Функция разомкнутой системы

Функция разомкнутой системы

Введение

Исследование процессов протекающих в системах автоматического управления - одна из основных задач теории автоматического управления. Огромную роль в этом исследовании играет компьютер. Все разделы курсового проекта реализуются на основе универсального математического пакета

MathCAD. Роль компьютера проведение громоздких вычислений и поиск наиболее оптимальных решений. MathCAD имеет в своем составе 3 редактора: формульный, текстовый и графический. Этим обеспечивается принятый в математике способ записи функций, выражений и получение результатов в виде значений, графиков и таблиц. В курсовой работе используются детерминированные и текстовые сигналы предназначенные для анализа и проверки систем управления. Поскольку задания курсовой работы охватывают материалы практически всех основных разделов ТАУ, отдельные задания могут использоваться для выполнения лабораторных работ.

1. Получение эквивалентной передаточной функции разомкнутой системы

Для определения передаточной функции системы, заданной структурной схемой, необходимо уметь получать передаточные функции основных соединений звеньев.

Передаточная функция произвольного числа последовательно соединенных звеньев равна

Wпосл(s)=ΠWi(s).

Передаточная функция произвольного числа параллельно соединенных звеньев равна

пар(s)=∑Wi(s)

Передаточная функция соединения звеньев с обратной связью:

W(s)=

Здесь знак «+» соответствует отрицательной обратной связи, а знак «-» - положительной обратной связи. Обратная связь широко применяется в автоматике:

положительная обратная связь - для увеличения коэффициента усиления охваченного ею устройства и генерирования незатухающих колебаний;

отрицательная обратная связь - для обеспечения устойчивости систем, стабилизации движения объектов, уменьшения чувствительности систем к неконтролируемому изменению параметров элементов внешней среды.

Структурную схему любой сложности можно путем последовательных преобразований привести к простейшему виду с передаточной функцией, эквивалентному исходной схеме относительно входной и выходной переменных.

Для данной в задании структурной схемы управления получение эквивалентной передаточной функции в программе МаthСad выглядит так:

Символьным методом определяем вспомогательные переменные e1, e2, y:

Разомкнутая система при:

Разомкнутая система при:

Разомкнутая система при

2. Построение всех частотных характеристик блоков структурной схемы

Типовые звенья - это элементы, передаточные функции которых имеют в числителе или знаменателе полином минимальной (от нулевой до второй) степени с действительными коэффициентами. В нашем случае передаточные функции следующие:

апериодическое звено W(s)=

форсирующее звено первого порядка W(s)=K (Ts+1)

апериодическое звено W(s)=

Рассмотрим виды частотных характеристик.

Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) - W(jω), годограф радиус-вектора при изменении частоты от 0 до +∞.

Вещественную Р(ω) и мнимую Q(ω) частотные характеристики получают умножением полиномов B(jω) и A(jω) на комплексно-сопряженный полином

A(-jω), где .

Амплитудная частотная характеристика системы (АЧХ, А(ω)) - характеристика, которая является отношением амплитуд установившихся колебаний выходной и входной величины. Обычно ее определяют как:

А(ω) = |W(jω)|.

Логарифмическая амплитудно-фазовая частотная характеристика (ЛАФЧХ) - представление частотного отклика линейной стационарной системы в логарифмическом масштабе. ЛАФЧХ строится в виде двух графиков: логарифмической амплитудно-частотной характеристики L(ω) и фазовой частотной характеристики Ф(), которые обычно располагаются друг под другом.

На графике логарифмической амплитудно-частотной характеристики абсциссой является частота в логарифмическом масштабе, по оси ординат отложена амплитуда передаточной функции в децибелах. На графике фазовой частотной характеристики абсциссой является частота в логарифмическом масштабе, по оси ординат отложен фазовый сдвиг выходного сигнала системы относительно входного.

Связь между ЛАЧХ и АЧХ выражается формулой:

L(ω)=20lgA(ω)

ФЧХ в общем виде определяется по формуле:

Ф(ω)=argW(jω)

Мнимая ЧХ:

Вещественная ЧХ

3. Исследование устойчивости системы по корням характеристического уравнения

Решение задачи разложения сложной системы на типовые звенья состоит в нахождении корней и множителей полиномов A(s) и B(s) передаточной функции системы. Основные задачи численного анализа полиномов следующие:

-              определение структуры спектра полинома: типа корней (действительного и комплексного) и числа корней каждого типа;

-              локализация корней (определение интервала расположения) и выбор их начальных приближений;

-              итерационное уточнение корней;

-              факторизация - разложение полинома на простые множители.

Для расчета корней и множителей полинома необходим определенный инструмент: компьютер, калькулятор или, в крайнем случае, бумага с карандашом вместе с хорошо обученной головой, понимающей сущность методов вычислений и критически осмысливающей полученные результаты. Лучшим помощником студента, инженера, исследователя и разработчика является профессиональный программный продукт MathCAD с богатыми функциональными и интеллектуальными возможностями, развитыми графическими средствами, удобным и дружественным интерфейсом. Для исследования устойчивости системы в MathCAD используется функция polyroots.

Система считается устойчивой, если вещественные части всех корней Характеристического уравнения 1-го приближения отрицательные. Система считается неустойчивой, если среди корней характеристического уравнения системы 1-го приближения имеется хотя бы один корень с положительной Вещественной частью. Бели характеристическое уравнение системы 1-го приближения не имеет корней с положительной вещественной частью, но имеет один или несколько корней, вещественные части которых равны нулю, то считается, что система находится на границе устойчивости.

Передаточная функция разомкнутой системы при

Находим коэффициенты знаменателя

Находим корни характеристического уравнения

Передаточная функция разомкнутой системы при

Находим коэффициенты знаменателя

Находим корни характеристического уравнения

Находим коэффициенты знаменателя

Находим корни характеристического уравнения

Замкнутая система устойчива, так как все вещественные корни отрицательны

4. Получение эквивалентной передаточной функции замкнутой системы

Разомкнутая система управления - система автоматического управления без обратной связи: управляющие воздействия вырабатываются устройством управления обычно по заданной программе. Применяется, например, в станках с числовым программным управлением.

Замкнутая система управления - система управления с замкнутым (посредством обратной связи) контуром передачи воздействий. Является одним из основных типов систем автоматического управления. Управляющие воздействия в замкнутой системе управления вырабатываются в функции отклонения значения управляемой величины от требуемого закона ее изменения. Пример замкнутой системы управления - центробежный регулятор частоты вращения вала двигателя.

Получение эквивалентной передаточной функции замкнутой системы производится по аналогии с получением эквивалентной передаточной функции разомкнутой системы (см. пункт 1). Наиболее быстро получить эквивалентную передаточную функцию замкнутой системы позволяет символический процессор программы MathCAD, используя ранее полученную передаточную функцию разомкнутой системы.

Передаточная функция разомкнутой системы

Y(s)(1+Ws)=W(s)X(s)(s)=Y(s)/X(s)=W(s)/1+W(s)

Передаточная функция замкнутой системы

5. Исследование устойчивости замкнутой системы по корням.

Устойчивость замкнутой системы определяем с помощью функции polyroots, как определяли устойчивость разомкнутой системы (см, пункт 3).

Передаточная функция замкнутой системы

Находим коэффициенты знаменателя

Находим корни характеристического уравнения

Находим коэффициенты знаменателя

Находим корни характеристического уравнения

Находим коэффициенты знаменателя

Находим корни характеристического уравнения

Разомкнутая система устойчива, так как все вещественные корни отрицательны

6. Построение переходной характеристики разомкнутой системы

Под качеством системы управления, прежде всего, понимается ее устойчивость. Оценить устойчивость системы можно по сходимости или расходимости переходного процесса на выходе системы. Для того, чтобы дать системе проявить свои свойства, ее надо вывести из состояния равновесия (если она в нем была) путем подачи на вход некоторого воздействия x(t).

Убедившись в устойчивости системы, мы начинаем интересоваться ее переходным процессом, его качественными и количественными параметрами, такими как:

-              длительность переходного режима, которую хочется уменьшить для скорейшего входа в установившейся режим со стабильными параметрами движения;

-              динамика движения в переходном режиме, который при высоком быстродействии, скорее всего, имеет участки с большими выбросами, высокой колебательностью, резкими разгонами и торможениями, приводящими к перегрузке оборудования системы;

I близость выходного сигнала к желаемому значению в установившемся режиме, что характеризуется статическую точность регулирования.

Чтобы сравнение качественных показателей разных систем было объективным, надо поставить системы в равные условия, выбрав одинаковый входной сигнал. Этот сигнал должен быть простой формы, простым в технической реализации и, главное, способным возбудить в системе все присущие ей собственные движения. Наилучшим тестовым сигналом для исследования динамики систем является дельта-функция x(t) = Я однако реализация идеальной 8-функции невозможна. Обычно используют простую в реализации и ограниченную по амплитуде единичную ступенчатую функцию Я I 1 (0 - Она возбуждает на выходе сигнал, называемый переходной характеристикой, по которой и оценивается способность системы отрабатывать с необходимым качеством произвольные входные воздействия.

Переходная характеристика h(t) I реакция системы на входное воздействие в виде несмещенной единичной функции l(t) при нулевых начальных условиях. Основными показателями качества переходной характеристики являются:

В начальное (в программе ho) и установившееся (в программе hi) значения:

h(∞) и h(ty)

В точность регулирования в установившемся режиме (в программе ∆р):

∆p=0.05|h(∞) - h(o)|

Во время установления переходной характеристики (в программе ty):

Передаточная функция разомкнутой системы

7. Построение переходной характеристики замкнутой системы

Построение замкнутой характеристики проводится по той же по той же методики, что и для разомкнутой системы (смю пункт 7).Это позволяет произвести качественные сравнения этих систем.

8. Получение передаточной функции замкнутой системы по ошибке

передаточный уравнение функция разомкнутый

В теории автоматического управления выражение Фi(p)=называют передаточной функцией системы по ошибке. Оно дает связь между ошибкой и задающим воздействием в замкнутой системе при равенстве нулю возмущающих воздействий.

Передаточную функцию по ошибке можно разложить в ряд по возрастающим степеням комплексной величины р.

Фx(p)= с₀+ с₁p+(с₂/2!)+…

Величины с₀, с₁, с₂,… называются коэффициентами ошибок. Они могут определятся согласно общем правилу разложения функции в ряд Тейлора по формуле:

С_m=[] p=0

В системах с астатизмом первого порядка с₀ = 0, а коэффициент с₁ связан с добротностью по скорости соотношением: с₁=. В системах с астатизмом р второго порядка коэффициенты с₀ и с₁ равны нулю. Коэффициент с₂ связан с добротностью по ускорению соотношением: =.

При исследовании ошибки от возмущающего воздействия можно получить все коэффициенты не равными нулю при астатизме любого порядка, так как астатизму по задающему воздействию может соответствовать наличие статической ошибки по возмущению.

Заключение

Выполнение заданий курсового проекта - весьма разнообразный процесс, включающий в себя не только выполнение заданий работы, но и, в своем роде, исследовательскую часть, которая заключалась в необходимом изменении исходных данных для получения требуемых характеристик.

Поскольку выполнение курсового проекта проводилось на компьютере, решение подобной задачи с другими исходными данными не составит особого труда. Все это стало возможным благодаря символическому процессору программы MathCAD. Следует упомянуть, что именно задачи курсовое проект» и выполнение лабораторных работ по дисциплине «Теория автоматического управления» позволили познакомиться с этой программой. Также необходимо отметить тот факт, что для оформления проекта использовались и другие программы - MS Word (набор и оформление текста), MS Paint (графики и рисунки), Kомпас-3D (чертеж структурной схемы).

Курсовой проект стал одной из важных частей изучения курса ТАУ. Он позволил более широко взглянуть в суть курса «Теории автоматического управления» и познакомится с программной средой MathCAD. Все это очень важно не только для повышения уровня знаний предмет, но и для выполнения дипломного проекта в будущем.

Список используемой литературы

1. Основы теории автоматического управления. Частотные методы анализа и синтеза систем: учеб. пособие дня вузов / ПЛ. Никулин. - СПб.: БХВ - Петербург, 2004. 640 с.

2. Автоматическое регулирование и управление / Е.Л. Попов. - М.: Наука, 1966. 388 С.

3. Теория систем автоматического регулирования / В.А. Бесекерский, Е.П. Попов. М Наука, 1966.

4.   Выполнение курсовых работ но дисциплине «Теория автоматического управления»: мег. указания / Б.Н. Морев. - М:МАМИ, 2010.

5.   Управлении техническими системами: учеб. пособие/Е.Б. Бунько, К.И. Меша. Е.Г Мурачев, В.Е. Смирнов; под ред. В.И. Харитонова. - М.: ФОРУМ, 2010. - 384 с.