòè
öèëèíäðà, êîòîðàÿ
ðàñïîëîæåíà íàä
ïëîñêîñòüþ Σ, íà ïëîñêîñòè
Ï1 âèäèìà, à çíà÷èò
è òî÷êè 4, 3, 2, 1, 2′, 3′,4′
âèäèìû, êàê åé
ïðèíàäëåæàùèå.
Ãðàíèöû âèäèìîñòè
òî÷êè 5 è 5'. Òî÷êè
51, 61, 71, 6'1,5'1 ñîåäèíÿåì
ëèíèåé íåâèäèìîãî
êîíòóðà. Ñîåäèíÿÿ
îäíîèìåííûå
ïðîåêöèè ïîñòðîåííûõ
òî÷åê ñ ó÷åòîì
èõ âèäèìîñòè,
ïîëó÷àåì ïðîåêöèè
ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ
ïîâåðõíîñòåé.
Ñïîñîá ýêñöåíòðè÷åñêèõ
ñåêóùèõ ñôåð
Ñïîñîá ýêñöåíòðè÷åñêèõ
ñåêóùèõ ñôåð
ïðèìåíÿåòñÿ, êîãäà
îäíà èç îñåé
- ïðîåöèðóþùàÿ
ïðÿìàÿ, âòîðàÿ
ëèíèÿ óðîâíÿ.
Ïðèìåð. Ïîñòðîèòü
ëèíèþ ïåðåñå÷åíèÿ
ïîâåðõíîñòè
êîíóñà âðàùåíèÿ
Ô è ïîâåðõíîñòè
òîðà Ô', èìåþùèõ
îáùóþ ôðîíòàëüíóþ
ïëîñêîñòü ñèììåòðèè.
Îñè i è i′ íå ïåðåñåêàþòñÿ
(ðèñóíîê 6.5). Îïîðíûå
òî÷êè ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ
(âûñøàÿ 1, íèçøàÿ
6) îïðåäåëÿþòñÿ
ïåðåñå÷åíèåì
ãëàâíûõ ìåðèäèàíîâ
íà ïëîñêîñòè
Ï2. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ
ñëó÷àéíûõ òî÷åê,
ïðèíàäëåæàùèõ
ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ
òîðà ñ êîíóñîì,
ìîæíî ïðèìåíèòü
âñïîìîãàòåëüíûå
ñåêóùèå ñôåðû,
öåíòðû êîòîðûõ
áóäóò ðàñïîëîæåíû
íà îñè êîíóñà.
Ñôåðû íåîáõîäèìî
ïîäáèðàòü òàê,
÷òîáû îíè ïåðåñåêàëè
òîð ïî îêðóæíîñòÿì.
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ
öåíòðà è ðàäèóñà
âñïîìîãàòåëüíîé
ñåêóùåé ñôåðû
ïðîâåäåì ïðîèçâîëüíóþ
ïëîñêîñòü Σ (Σ2), ïðîõîäÿùóþ
÷åðåç îñü òîðà
(ò. e. Σ ┴Ï2). Ïëîñêîñòü
Σ ïåðåñå÷åò òîð
ïî îêðóæíîñòè
ðàäèóñà L2,C2
ñ öåíòðîì â òî÷êå
Ñ2. ×åðåç öåíòð
Ñ2 ïðîâåäåì ïðÿìóþ
ïåðïåíäèêóëÿðíóþ
Σ è ïåðåñåêàþùóþ
îñü êîíóñà â òî÷êå
Î2, ò.å. ëèíèÿ Ñ2Î2
(êàñàòåëüíàÿ
ê îñåâîé îêðóæíîñòè
òîðà). Òî÷êà Î2
åñòü öåíòð âñïîìîãàòåëüíîé
ñåêóùåé ñôåðû,
à ïðÿìàÿ O2L2 - ðàäèóñ
ýòîé ñôåðû R. Îïðåäåëèì
ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ
âñïîìîãàòåëüíîé
ñåêóùåé ñôåðû
ñ êîíóñîì è òîðîì.
Ñ êîíóñîì ñôåðà
ïåðåñåêàåòñÿ
ïî îêðóæíîñòè,
äèàìåòð êîòîðîé
À2Â2. Ñ òîðîì
ñôåðà ïåðåñåêàåòñÿ
ïî îêðóæíîñòè,
äèàìåòð êîòîðîé
L2N2.À2Â2 ∩L2N2
= 22. Òî÷êà 22 îäíà
èç òî÷åê èñêîìîé
ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ.
Àíàëîãè÷íî ïîñòðîåíû
òî÷êè 52, 32, 42,
62.
Äëÿ ïîñòðîåíèÿ
ãîðèçîíòàëüíûõ
ïðîåêöèé òî÷åê
ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ
èñïîëüçóåì ïàðàëëåëè
òîðà, êàê ïîêàçàíî
íà ðèñóíêå 6.5, äëÿ
òî÷åê 51 è 61. Òàê
êàê òî÷êè 1 è 6 ïðèíàäëåæàò
ìåðèäèàíàì ïîâåðõíîñòåé,
íà Ï1 îíè ïðîåöèðóþòñÿ
íà ãîðèçîíòàëüíóþ
îñü òîðà è êîíóñà,
êîòîðûå ñîâïàäàþò.
Ïîëó÷åííûå
òî÷êè ñîåäèíÿåì
ñ ó÷åòîì âèäèìîñòè
ïëàâíîé êðèâîé
ëèíèåé. Íà ïëîñêîñòè
Ï1 âèäèìîñòü
ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ
îïðåäåëÿåò ïëîñêîñòü
à (Ã2). ×àñòü ëèíèè
21, 11, 2'1, - âèäèìà.
×àñòü ëèíèè 31,
41, 51, 61, 5'1, 4'1, 3'1,
- íåâèäèìà. Íà
ïëîñêîñòè Ï2
âèäèìîñòü îïðåäåëÿåò
ïëîñêîñòü Ò (Ò1).
Îòíîñèòåëüíî
ýòîé ïëîñêîñòè
ëèíèÿ ïåðåñå÷åíèÿ
- ñèììåòðè÷íàÿ
ëèíèÿ. Âèäèìàÿ
÷àñòü ëèíèè 62,
5'2, 4'2, 3'2, 22, 1'2, ñîâïàäàåò
ñ íåâèäèìîé åå
÷àñòüþ 62, 52, 42,
32, 22,12. Íà ÷åðòåæå
èçîáðàæàåì âèäèìóþ
÷àñòü ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ
ñïëîøíîé îñíîâíîé
ëèíèåé
Ðèñóíîê 6.5
6.3 Óêàçàíèÿ
ê âûïîëíåíèþ
ðàáîòû
Ëèñò ôîðìàòà
À3 (ðàñïîëîæåíèå
àëüáîìíîå) óñëîâíî
ðàçäåëÿåì íà äâå
÷àñòè.  ëåâîé
÷àñòè ëèñòà
âûïîëíÿåì çàäà÷ó
6.1, à â ïðàâîé 6.2 Ñïîñîá
íàõîæäåíèÿ ëèíèè
ïåðåñå÷åíèÿ âûáèðàåì
â çàâèñèìîñòè
îò òîãî, êàêèå
òåëà ïåðåñåêàþòñÿ.
 íàøåì ïðèìåðå
çàäà÷à 6.1 âûïîëíåíà
ñïîñîáîì êîíöåíòðè÷åñêèõ
ñôåð, ñìîòðè ïðèìåð
íà ðèñóíêå 6.4 â
ðàçäåëå 6.2.2 Çàäà÷à
6.2 âûïîëíåíà ñïîñîáîì
ýêñöåíòðè÷åñêèõ
ñôåð. Ïðèìåð ðåøåíèÿ
òàêîé çàäà÷è
ïðèâåäåí íà ðèñóíêå
6.5 â òîì æå ðàçäåëå
ïîñîáèÿ.
6.4 Êîíòðîëüíûå
âîïðîñû
Íàçâàòü îáùèé
àëãîðèòì ïåðåñå÷åíèÿ
ïîâåðõíîñòåé.
Íàçîâèòå
ñïîñîáû îïðåäåëåíèÿ
ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ
ïîâåðõíîñòåé.
Îõàðàêòåðèçóéòå
õàðàêòåðíûå òî÷êè
ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ.
Êàêàÿ ëèíèÿ
ïîëó÷àåòñÿ ïðè
ïåðåñå÷åíèè
ìíîãîãðàííûõ
ïîâåðõíîñòåé.
 êàêîì ñëó÷àå
ïåðåñå÷åíèÿ ïîâåðõíîñòåé
ïðèìåíÿåòñÿ ìåòîä
êîíöåíòðè÷åñêèõ
ñôåð.
7. Ðàñ÷åòíî-ãðàôè÷åñêàÿ
ðàáîòà ¹7"Àêñîíîìåòðè÷åñêèå
ïðîåêöèè"
Öåëü ðàáîòû íàó÷èòüñÿ
âûïîëíÿòü àêñîíîìåòðè÷åñêèå
ïðîåêöèè ïî êîìïëåêñíîìó
÷åðòåæó.
Çàäàíèå: âûïîëíèòü
àêñîíîìåòðè÷åñêóþ
ïðîåêöèþ òåëà
ñ âûåìêîé èëè
ãðóïïû ïåðåñåêàþùèõñÿ
òåë. Äàííûå äëÿ
ðàáîòû âçÿòü
ñ ÐÃÐ5 èëè ÐÃÐ 6.
Òåîðåòè÷åñêèé
ðàçäåë.
Àêñîíîìåòðè÷åñêèå
ïðîåêöèè ïðèìåíÿþòñÿ
â êà÷åñòâå âñïîìîãàòåëüíûõ
ïðîåêöèé ê êîìïëåêñíîìó
÷åðòåæó, êîãäà
òðåáóåòñÿ ïîÿñíÿþùåå
íàãëÿäíîå èçîáðàæåíèå
ôîðìû äåòàëè èëè
ïðåäìåòà.
Ñóùíîñòü
ìåòîäà àêñîíîìåòðèè
çàêëþ÷àåòñÿ
â ñëåäóþùåì: îáúåêò
îòíîñÿò ê ïðÿìîóãîëüíîé
äåêàðòîâîé ñèñòåìå
êîîðäèíàò è ïðîåöèðóþò
åãî âìåñòå ñ îñÿìè
êîîðäèíàò ïó÷êîì
ïàðàëëåëüíûõ
ëó÷åé íà íåêîòîðóþ
ïëîñêîñòü ïðîåêöèé,
íàçûâàåìóþ àêñîíîìåòðè÷åñêîé.
(Ñìîòðè ðèñóíîê
7.1) Ïîëó÷åííîå íà
íåé èçîáðàæåíèå
íàçûâàþò àêñîíîìåòðè÷åñêèì
(èëè ïðîñòî àêñîíîìåòðèÿ),
à ïðîåêöèè êîîðäèíàò
îñåé - àêñîíîìåòðè÷åñêèìè
îñÿìè êîîðäèíàò.
Ñëîâî "àêñîíîìåòðèÿ"
- ãðå÷åñêîå, ñîñòîèò
èç äâóõ ñëîâ
axon - îñü, metreo - èçìåðÿþ,
÷òî â ïåðåâîäå
îçíà÷àåò "èçìåðåíèå
ïî îñÿì".
Ðèñóíîê 7.1
 çàâèñèìîñòè
îò íàïðàâëåíèÿ
ïðîåöèðóþùèõ
ëó÷åé è èñêàæåíèÿ
ëèíåéíûõ ðàçìåðîâ
âäîëü îñåé àêñîíîìåòðè÷åñêèå
ïðîåêöèè äåëÿòñÿ
íà ïðÿìîóãîëüíûå
è êîñîóãîëüíûå.
Ïðÿìîóãîëüíûå
àêñîíîìåòðè÷åñêèå
ïðîåêöèè äàþò
áîëåå íàãëÿäíîå
èçîáðàæåíèå
è ïîýòîìó ÷àùå
ïðèìåíÿþòñÿ â
ìàøèíîñòðîåíèè.
Íà ðèñóíêå 7.2 äàíî
íàèìåíîâàíèå
âèäîâ àêñîíîìåòðè÷åñêèõ
ïðîåêöèé, ðàñïîëîæåíèå
îñåé è ïîêàçàòåëè
èñêàæåíèÿ ëèíåéíûõ
ðàçìåðîâ ïî îñÿì
â ñîîòâåòñòâèè
ñ ÃÎÑÒ 2.317.
Ïðÿìîóãîëüíûå
ïðîåêöèè èçîìåòðè÷åñêàÿ
äèìåòðè÷åñêàÿ
Êîñîóãîëüíûå
ïðîåêöèè ôðîíòàëüíàÿ
èçîìåòðè÷åñêàÿ
ãîðèçîíòàëüíàÿ
èçîìåòðè÷åñêàÿ
Ôðîíòàëüíàÿ
äèìåòðè÷åñêàÿ
Ðèñóíîê 7.2
Ïîêàçàòåëåì
èñêàæåíèÿ íàçûâàåòñÿ
îòíîøåíèå äëèí
çâåíüåâ íà àêñîíîìåòðè÷åñêîé
ïðîåêöèè ê ñîîòâåòñòâóþùåé
íàòóðàëüíîé
âåëè÷èíå çâåíà
è îíè â ñîîòâåòñòâèè
ñ îñÿìè îáîçíà÷àþòñÿ
U; V; W, åñëè U=V=W, òî ýòîò
âèä àêñîíîìåòðèè
íàçûâàåòñÿ èçîìåòðèÿ;
åñëè U=2V=W èëè 2U=V=W, òî
ýòî - äèìåòðèÿ
è åñëè U≠V ≠W≠U, òî
ýòî - òðèìåòðèÿ.
Ñëåäóåò îáðàòèòü
âíèìàíèå íà
òî, ÷òî â òåõíè÷åñêîì
÷åð÷åíèè äëÿ óïðîùåíèÿ
ïîñòðîåíèé èñêàæåíèå
ïî îñÿì íå ó÷èòûâàåòñÿ,
à ðàçìåðû ïî îñÿì
â èçîìåòðèè âûïîëíÿþòñÿ
â íàòóðàëüíóþ
âåëè÷èíó, à â äèìåòðèè
ñ ñîîòíîøåíèåì
1: 0,5: 1, òî åñòü ñàìî
èçîáðàæåíèå
â èçîìåòðèè óâåëè÷èâàåòñÿ
â 1,22 ðàçà, à äèìåòðèè
â 1,06 ðàç, îäíàêî
íàãëÿäíîñòü
ïðè ýòîì íèêàê
íå èçìåíÿåòñÿ.
7.1 Àêñîíîìåòðè÷åñêàÿ
ïðîåêöèÿ òî÷êè
è ïðÿìîé
Èçâåñòíî,
÷òî âñå ïîâåðõíîñòè
ïðåäìåòîâ ñîñòîÿò
èç ëèíèé, à ëèíèè
èç òî÷åê, ïîýòîìó
ðàññìîòðèì ïîñòðîåíèå
àêñîíîìåòðè÷åñêîé
ïðîåêöèè òî÷êè
íà ðèñóíêå 7.3 Òî÷êà
À çàäàíà ñâîèìè
êîîðäèíàòàìè
X,Y è Z.
Ðèñóíîê 7.3
Àêñîíîìåòðè÷åñêàÿ
ïðîåêöèÿ îòðåçêà
ìîæåò áûòü ëåãêî
ïîñòðîåíà ïî äâóì
òî÷êàì (êîíöàì
ýòîãî îòðåçêà).
7.2 Àêñîíîìåòðè÷åñêèå
ïðîåêöèè ïëîñêèõ
ôèãóð è ãåîìåòðè÷åñêèõ
òåë
Íà ïðèìåðå,
èçîáðàæåííîì
íà ðèñóíêå 7.4 ðàññìîòðèì
ïîñòðîåíèå ïëîñêîé
ôèãóðû íà òðåõ
ïëîñêîñòÿõ ïðîåêöèé.
Äëÿ óïðîùåíèÿ
ïîñòðîåíèé ñ÷èòàåì,
÷òî ôèãóðà ðàñïîëîæåíà
â ïëîñêîñòÿõ
Ï1, Ï2, è Ï3.
Ðèñóíîê 7.4
Íà ïðèìåðå, èçîáðàæåííîì
íà ðèñóíêå 7.5, ðàññìîòðèì
ïîñòðîåíèå ïðÿìîóãîëüíîé
èçîìåòðè÷åñêîé
ïðîåêöèè ïðèçìû
íà òðåõ ïëîñêîñòÿõ
ïðîåêöèé. Åñëè
îñíîâàíèåì ïðèçìû
ÿâëÿåòñÿ ïðàâèëüíûé
ìíîãîóãîëüíèê,
íàïðèìåð øåñòèóãîëüíèê,
òî ïîñòðîåíèå
âåðøèí îñíîâàíèÿ
ïî êîîðäèíàòàì
ìîæíî óïðîñòèòü,
ïðîâåäÿ îäíó èç
îñåé ÷åðåç öåíòð
îñíîâàíèÿ. Ïîñòðîèâ
èçîìåòðèþ îñíîâàíèÿ
ïðèçìû, èç âåðøèí
åãî îñíîâàíèÿ
ïðîâîäèì ïðÿìûå,
ïàðàëëåëüíûå
ñîîòâåòñòâóþùèì
îñÿì ; ; (â çàâèñèìîñòè
îò òîãî, êàê ðàñïîëîæåíà
ïðèçìà) è íà ýòèõ
ïðÿìûõ îò âåðøèí
îòêëàäûâàåì
âûñîòó ïðèçìû,
òåì ñàìûì ïîëó÷àÿ
èçîìåòðèþ øåñòè
òî÷åê âåðøèí
äðóãîãî îñíîâàíèÿ.
Äàëüíåéøåå ïîñòðîåíèå
ñâîäèòñÿ ê òîìó,
÷òî îòäåëÿåì
âèäèìûå ëèíèè
îò íåâèäèìûõ
è íàâîäèì ïîëó÷åííîå
èçîáðàæåíèå.
Ðèñóíîê 7.5
Íà ðèñóíêå
7.6 ïîêàçàíî âûïîëíåíèå
èçîìåòðèè ïðàâèëüíîé
øåñòèãðàííîé
ïèðàìèäû, çàäàííîé
âûñîòû. Ðèñóåì
èçîìåòðè÷åñêèå
îñè, ïðè÷åì íà÷àëî
èõ ïîìåùàåì â
öåíòð øåñòèãðàííèêà
è âûïîëíÿåì èçîìåòðèþ
íèæíåãî îñíîâàíèÿ.
Äàëüøå îò öåíòðà
îòêëàäûâàåì
ââåðõ âûñîòó
ïèðàìèäû è îòìå÷àåì
òî÷êó, ñîåäèíÿåì
åå ñ âåðøèíàìè
íèæíåãî îñíîâàíèÿ.
Ñïëîøíîé òîëñòîé
ëèíèåé îáâîäèì
âèäèìûé êîíòóð,
ëèíèè íåâèäèìîãî
êîíòóðà èçîáðàæàåì
øòðèõîâîé.
Ðèñóíîê 7.6
 òàêîé æå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
âûïîëíÿþòñÿ àêñîíîìåòðè÷åñêèå
ïðîåêöèè öèëèíäðîâ
è êîíóñîâ (ñìîòðè
ðèñóíîê 7.7). Ïðè ýòîì
ïðèõîäèòñÿ ðèñîâàòü
ýëëèïñû, â âèäå
êîòîðûõ îáû÷íî
ïðîåöèðóþòñÿ
îêðóæíîñòè.
Ðèñóíîê 7.7 - Èçîìåòðèÿ
öèëèíäðà è êîíóñà
ñ òî÷êîé À íà
ïîâåðõíîñòè.
7.3 Ïðÿìîóãîëüíàÿ
èçîìåòðè÷åñêàÿ
ïðîåêöèÿ îêðóæíîñòè
Åñëè ïîñòðîèòü
èçîìåòðè÷åñêóþ
ïðîåêöèþ êóáà
(ñòîðîíà ðàâíà
D), â ãðàíè êîòîðîãî
âïèñàíû îêðóæíîñòè
äèàìåòðà D, òî êâàäðàòíûå
ãðàíè êóáà áóäóò
èçîáðàæàòüñÿ
â âèäå ðîìáîâ,
à îêðóæíîñòè
â âèäå ýëëèïñîâ
(ñìîòðè ðèñóíîê
7.8). Ñëåäóåò çàïîìíèòü,
÷òî ìàëàÿ îñü
êàæäîãî ýëëèïñà
âñåãäà äîëæíà
áûòü ïåðïåíäèêóëÿðíà
áîëüøîé îñè. Áîëüøèå
îñè âñåõ òðåõ
ýëëèïñîâ íàïðàâëåíû
ïî áîëüøèì äèàãîíàëÿì
ðîìáîâ. Ïðè ïîñòðîåíèè
èçîìåòðè÷åñêîé
ïðîåêöèè îêðóæíîñòè
áåç ñîêðàùåíèé
ïî îñÿì U=V=W=1 äëèíà
áîëüøîé îñè ýëëèïñà
áåðåòñÿ 1,22 D, à ìàëîé
0,71 D.
Ðèñóíîê 7.8
Ïðèìå÷àíèå:
âìåñòî ýëëèïñîâ,
ðåêîìåíäóåòñÿ
ïðèìåíÿòü îâàëû,
î÷åð÷åííûå äóãàìè
îêðóæíîñòåé
(ðèñóíîê 7.9).
7.4 Èçîìåòðèÿ
øàðà (ðèñóíîê
7.10)
Èçîìåòðèÿ øàðà
âûïîëíÿåòñÿ ñëåäóþùèì
îáðàçîì: èç íàìå÷åííîãî
öåíòðà ïðîâîäèì îêðóæíîñòü,
äèàìåòð êîòîðîé
ðàâåí 1,22 D (D äèàìåòð
øàðà) - ýòî áóäåò
èçîáðàæåíèå
øàðà â èçîìåòðèè.
Åñëè íåîáõîäèìî
ïîñòðîèòü ïîëîâèíó,
÷åòâåðòü èëè
òðè ÷åòâåðòè
øàðà, òî íåîáõîäèìî
ñíà÷àëà âû÷åðòèòü
îäèí, äâà èëè òðè
îâàëà è òîãäà
îâàëû è òî÷êè
K; M; L îïðåäåëÿþò ãðàíèöû
òðåõ ÷åòâåðòåé
øàðà. Íà ÷òî ñëåäóåò
îáðàòèòü âíèìàíèå
ïðè øòðèõîâêå,
÷òî ëèíèè øòðèõîâêè
ñå÷åíèé íàíîñÿò
ïàðàëëåëüíî îäíîé
èõ äèàãîíàëåé
ïðîåêöèé êâàäðàòîâ,
ëåæàùèõ â ñîîòâåòñòâóþùèõ
êîîðäèíàòíûõ
ïëîñêîñòÿõ, ñòîðîíû
êîòîðîãî ïàðàëëåëüíû
àêñîíîìåòðè÷åñêèì
îñÿì.
Ðèñóíîê 7.9
Ðèñóíîê 7.10
7.5 Óêàçàíèÿ
ê âûïîëíåíèþ
çàäàíèÿ
Íà ëèñòå ôîðìàòà
À3, ðàñïîëîæåíèå
àëüáîìíîå, âûïîëíÿåì
ðàìêó ÷åðòåæà
è îòìå÷àåì ìåñòî
äëÿ îñíîâíîé
íàäïèñè. Äëÿ âûïîëíåíèÿ
àêñîíîìåòðè÷åñêîé
ïðîåêöèè áåðåì
êîìïëåêñíûé
÷åðòåæ èç ÐÃÐ5
èëè èç ÐÃÐ6 (ïî âûáîðó
ñòóäåíòà). Íàìå÷àåì
íà÷àëî êîîðäèíàò
àêñîíîìåòðè÷åñêèõ
îñåé è ïðèñòóïàåì
ê âûïîëíåíèþ
àêñîíîìåòðè÷åñêîé
ïðîåêöèè. Åñëè
âûáèðàåì êîìïëåêñíûé
÷åðòåæ ïåðåñåêàþùèõñÿ
òåë, òî ñíà÷àëà
â òîíêèõ ëèíèÿõ
èçîáðàæàþò îáà
òåëà, à çàòåì
ïî êîîðäèíàòàì
òî÷åê, âçÿòûõ
ñ êîìïëåêñíîãî
÷åðòåæà, âûïîëíÿåì
ëèíèþ ïåðåñå÷åíèÿ
ïîâåðõíîñòåé.
Ñëåäóåò çàìåòèòü,
÷òî ïðåæäå ÷åì
íàâåñòè ëèíèþ
ïåðåñå÷åíèÿ ïîâåðõíîñòåé,
íåîáõîäèìî ïðåäñòàâèòü
ñåáå ýòó ëèíèþ
â ïðîñòðàíñòâå.
 çàâèñèìîñòè
îò âèäà ïåðåñåêàþùèõñÿ
ïîâåðõíîñòåé
è ñïîñîáà èõ ïåðåñå÷åíèÿ
õàðàêòåð è ÷èñëî
ëèíèé ïåðåñå÷åíèè
ìîæåò áûòü ðàçëè÷íûì.
Íà ðèñóíêå 7.11 ïðèâåäåíî
íåñêîëüêî ñëó÷àåâ
ïåðåñå÷åíèÿ ïîâåðõíîñòåé.
Ðèñóíîê 7.11
Íà îáðàçöå,
âûïîëíåííîì
â ïðèëîæåíèè Ì
äàííîãî ïîñîáèÿ,
âûïîëíåíà àêñîíîìåòðè÷åñêàÿ
ïðîåêöèÿ (èçîìåòðèÿ)
äâóõ ïåðåñåêàþùèõñÿ
òåë (òîðà è êîíóñà).
7.6 Êîíòðîëüíûå
âîïðîñû
Íàçîâèòå
âèäû àêñîíîìåòðè÷åñêèõ
ïðîåêöèé.
Êàê ðàñïîëàãàþòñÿ
îñè â ïðÿìîóãîëüíîé
èçîìåòðèè.
Êàêîâû ïîêàçàòåëè
èñêàæåíèÿ äëÿ
ïðÿìîóãîëüíîé
äèìåòðèè.
Êàê ïîñòðîèòü
àêñîíîìåòðè÷åñêóþ
ïðîåêöèþ òî÷êè,
ïðÿìîé.
Êàê ïîñòðîèòü
àêñîíîìåòðè÷åñêóþ
ïðîåêöèþ ïðèçû.
Êàê ïîñòðîèòü
àêñîíîìåòðè÷åñêóþ
ïðîåêöèþ ïèðàìèäû.
Êàê ïîñòðîèòü
àêñîíîìåòðè÷åñêóþ
ïðîåêöèþ øàðà.
Ëèòåðàòóðà
1.
Áóáåííèêîâ À.
Â, Íà÷åðòàòåëüíàÿ
ãåîìåòðèÿ. Ó÷åáíèê
äëÿ ÂÒÓçîâ, Ì, Âûñøàÿ
øêîëà, 1985ã.
.
Ãîðäîí Â.Î., Èâàíîâ
Þ.Á., Ñîëíöåâà Ò.Å.
Ñáîðíèê çàäà÷
ïî êóðñó "Íà÷åðòàòåëüíàÿ
ãåîìåòðèÿ". Âûñøàÿ
øêîëà, 2000ã
.
Ëåâèöêèé Â.Ñ. Ìàøèíîñòðîèòåëüíîå
÷åð÷åíèå è àâòîìàòèçàöèÿ
âûïîëíåíèÿ ÷åðòåæåé.
Ó÷åáíèê äëÿ ÂÒÓçîâ,
Ì, Âûñøàÿ øêîëà,
2001
.
Ëóïàøêî Ã.Ï., Áóðìåíêî
Ô.Þ. Íà÷åðòàòåëüíàÿ
ãåîìåòðèÿ. Êîíñïåêò
ëåêöèé. Òèðàñïîëü.
ÏÃÓ, 2005 ã.
.
ÅÑÊÄ - ñáîðíèê
ñòàíäàðòîâ 2.100
è 2.300 ïî ñîñòîÿíèþ
íà 01.02.97 ã.
Ïðèëîæåíèÿ
Ïðèëîæåíèå
À (ñïðàâî÷íîå)
Ñàìîñòîÿòåëüíàÿ
ðàáîòà (âûïîëíåíèå
ðàñ÷åòíî-ãðàôè÷åñêèõ
ðàáîò) äëÿ ñòóäåíòîâ
ñïåöèàëüíîñòè
311300 "Ìåõàíèçàöèÿ
ñåëüñêîãî õîçÿéñòâà"
Íîìåð
ðàáîòû
|
Íàçâàíèå
ðàáîòû
|
ÐÃÐ1
|
Òèòóëüíûé
ëèñò
|
ÐÃÐ2
|
Êîìïëåêñíûé
÷åðòåæ ïëîñêîñòè
|
ÐÃÐ3
|
Âçàèìíîå
ïåðåñå÷åíèå
ïëîñêîñòåé
|
ÐÃÐ4
|
Âçàèìíàÿ
ïàðàëëåëüíîñòü
è ïåðïåíäèêóëÿðíîñòü
ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåé
|
ÐÃÐ5
|
Ïåðåñå÷åíèå
ïîâåðõíîñòè
(ãåîìåòðè÷åñêèõ
òåë) ïëîñêîñòÿìè
|
ÐÃÐ6
|
Âçàèìíîå
ïåðåñå÷åíèå
ïîâåðõíîñòåé
|
ÐÃÐ7
|
Àêñîíîìåòðè÷åñêèå
ïðîåêöèè
|
Ïðèëîæåíèå
Á
Òèïû ëèíèé
è èõ íà÷åðòàíèå
Ïðèëîæåíèå
Â
Íàèìåíîâàíèå
è íàïèñàíèå áóêâ
ãðå÷åñêîãî è
ëàòèíñêîãî àëôàâèòîâ
Ãðå÷åñêèé
àëôàâèò
|
Ëàòèíñêèé
àëôàâèò
|
áóêâà
|
íàèìåíîâàíèå
|
áóêâà
|
íàèìåíîâàíèå
|
Αα
|
àëüôà
|
Aa
|
à
|
Ββ
|
áåòà
|
Bb
|
áå
|
Γγ
|
ãàììà
|
Cc
|
ñå
|
Δδ
|
äåëüòà
|
Dd
|
äå
|
Εε
|
ýïñèëîí
|
Ee
|
å
|
Ζζ
|
äçåòà
|
Ff
|
ýô
|
Ηη
|
ýòà
|
Gg
|
ãå
|
Θθ
|
òýòà
|
Hh
|
àø
|
²ι
|
éîòà
|
Ii
|
è
|
Κκ
|
êàïïà
|
Jj
|
éîò
|
Λλ
|
ëàìáäà
|
Kk
|
êà
|
Μμ
|
ìþ
|
Ll
|
ýëü
|
Νν
|
íþ
|
Mm
|
ýì
|
Ξξ
|
êñè
|
Nn
|
ýí
|
Οο
|
îìèêðîí
|
Oo
|
î
|
Ππ
|
ïè
|
Pp
|
ïý
|
Ρρ
|
ðî
|
Rr
|
ýð
|
Σσ
|
ñèãìà
|
Ss
|
ýñ
|
Ττ
|
òàó
|
Tt
|
òý
|
Υυ
|
èïñèëîí
|
Uu
|
ó
|
Φφ
|
ôè
|
Vv
|
âå
|
Χχ
|
õè
|
Ww
|
äóáëü
âå
|
Ψψ
|
ïñè
|
Xx
|
èêñ
|
Ωω
|
îìåãà
|
Yy
|
èãðåê
|
|
|
Zz
|
çåò
|
Ïðèëîæåíèå
Ã
Îáðàçåö âûïîëíåíèÿ
òèòóëüíîãî ëèñòà
Ïðèäíåñòðîâñêèé
ãîñóäàðñòâåííûé
Óíèâåðñèòåò
èì. Ò.Ã. Øåâ÷åíêî
Àãðàðíî-òåõíîëîãè÷åñêèé
ôàêóëüòåò
Ãðàôè÷åñêèå
ðàáîòû
Ïî íà÷åðòàòåëüíîé
ãåîìåòðèè
Ñòóäåíòà
ãðóïïû 202À Ïëóê÷è
Ñ.Ã.
Ïðèíÿë ïðåïîäàâàòåëü
Ðûáàëîâà Ò.Ô.
-2008 ó÷åáíûé
ãîä
Ïðèëîæåíèå
Ä
Ïðèíÿòûå
îáîçíà÷åíèÿ
è òåðìèíîëîãèÿ
Òî÷êè îáîçíà÷àþòñÿ
ïðîïèñíûìè áóêâàìè
ëàòèíñêîãî àëôàâèòà:
À, Â, Ñ …
Âñïîìîãàòåëüíûå
òî÷êè îáîçíà÷àþò
àðàáñêèìè öèôðàìè:
1, 2, 3…
Ëèíèè (ïðÿìûå
è êðèâûå) - ñòðî÷íûå
áóêâû ëàòèíñêîãî
àëôàâèòà: a, b, c.
Ïðÿìûå, èìåþùèå
ñïåöèàëüíûå îáîçíà÷åíèÿ:
ãîðèçîíòàëü
- h, ôðîíòàëü - f.
Óãëû â ïðîñòðàíñòâå
- ñòðî÷íûå áóêâû
ãðå÷åñêîãî àëôàâèòà:
α, β, γ…
Ïëîñêîñòè
è ïîâåðõíîñòè â ïðîñòðàíñòâå
- ïðîïèñíûå áóêâû
ãðå÷åñêîãî àëôàâèòà:
Δ, Σ, Ψ…
Ïëîñêîñòè
ïðîåêöèé:
ãîðèçîíòàëüíàÿ
ïëîñêîñòü ïðîåêöèé
- Ï1,ôðîíòàëüíàÿ
ïëîñêîñòü ïðîåêöèé
- Ï2,ïðîôèëüíàÿ
ïëîñêîñòü ïðîåêöèé
- Ï3.
Äîïîëíèòåëüíûå
ïëîñêîñòè ïðîåêöèé:
Ï4, Ï5, Ï6 …
Ïðîåêöèè òî÷åê,
ïðÿìûõ è ïëîñêîñòåé:
íà Ï1 - À1, à1,Ψ1…, íà Ï2 - À2, à2,
Ψ2.
Ñëåäû ïðÿìîé:
ãîðèçîíòàëüíûé
ñëåä - h, ôðîíòàëüíûé
ñëåä - f
Ñïîñîá çàäàíèÿ
ãåîìåòðè÷åñêîé
ôèãóðû:(ÀÂ) - ïðÿìàÿ
m çàäàíà åå òî÷êàìè
À è Â,
Ω (c∩d) - ïëîñêîñòü
Ω çàäàíà ïåðåñåêàþùèìèñÿ
ïðÿìûìè c è d,
Σ (Σ1, Σ2) - ïëîñêîñòü
Σ çàäàíà ñâîèìè
ïðîåêöèÿìè,
│ΑΒ│ - äëèíà
îòðåçêà ÀÂ.
Àêñîíîìåòðè÷åñêàÿ
ïëîñêîñòü ïðîåêöèé
îáîçíà÷àåòñÿ
êàê Ï′ - áóêâà Ï
ãðå÷åñêîãî
àëôàâèòà ñ äîáàâëåíèåì
çíà÷êà "øòðèõ".
Àêñîíîìåòðè÷åñêèå
îñè: õ ′, y′, z′.
Îðòîãîíàëüíîå
(ïðÿìîóãîëüíîå)
ïðîåöèðîâàíèå
- ïðîåöèðîâàíèå
ïàðàëëåëüíûìè
ëó÷àìè èç áåñêîíå÷íîñòè
ïîä ïðÿìûì óãëîì
ê ïëîñêîñòè ïðîåêöèé.
Îñü ïðîåêöèé
- ëèíèÿ
ïåðåñå÷åíèÿ ïëîñêîñòåé
ïðîåêöèé. Îñü õ12
ðàçäåëÿåò ïëîñêîñòè
Ï1 è Ï2, îñü y13
ðàçäåëÿåò ïëîñêîñòè
Ï1 è Ï3, îñü z23
ðàçäåëÿåò ïëîñêîñòè
Ï2 è Ï3. ×àñòî
îñü ïðîåêöèé íà
÷åðòåæå íå ïðîâîäèòñÿ,
íî åå ðàñïîëîæåíèå
âñåãäà èçâåñòíî.
Òàê, îñü õ12 âñåãäà
ãîðèçîíòàëüíà.
Ëèíèÿ ïðîåêöèîííîé
ñâÿçè (ëèíèÿ ñâÿçè)
- ëèíèÿ,
ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ
ê îñè ïðîåêöèé.
Íà ëèíèè ñâÿçè
ðàñïîëîæåíà ïàðà
ïðîåêöèé òî÷êè.
Ãåîìåòðè÷åñêàÿ
ôèãóðà - ëþáîå
ìíîæåñòâî òî÷åê.
Ê ôèãóðàì îòíîñèòñÿ
òî÷êà (ìíîæåñòâî,
ñîñòîÿùåå èç
îäíîãî ýëåìåíòà),
ïðÿìàÿ ëèáî êðèâàÿ
ëèíèÿ, ïëîñêîñòü,
ïîâåðõíîñòü, òåëî.
Êîíêóðèðóþùèå
òî÷êè - òî÷êè, ïðîåêöèîííî
ñîâïàäàþùèå
íà îäíîé èç ïëîñêîñòåé
ïðîåêöèé. Ãîðèçîíòàëüíî
êîíêóðèðóþùèå
òî÷êè èìåþò
ñîâïàäàþùèå
ïðîåêöèè íà ãîðèçîíòàëüíîé
ïëîñêîñòè ïðîåêöèé;
ôðîíòàëüíî êîíêóðèðóþùèå
òî÷êè èìåþò
ñîâïàäàþùèå
ïðîåêöèè íà ôðîíòàëüíîé
ïëîñêîñòè ïðîåêöèé.
Îïîðíûå òî÷êè
- êðàéíèå
òî÷êè (âåðõíÿÿ,
íèæíÿÿ, ëåâàÿ,
ïðàâàÿ, äàëüíÿÿ,
áëèæíÿÿ) è òî÷êè
ïåðåõîäà âèäèìîñòè.
Ïðÿìàÿ îáùåãî
ïîëîæåíèÿ - ïðÿìàÿ,
íå ïàðàëëåëüíàÿ
è íå ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ
íè îäíîé èç ïëîñêîñòåé
ïðîåêöèé.
Ïðÿìàÿ óðîâíÿ
- ïðÿìàÿ,
ïàðàëëåëüíàÿ
îäíîé èç ïëîñêîñòåé
ïðîåêöèé.
Ãîðèçîíòàëü
(ãîðèçîíòàëüíàÿ
ïðÿìàÿ óðîâíÿ)
ïàðàëëåëüíà ïëîñêîñòè
Ï1.
Ôðîíòàëü
ïëîñêîñòè
ïàðàëëåëüíà ïëîñêîñòè
Ï2.
Ïðîôèëüíàÿ
ïðÿìàÿ - ïàðàëëåëüíà
ïëîñêîñòè Ï3.
Ïðîåöèðóþùàÿ
ïðÿìàÿ - ïðÿìàÿ, ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ
îäíîé èç ïëîñêîñòåé
ïðîåêöèé. Íàïðèìåð,
ôðîíòàëüíî ïðîåöèðóþùàÿ
ïðÿìàÿ ïåðïåíäèêóëÿðíà
ôðîíòàëüíîé ïëîñêîñòè
ïðîåêöèé. Íà ýòó
ïëîñêîñòü ïðÿìàÿ
ïðîåöèðóåòñÿ
â âèäå òî÷êè.
Ñëåäû ïðÿìîé
- òî÷êè
ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìîé
ñ ïëîñêîñòÿìè
ïðîåêöèé.
Ïëîñêîñòü
îáùåãî ïîëîæåíèÿ
- ïëîñêîñòü,
íå ïàðàëëåëüíàÿ
è íå ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ
íè îäíîé èç ïëîñêîñòåé
ïðîåêöèé.
Ïðîåöèðóþùàÿ
ïëîñêîñòü - ïëîñêîñòü,
ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ
îäíîé èç ïëîñêîñòåé
ïðîåêöèé. Íà êîìïëåêñíîì
÷åðòåæå èìååò
âûðîæäåííóþ
â ïðÿìóþ ïðîåêöèþ
íà òîé ïëîñêîñòè
ïðîåêöèé, êîòîðîé
îíà ïåðïåíäèêóëÿðíà.
Òàê, ãîðèçîíòàëüíî
ïðîåöèðóþùàÿ
ïëîñêîñòü ┴Ï1
èìååò ïðîåêöèþ
íà Ï1 â âèäå ïðÿìîé.
Ïëîñêîñòü
óðîâíÿ - ïëîñêîñòü,
ïàðàëëåëüíàÿ
îäíîé èç ïëîñêîñòåé
ïðîåêöèé. Òàêèå
ïëîñêîñòè ÿâëÿþòñÿ
äâàæäû ïðîåöèðóþùèìè,
òàê êàê íà äâóõ
ïëîñêîñòÿõ ïðîåêöèé
èìåþò âèä ïðÿìîé,
ðàñïîëîæåííîé
ïîä ïðÿìûì óãëîì
ê ëèíèÿì ñâÿçè.
Ìíîãîãðàííèê
- çàìêíóòàÿ
ãðàííàÿ ïîâåðõíîñòü,
èìåþùàÿ íå ìåíåå
÷åòûðåõ ãðàíåé
(ïèðàìèäà, ïðèçìà,
òåòðàýäð è ò.ä.).
Ïîâåðõíîñòü
âðàùåíèÿ îáðàçóåòñÿ
âðàùåíèåì îáðàçóþùåé
l âîêðóã îñè âðàùåíèÿ
i.
Ïîâåðõíîñòè
2-ãî ïîðÿäêà - ïîâåðõíîñòè,
çàäàííûå àëãåáðàè÷åñêèì
óðàâíåíèåì 2-é
ñòåïåíè (ýëëèïñîèäû,
ïàðàáîëîèäû, ïàðàáîëè÷åñêàÿ
öèëèíäðè÷åñêàÿ
ïîâåðõíîñòü è
ò.ä.).
Î÷åðê ïîâåðõíîñòè
- ïðîåêöèÿ
êîíòóðà ïîâåðõíîñòè
íà ïëîñêîñòü
ïðîåêöèé.
Àêñîíîìåòðè÷åñêàÿ
ïðîåêöèÿ - ïàðàëëåëüíàÿ
ïðîåêöèÿ ïðåäìåòà,
äîïîëíåííàÿ èçîáðàæåíèåì
êîîðäèíàòíûõ
îñåé ñ íàòóðàëüíûìè
ìàñøòàáíûìè
îòðåçêàìè, îòëîæåííûìè
íà ýòèõ îñÿõ.
Ïðèëîæåíèå
Å
Îáðàçåö âûïîëíåíèÿ
ÐÃÐ2
Ïðèëîæåíèå
Æ
Îáðàçåö âûïîëíåíèÿ
ÐÃÐ3
Ïðèëîæåíèå
È
Îáðàçåö âûïîëíåíèÿ
ÐÃÐ4
Ïðèëîæåíèå
Ê
Îáðàçåö âûïîëíåíèÿ
ÐÃÐ5
Ïðèëîæåíèå
Ì
Îáðàçåö âûïîëíåíèÿ
ÐÃÐ7
Ðàçìåùåíî
íà Allbest.ru