Доказательство теоремы о представлении дзета-функции Дедекинда
Содержание
Введение
Глава 1. Теорема о представлении дзета-функции Дедекинда
произведением L-рядов Дирихле
Глава 2. Вывод функционального уравнения дзета-функции Дедекинда
Заключение
Список используемой литературы
Введение
В данной работе мы рассмотрим теорему о представлении
дзета-функции Дедекинда в виде произведения L-функций и пример приложения этой
теоремы к выводу функционального уравнения дзета-функции Дедекинда.
Определим некоторые понятия. Пусть k - конечное расширение
поля Q, a - некоторый главный идеал поля k. Рассмотрим его разложение на
простые идеалы
где для почти всех p.
Через N (a) обозначим абсолютную норму идеала a, т.е. Определим дзета-функцию Дедекинда :
Кроме того каждому характеру сопоставим L-ряд
Глава 1.
Теорема о представлении дзета-функции Дедекинда произведением L-рядов Дирихле
Докажем следующую теорему
Теорема. Пусть K - конечное абелево расширение поля k; тогда
где произведение справа распространяется на все примитивные
характеры, согласованные с характерами группы классов где S - исключительное множество в k, - группа всех идеалов поля k, взаимно
простых с S, - подгруппа конечного индекса,
образованная теми элементами из, которые содержат нормы относительно k идеалов из K, взаимно
простых с S, - подгруппа в подгруппе главных идеалов в, состоящая из таких главных идеалов , для которых и
1. Пусть p - неразветвленный простой идеал из k, т.е.
где - различные простые идеалы в K. Согласно
теории полей классов,
где
Поэтому соответствующий локальный множитель слева равен
в то время как соответствующий локальный множитель справа равен
Ввиду того, что f - наименьшее положительное число такое, что для всех, имеет место следующее легко проверяемое тождество
отсюда, если положить, следует нужное равенство.
. Доказательство для разветвленных простых идеалов сложнее и
использует функциональные уравнения, которым удовлетворяют различные L-функции.
Начнем с равенства
и докажем, что функциятождественно равна единице. равна произведению конечного числа выражений вида
соответствующих разветвленным идеалам p.
теорема дзета функция дедекинд
Если это произведение непостоянно, оно имеет полюс или нуль в
некоторой чисто мнимой точке , где . В силу функционального уравнения представляет собой отношение гамма-функций
и, следовательно, имеет только вещественные нули и полюсы. Поэтому , также является полюсом или нулем функции
g. Мы знаем, однако, что не является нулем или полюсом ни для
L-рядов, ни для функций . Следовательно, g постоянна, а именно
равна 1.
Глава 2.
Вывод функционального уравнения дзета-функции Дедекинда
Пусть k=Q, K=Q (), где - первообразный корень из 1 степени m, . Тогда
(1)
Выведем функциональное уравнение
Воспользуемся функциональным уравнением для :
,
где сумма Гаусса. Воспользуемся (1), получим
,
,
используя свойство сумм Гаусса, получим
,
.
Пусть для любого вещественного характера , тогда
,
.
Известно, что для каждого комплексного характера существует
сопряжённый, тогда получим
,
,
,
.
Используя функциональное уравнение для дзета-функции Римана:
получим
где D - дискриминант поля K.
Таким образом мы получили функциональное уравнение для
дзета-функции Дедекинда в случае, когда k=Q, K=Q ().
Заключение
В данной работе мы доказали теорему о представлении дзета-функции
Дедекинда в виде произведения L-функций и с помощью этой теоремы вывели
функциональное уравнение дзета-функции Дедекинда в случае k=Q, K=Q (), где - первообразный корень из 1 степени m.
Список
используемой литературы
1. Касселс
Дж., Фрёлих А. Алгебраическая теория чисел. - М., "Мир", 1969, с.328
- 330