Надежность устройств железнодорожной автоматики, телемеханики и связи
Министерство
путей сообщения России
Уральский
государственный университет путей сообщения
Кафедра:
“Автоматики и Телемеханики”
КУРСОВАЯ
РАБОТА
на
тему:
“Надежность
устройств железнодорожной автоматики, телемеханики и связи”
по
дисциплине: «Автоматика и телемеханика»
Выполнил: Филинков С.В.
студент группы Шм-317
Руководитель работы:
Новиков А.А.
Екатеринбург
Реферат
Пояснительная записка курсовой
работы содержит 5 рисунков, 7 таблиц и список наименований литературных
источников.
В курсовой работе в соответствии с
заданием приведены основные соотношения для определения количественных
характеристик и эксплуатационных коэффициентов надежности, представлены
основные законы распределения отказов, рассмотрены вопросы расчета надежности
невосстанавливаемых и восстанавливаемых систем. Представлены задачи и их
решения.
Введение
Какими бы ценными свойствами не
обладали системы железнодорожной автоматики, телемеханики и связи (СЖАТС),
эффективность их применения может быть сведена к нулю, если эти устройства
будут работать ненадежно.
Надежность работы различных систем и
элементов зависит от весьма многочисленного и разнообразного количества
факторов, определяемых как внутренними свойствами, так и внешними условиями.
Поэтому процессы возникновения отказов носят случайный характер, для
определения и описания которого используется аппарат и терминология теории
вероятностей.
Тенденция усложнения СЖАТС, довольно
жесткие условия эксплуатации и высокая цена отказа (для систем, обеспечивающих
безопасность движения поездов) привели к тому, что надежность аппаратуры стала
определяющим фактором обеспечения эффективного использования этих систем.
Знания общей теории надежности, а
наилучшим методом изучения теории является решение практических задач,
позволяет в прикладных дисциплинах рассматривать методы и способы обеспечения
надежности. Методы и способы повышения надежности СЖАТС базируются на общих
принципах теории надежности, имея при этом некоторую специфику.
Задача №1
На испытании поставлено
N0 = 1000 образцов неремонтируемой аппаратуры число отказов фиксировалось
через каждые 100 часов работы. Данные об отказах приведены в таблице 1.1.
Табл. 1.1
,
час, час, час
|
|
|
|
|
|
0÷100
|
70
|
500÷600
|
27
|
1000÷1100
|
28
|
100÷200
|
34
|
600÷700
|
25
|
1100÷1200
|
33
|
200÷300
|
41
|
700÷800
|
28
|
1200÷1300
|
36
|
300÷400
|
24
|
800÷900
|
26
|
1300÷1400
|
63
|
400÷500
|
26
|
900÷1000
|
30
|
1400÷1500
|
84
|
Требуется вычислить количественные
характеристики надежности невосстанавливаемых надежности и построить
зависимости характеристик от времени.
Решение. Аппаратура
относится к классу невосстанавливаемых изделий. Поэтому критериями надежности
будут ,
,
,
.
. Вычислим вероятность
безотказной работы,
которая оценивается выражением:
,
где -
число изделий в начале испытания;
- число отказавших
изделий за время .
;
.
Результаты вычислений заносим
в таблицу 1.2.
Табл. 1.2
,
час
|
|
|
|
0÷100
|
0,930
|
0,70
|
0,73
|
100÷200
|
0,896
|
0,34
|
0,37
|
200÷300
|
0,855
|
0,41
|
0,46
|
300÷400
|
0,831
|
0,24
|
0,28
|
400÷500
|
0,805
|
0,26
|
0,32
|
500÷600
|
0,778
|
0,27
|
0,34
|
600÷700
|
0,753
|
0,25
|
0,33
|
700÷800
|
0,725
|
0,28
|
0,38
|
800÷900
|
0,699
|
0,26
|
0,37
|
900÷1000
|
0,669
|
0,30
|
0,44
|
1000÷1100
|
0,641
|
0,28
|
0,43
|
1100÷1200
|
0,608
|
0,33
|
0,53
|
1200÷1300
|
0,572
|
0,36
|
0,61
|
1300÷1400
|
0,509
|
0,63
|
1,17
|
1400÷1500
|
0,425
|
0,84
|
1,80
|
2. Вычислим частоту
отказов:
,
где -
число отказавших изделий в интервале времени от до .
;
.
Результаты вычисления заносим
в таблицу 1.2.
. Вычислим интенсивность
отказов :
,
где -
среднее число исправных работающих изделий в интервале .
;
.
Результаты вычисления заносим
в таблицу 1.2.
По данным таблицы 1.2
строим гистограммы (рис.
1.1), и
(рис.
1.2), имея в виду, что значения приведены для концов
интервалов ,
а значения и
-
для середины интервалов .
Рис. 1.1
. Вычислим среднее время
безотказной работы по ниже приведенному выражению, так как испытания были
прекращены до отказа всех элементов.
,
где -
время окончания испытаний;
- число элементов,
отказавших за время .
.
Полученное значение
среднего времени безотказной работы является заниженным.
Рис. 1.2
Задача №2
В результате анализа
данных об отказах системы определена частота отказов .
Требуется определить все количественные характеристики надежности ,
,
,
.
Решение. Определим
вероятность безотказной работы:
Определим зависимость
интенсивности отказов от времени
.
Рассчитаем вероятность
отказа в соответствии с выражением
.
.
Вычислим среднюю
наработку до первого отказа
Задача №3
Потоки отказов и
восстановления системы простейшие и описывается экспоненциальной
закономерностью.
Заданы вероятности безотказной работы за время и
вероятность восстановления за 1 час. Требуется
определить среднее время между отказами, среднее время восстановления,
коэффициент готовности и простоя.
Решение. Определим
среднее время между отказами
;
.
Определим среднее время
восстановления
;
.
Вычислим коэффициенты
готовности и простоя
,
где -
среднее время восстановления.
;
.
Задача №4
Время работы изделий
подчинено нормальному закону с параметрами М = 7600 час и Е = 1500. Требуется
найти вероятность безотказной работы, частоту и интенсивность отказов за время ,
,
.
Решение. Вероятность
безотказной работы вычислим следующим образом
.
Для
.
Для
.
Для
.
Определим частоту отказа
;
;
.
Рассчитаем интенсивность
отказов .
Подставляем найденные значения и в
выражение :
;
;
.
Задача №5
Рассчитать надежность
релейного блока направлений НН с использованием средне групповой интенсивности
отказов и ориентировочную надежность проектированного полупроводникового блока
БМРЦ, используя следующие данные опыта проектирования: одно реле может быть
заменено в среднем 5,9 транзисторными схемами; на один транзистор приходится в
среднем 3,7 резистора и 1,2 конденсатора.
Решение. Для выполнения
ориентировочного расчета надежности составляется таблица следующего вида (см.
табл. 4.1).
Табл. 5.1
Наименование элемента
|
Количество элементов Интенсивность отказов
|
|
|
Реле
|
6
|
|
|
Пайка
|
106
|
|
|
Разъем Ш
|
34
|
|
|
Транзистор
|
|
|
|
Резистор
|
|
|
|
Конденсатор
|
|
|
|
Пайка
|
243
|
|
|
Вычисления произведения заносим
в табл. 5.1, а затем определяем расчетную интенсивность отказов проектируемой
системы и системы-аналога согласно выражению
где -
число элементов i-го типа;
k - число групп
элементов.
.
Определим среднюю
наработку до первого отказа проектируемой системы и системы-аналога,
воспользовавшись выражениями
;
.
Задача №6
Проектируется новая
система взамен существующей. Проектируемая система будет использоваться в тех
же условиях, что и существующая, наработка на отказ которой, составляет .
Требуется произвести
ориентировочный расчет надежности.
Данные о типе и
количестве элементов в проектируемой системе и существующей системе приведены в
таблице 6.1.
Табл. 6.1
Тип элемента
|
Система-аналогПроектируемая
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Радио лампы
|
30
|
282
|
8460
|
15
|
450
|
Транзисторы
|
3
|
30
|
90
|
450
|
1350
|
Резисторы
|
4
|
1800
|
7200
|
4200
|
16800
|
Конденсаторы
|
1,5
|
525
|
787,5
|
630
|
945
|
Трансформаторы
|
5
|
23
|
115
|
23
|
115
|
Реле
|
15
|
170
|
2550
|
170
|
2550
|
58,5283019202,5548822210
|
|
|
|
|
|
Решение. Определим фактическую
интенсивность отказов системы аналога по выражению
,
где Тоа - наработка на
отказ системы аналога.
Определим расчетную
интенсивность отказов системы аналога согласно выражению
Определим расчетную
наработку на отказ системы аналога в соответствии с выражением
,
где -
число элементов системы аналога;
- интенсивность
отказов.
.
Определим расчетную
интенсивность отказов проектируемой системы согласно выражению
,
где -
число элементов системы аналога;
- интенсивность отказов
системы аналога.
.
Определим коэффициент
пересчета по формуле
.
Определим фактическую
интенсивность отказов проектируемой системы
.
Задача №7
железнодорожная автоматика
надежность безотказность
Рассчитать надежность
блока системы БМРЦ с использованием средне групповой интенсивности отказов.
Определить коэффициент пересчета и рассчитать фактическую надежность блока М1
по аналогу блока ПП.
Интенсивность отказов
элементов блоков приведены в таблице 7.1.
Решение. Определим число
и тип реле входящих в проектируемый блок М1 и блок аналог ПП системы БМРЦ, а
также интенсивность отказов каждого типа реле обоих блоков после чего, все
полученные данные сведем в таблицу 7.1.
Табл. 7.1
Элемент
|
Количество элементов Интенсивность отказов
|
|
|
1
|
2
|
3
|
4
|
Блок М1 (проектируемый)
|
Реле
|
7
|
|
|
Пайка
|
124
|
|
|
Разъемы - Ш
|
42
|
|
|
Резисторы
|
2
|
|
|
Конденсаторы
|
2
|
|
|
Блок ПП (аналог)
|
Реле
|
6
|
|
|
Пайка
|
94
|
|
|
Разъемы - Ш
|
44
|
|
|
Резисторы
|
-
|
-
|
|
Конденсаторы
|
2
|
|
|
Поток отказов блока ПП .
Определим расчетную
интенсивность блока аналога и проектируемого блока
;
Определим коэффициент
пересчета согласно выражению
Определим интенсивность
отказов проектируемого блока
Задача №8
Произвести уточненный
расчет надежности триггера, принципиальная схема которого приведена на рисунке
8.1.
Рис. 8.1
:
Аппаратура будет
использоваться в помещении при отсутствии механических нагрузок. Температура
внутри блока, где установлен триггер, 40°С.
Решение. Выполним расчет
токов в соответствии с выражениями
;
;
;
.
Выполним расчет
напряжений
;
.
По ниже приведенному
выражению определим коэффициенты нагрузки резисторов
,
где и
-
фактическая и номинальная мощности, рассеиваемые на резисторе.
;
;
;
;
;
.
Интенсивность отказов
резисторов определим по формуле
где -
коэффициент, учитывающий электрическую нагрузку и температуру элемента;
- коэффициент,
учитывающий влияния механических нагрузок (удары, вибрация).
.
Значения и
находим
в .
Результаты расчета и табличные данные заносим в таблицу в 8.1.
Определим коэффициенты
нагрузки и интенсивности отказов конденсаторов
,
где и
-
фактическое и номинальное напряжения.
;
.
.
Значения и
находим
в .
Результаты расчета ,
и
и
заносим
в таблицу в 8.1.
По ниже приведенному
выражению определим коэффициенты нагрузки и интенсивности отказов транзисторов
,
где и
-
фактическая и номинальная мощности, рассеиваемые на коллекторе транзистора.
;
.
Значения и
находим
в .
Результаты расчета ,
и
и
заносим
в таблицу в 8.1.
Табл. 8.1
Наименование элемента
|
Обозначение на схеме
|
Количество элементов Интен-ть отказов в
номинальном режимеРежим работыПоправочный коэффициент
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициент нагрузки Кн
|
Температура среды °С
|
|
|
|
Резистор МЛТ -0,5
|
R1
|
1
|
0,5
|
0,664
|
40
|
0,27
|
0,14
|
0,14
|
-"- -"-
|
R2
|
1
|
0,5
|
0,058
|
40
|
0,27
|
0,14
|
0,14
|
-"- -"-
|
R3
|
1
|
0,5
|
0,0077
|
40
|
0,27
|
0,14
|
0,14
|
-"- -"-
|
R4
|
1
|
0,5
|
0,14
|
40
|
0,27
|
0,14
|
0,14
|
-"- -"-
|
R5
|
1
|
0,5
|
0,057
|
40
|
0,27
|
0,14
|
0,14
|
-"- -"-
|
R6
|
1
|
0,5
|
0,048
|
40
|
0,27
|
0,14
|
0,14
|
Конденсатор
|
C1
|
1
|
1,4
|
0,125
|
40
|
0,07
|
0,098
|
0,098
|
-"-
|
C2
|
1
|
1,4
|
0,518
|
40
|
0,07
|
0,098
|
0,098
|
Транзистор КТ815А
|
VT1
|
1
|
1,7
|
0,0033
|
40
|
0,07
|
0,119
|
0,119
|
-"-
|
VT2
|
1
|
1,7
|
0,0007
|
40
|
0,07
|
0,119
|
0,119
|
Вывод: Из уточненного расчета
следует, что использование облегченных режимов работы элементов и щадящих
условий эксплуатации позволяет значительно повысить надежность проектируемой
аппаратуры.
Задача №9
При испытании по плану N = 100
изделий, Б, Т = 1000 час получены следующие значения времени работы элементов
до отказа, которые представлены таблице 9.1.
Табл. 9.1
Nэл
|
t, час
|
Nэл
|
t, час
|
Nэл
|
t, час
|
Nэл
|
t, час
|
1
|
682
|
8
|
148
|
15
|
090
|
22
|
479
|
2
|
485
|
9
|
354
|
16
|
102
|
23
|
913
|
3
|
704
|
10
|
475
|
17
|
930
|
24
|
347
|
4
|
488
|
11
|
984
|
18
|
383
|
25
|
637
|
5
|
517
|
12
|
429
|
19
|
648
|
26
|
634
|
6
|
295
|
13
|
723
|
20
|
376
|
27
|
394
|
7
|
424
|
14
|
813
|
21
|
242
|
28
|
102
|
Необходимо:
построить гистограммы вероятности
отказа, частоты и интенсивности отказов;
считая, что поток отказов
подчиняется экспоненциальному закону, определить вероятность отказа, частоту и
интенсивность отказов и нанести их на чертежи с гистограммами;
считая, что поток отказов
подчиняется нормальному закону, определить вероятность отказа, частоту и
интенсивность отказов и нанести их на чертежи с гистограммами;
определить доверительный интервал
интенсивности отказов при экспоненциальном законе распределения отказов и
коэффициенте доверия, равном 0,9;
определить доверительные интервалы
математического ожидания и среднеквадратичного отклонения при нормальном законе
распределения отказов и коэффициенте доверия, равном 0,9;
доказать
непротиворечивость статистических данных экспоненциальному и нормальному
законам и применением критерия - квадрат Пирсона;
доказать
непротиворечивость статистических данных экспоненциальному и нормальному
законам с применением критерия А.Н. Колмогорова.
Решение. 1. Для
построения статистического ряда время испытаний разобьем на десять интервалов
(разрядов) продолжительностью 100 час и для каждого разряда подсчитаем ,
,
,
воспользовавшись следующими выражениями
,
где -
число изделий в начале испытания;
- число отказавших
изделий за время t.
,
где -
среднее число исправно работающих изделий в интервале .
,
где -
число отказавших изделий в интервале времени от до .
,
где .
;
.
Результаты расчета
заносим в таблицу 9.1 и рисунок 9.1, 9.2.
;
.
Результаты расчета
заносим в таблицу 9.1 и рисунок 9.1, 9.2.
;
.
Результаты расчета
заносим в таблицу 9.1 и рисунок 9.1, 9.2.
Табл. 9.1
Параметр
|
Разряды
|
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
1325614213
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,10,30,20,50,60,10,40,20,10,3
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,1010,3080,2110,5460,6980,1210,5000,2600,1320,408
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,010,040,060,110,170,180,220,240,250,28
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,330,330,330,330,330,330,330,330,330,33
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,320,310,300,290,280,270,260,250,2450,237
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,0320,0640,0940,1240,1520,1800,2060,2320,2570,281
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,0980,140,210,290,400,520,760,841,031,48
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,0960,140,200,270,350,450,540,630,700,76
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,02020,03220,04950,07210,10380,14460,28940,25140,31920,4897
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,0320,0310,0300,0290,0280,0270,0260,0250,02450,024
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,5130,0030,3331,5213,6571,0700,7540,1000,8580,150
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,00760,0120,01730,02260,03170,04080,14760,15120,16170,1705
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,0762,7000,0423,3222,5262,3257,84411,38514,23211,578
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Поскольку за время испытаний
отказало 28% изделий, оценка интенсивности отказов подсчитывалось с
использованием выражения, приведенного в таблице 3.1 [3] для плана N, Б, Т при
,
.
Рис.9.1 Гистограмма
частоты отказов
Рис. 9.2 Гистограмма
интенсивности отказов
.
Частота отказов
определяется для каждого разряда из выражения
.
;
.
Результаты расчета
заносим в таблицу 9.1.
Вероятность отказа
подсчитаем по формуле
.
;
.
Результаты расчета
заносим в таблицу 9.1.
. При нормальном законе
распределения отказов сначала необходимо определить оценки математического
ожидания и среднеквадратичного отклонения, а затем рассчитать вероятность
отказа, частоту и интенсивность отказов.
Для определения
математического ожидания и среднеквадратичного отклонения для каждого разряда
статистического ряда подсчитаем с использованием
выражения
по таблице квантилей
нормального закона распределений (табл. П7.6 [4])
определим квантили. Результаты расчета сведем в таблицу 9.2.
Табл. 9.2
Параметр
|
Разряды
|
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
0,010,040,060,110,170,180,220,240,250,28
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-2,326-1,751-1,555-1,227-1,113-0,915-0,772-0,706-0,674-0,583
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение квантилей нормального
закона распределения отказов.
Для каждого разряда составим
уравнение и эти уравнения сложим. Умножим каждое уравнений на соответствующий
квантиль и полученные новые уравнения также сложим.
.
Решив совместно
уравнения
и ,
получим
и .
Для каждого разряда
подсчитаем частоту и интенсивность отказов, а также вероятность отказа, используя
следующие выражения
.
;
.
Результаты расчета
заносим в таблицу 9.1.
,
где -
функция Лапласа.
;
.
.
;
.
Результаты расчета
заносим в таблицу 9.1.
. Для определения
доверительных интервалов при экспоненциальном законе распределения по таблице
квантилей -
квадрат распределений (табл. П7.1 [4])
найдем и
,
т.к. число степеней свободы при разрядах r = 20. .
Поскольку в задаче
задано время работы каждого изделия до отказа, суммарная наработка всех изделий
подсчитывается
согласно выражению
,
где -
число разрядов;
- число отказов в i -
ом разряде;
- конец i - го
разряда;- число степеней свободы.
По ниже приведенным
формулам для плана N, Б, Т, определим и .
;
.
. Для определения
доверительного интервала для математического ожидания найдем по таблице
квантилей распределения Стьюдента квантиль вероятности 0,95 при девяти степенях
свободы. .
Подсчитаем и
согласно
следующим выражениям
;
.
Так как по заданию дан
коэффициент доверия, то
определим доверительные интервалы, как и .
По таблице квантилей -
квадрат распределения определим квантили для вероятностей и
при
девяти степенях свободы. .
Вычислим и
согласно
следующим выражениям
;
.
. Проверка
непротиворечивости теоретического и статистического законов распределения
отказов с использованием критерия - квадрат Пирсона
начинается с определения вероятности отказа для каждого разряда. При
экспоненциальном распределении подсчитываем по формуле
,
где -
начало i - ого интервала,
а при нормальном
распределении - по формуле
,
где -
конец i - ого интервала;
- начало i - ого
интервала.
;
.
;
.
Результаты расчета
заносим в таблицу 9.1.
Для каждого разряда
определяется также мера расхождения
.
На основании этих
расчетов определена суммарная мера расхождения. Она составила для
экспоненциального закона ,
для нормального закона - .
Число разрядов n = 11
(учитывается разряд ),
поэтому степеней свободы при экспоненциальном законе распределения 10, а при
нормальном - 9.
Из таблицы квантилей -
квадрат распределения находим, что вероятность непротиворечивости
статистических данных экспоненциальному закону составила около 2,5%, а
нормальному закону - менее 1%.
Величины максимального
расхождения составили ;
.
Отсюда ;
,
а вероятности и
близки
к единице.
Таким образом, критерий
А.Н. Колмогорова по указанным выше причинам дал завышенные результаты.
Рис. 9.3 Гистограмма
вероятности отказа
Задача №10
Для устройства заданного
схемой замещения (рис. 10.1) рассчитать вероятность безотказной работы для
обозначенной части схемы, а также частоту и интенсивность отказа. Интенсивность
отказов элементов приведена в таблице 10.1.
Табл. 10.1
1234567891011
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,451,331,870,571,321,131,131,211,113,263,26
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 10.1
Решение. Из схемы
замещения (рис. 10.1) видно, что система состоит из I и II неравно надежных
устройств. Устройство I состоит из четырех узлов: а - дублированного узла с
постоянно включенным резервом, причем, каждая часть узла состоит из двух
последовательно соединенных элементов;
б - узла с одним не
резервированным элементом;
в - дублированного узла
по способу замещения;
г - дублированного узла
с постоянно включенным резервом.
Устройство II
представляет собой дублированный узел по способу замещения, надежность которого
известна.
Так как устройства I и
II неравнонадежны, то запишем следующее выражение
Определим вероятность .
Так как устройство I представляет собой последовательное соединение узлов а, б,
в, г, то .
Чтобы определить вероятность найдем вероятности всех
элементов схемы замещения по следующей формуле
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
В узле "а"
число элементов основной и резервной цепи n = 2, а кратность резервирования m =
1. Тогда получим
Вероятность узла
"б" равна или,
В узле "в"
кратность общего резервирования замещением m = 1, имеем
В узле "г"
кратность общего резервирования замещением m = 1, следовательно, получаем
Вероятность безотказной
работы устройства I будет
.
Найдем вероятность .
Вероятность безотказной работы устройства II составит
Вероятность безотказной
работы резервированной системы будет
Определим вероятность
безотказной работы узлов "в" и "д"
;
.
Определим частоту
отказов для узлов "в" и "д"
.
Определим интенсивность
отказов для узлов "в" и "д"
;
.
Задача №11
Кратность резервирования
m = 2. Резервирование пассивное без распределения нагрузки. Интенсивность
отказов, как основного, так и резервных блоков равна ,
интенсивность восстановления . Восстановления ведется
двумя бригадами (при отказе 2 или 3 блоков интенсивность восстановления равна ).
Определить коэффициент готовности и среднее время до первого отказа.
Решение. Система может
находиться в одном из четырех состояний:
- три блока исправны;
- отказал основной блок,
резервные блоки исправны;
- отказали резервные
блоки, основной исправен;
- отказали все блоки.
Марковская схема,
описывающая процесс функционирования системы, показана на рисунке 11.1.
Рис. 11.1 Марковская
схема функционирования дублированной системы
Составим систему
уравнений Колмогорова
;
;
.
Для оценки эффективности
резервирования системы до первого отказа целесообразно использовать Марковскую
схему с поглощающими состояниями. В нашей задаче поглощающим состоянием является
третье - состояние отказа системы. При составлении уравнений Колмогорова это
состояние и переходы из него не были учтены.
Умножим каждое из
уравнений на dt и просуммируем в пределах .
;
;
.
Учитывая тот факт, что равен
математическому ожиданию времени нахождения системы в i - ом состоянии, а в
момент включения система находилась в нулевом состоянии, получим:
.
Решение этой системы
уравнения является:
; .
;
После несложных
преобразований получаем
;
час.
час; час.
Среднее время до первого
отказа составит час.
Для определения
коэффициента готовности системы используется эргодическая Марковская схема,
характерной особенностью которой является то, что система находится в
устойчивом состоянии, и многократно осуществляла переходы из одного состояния в
другое, а поэтому вероятность нахождения системы в каком-либо состоянии не
зависит от времени и численно равна доле времени нахождения системы в данном
состоянии.
В этом случае уравнения
А.Н. Колмогорова составляется для всех состояний (в том числе и поглощающих),
но левые части этих уравнений равны нулю.
Однако записанная таким
образом система становится избыточной. Любое из уравнений может быть получено
путем преобразований остальных. Поэтому необходимо выбросить любое из
уравнений, и добавить
.
Таким образом, получаем
,
,
;
;
;
;
;
;
;
.
Коэффициент готовности
резервированной системы будет равен сумме вероятностей нахождения системы в тех
состояниях, в которых система продолжает функционировать.
Коэффициент готовности
определяется следующим образом
.
.
Задача №12
На участковой станции
эксплуатируется N0 = 850 светофорных ламп интенсивность перегорания, которых
составляет .
Определить минимальное число запасных ламп, при условии, что запас может быть
пополнен только через часов,
а вероятность того, что на это время хватит запасных ламп .
Решение. В данном случае
поток отказов изделий подчиняется закону Пуассона, поэтому вероятность того,
что запасных элементов хватит на время возобновления запаса, будет равна
,
где -
число запасных элементов;- время возобновления запаса.
Задача решается путем
подбора числа таким,
чтобы соблюдалось неравенство
,
где -
заданная вероятность того, что за время возобновления запаса запасных элементов
хватит.
Для решения данной
задачи удобно составить программу (в качестве языка программирования используем
- Бейсик):
REM Расчет
задачи №12
INPUT
"Введите =
"; N
INPUT
"Введите =
";
INPUT
"Введите =
";
INPUT
"Введите =
";
INPUT
"Введите число запасных ламп = ";
LET S = 0
FOR I = 0 TO Z
LET F = 1
FOR G = 1 TO I
LET F = F ×
G
LET S = S +
(EXP
NEXT G
NEXT I
LET P = (EXP
PRINT " P
= "; P
IF P < THEN
60
IF P > THEN
190
END
Таким образом, путем
подбора, который производился на ЭВМ, получаем = 8.
Задача №13
В дистанции сигнализации
и связи эксплуатируется N0 = 1000 изделий одного типа, интенсивность отказов ,
а во время транспортировки и хранения . Интенсивность
восстановления изделий с учетом времени их доставки в КИП = 0. Определить число
запасных изделий при условии, что их хватит с вероятностью.
Решение. Число запасных
элементов может быть определено из следующего выражения
,
где .
Задача решается путем
подбора числа таким,
чтобы соблюдалось выше приведенное неравенство. Таким образом, получаем
,
Для решения данной
задачи, также как и предыдущей, удобно составить программу на языке
программирования Бейсик
REM Расчет
задачи №13
INPUT
"Введите =
"; N
INPUT
"Введите =
";
INPUT
"Введите =
";
INPUT
"Введите =
";
INPUT
"Введите =
";
LET Z1 = 1
LET F = 1
LET S = 0
INPUT
"Введите число запасных изделий = ";
FOR J = 0 TO Z
LET Z1 = Z1 *
J
NEXT J
FOR I = 0 TO
Z1
FOR G = 1 TO I
+ 1
LET F = F * G
LETF =
LET S = S
NEXT G
LET N = Z1 * S
LET P = P
NEXT I
PRINT " Z
= "; Z, " Р = "; Р
LET K = 1 -
IF P < K
THEN 270
IF P > THEN
100
END
Таким образом, получаем =
2.
Заключение
В данной курсовой работе
были рассмотрены количественные характеристики надежности. Произведен расчет
надежности проектируемых систем. Определены показатели надежности по
результатам испытаний и произведен расчет невосстанавливаемых резервированных
систем. Для оценки надежности резервированных систем, применены теории
Марковских случайных процессов.
Так как наилучшим
методом изучения теории является решение практических задач то поэтому каждая
глава, рассмотренная в данной курсовой работе, подкреплена задачами.
При решении задач №12 и
№13 использовалось ЭВМ. В связи с этим были составлены соответствующие
программы.
Список литературы
1. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для
инженеров и учащихся ВТУЗов. - М.: Наука, 1980. - 976 с.
. Основы теории надежности автоматических систем управления:
Учебное пособие для вузов / Л.П. Глазунов, В.П. Грабовецкий, О.В. Щербаков. -
Л.: Энергоатомиздат, Ленингр. отд-ние, 1984. - 208 с.
. Надежность устройств железнодорожной автоматики телемеханики и
связи: Учебное пособие для вузов / В.Г. Коваленко, А.А. Новиков. - УрГАПС,
Екатеринбург, 1995. - 77 с.
. Половко А.М., Маликов И.М. Сборник задач по теории надежности -
М.: Сов. радио, 1972. - 406 с.