t
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
Y (t)
|
43
|
54
|
64
|
41
|
45
|
58
|
71
|
43
|
49
|
62
|
74
|
45
|
54
|
66
|
79
|
48
|
Требуется:
1. Построить
адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора,
применив параметры сглаживания α1 = 0,3; α2 =
0,6; α3 = 0,3.
2. Оценить
точность построенной модели с использованием средней ошибки аппроксимации;
3. Оценить
адекватность построенной модели на основе исследования:
случайности
остаточной компоненты по критерию пиков;
независимости
уровней ряда остатков по d-критерию (в качестве
критических использовать уровни d1 = 1,10 и d2 = 1,37) и по первому коэффициенту
автокорреляции при критическом уровне значения r1
= 0,32;
нормальности
распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.
4. Построить
точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.
5. Отобразить
на графиках фактические, расчетные и прогнозные данные.
Решение:
1. Для
оценки начальных значений а (0) и b (0) применим
линейную модель к первым 8 значениям Y (t). Линейная модель имеет вид:
Метод наименьших квадратов дает
возможность определить коэффициенты линейного уравнения по формулам:
Таблица 1
t
|
Y (t)
|
t-tср
|
(t-tср) 2
|
Y-Yср
|
(Y-Yср) х (t-tср)
|
1
|
43
|
-4
|
12
|
-9
|
33
|
2
|
54
|
-3
|
6
|
2
|
-4
|
3
|
64
|
-2
|
2
|
12
|
-17
|
4
|
41
|
-1
|
0
|
-11
|
6
|
5
|
45
|
1
|
0
|
-7
|
-4
|
6
|
58
|
2
|
2
|
6
|
8
|
7
|
71
|
3
|
6
|
19
|
47
|
8
|
43
|
4
|
12
|
-9
|
-33
|
36
|
419
|
0
|
42
|
0
|
36
|
Произведем
расчет:
Получим
линейное уравнение вида:
Для
сопоставления фактических данных и рассчитанных по линейной модели значений
составим таблицу.
Таблица 2. Сопоставление фактических и расчетных значений по линейной
модели
t
|
Y (t)
|
Yp (t)
|
1
|
43
|
49,42
|
2
|
54
|
50,26
|
3
|
64
|
51,11
|
4
|
41
|
51,95
|
5
|
45
|
52,80
|
6
|
58
|
53,64
|
7
|
71
|
54,49
|
8
|
43
|
55,33
|
Коэффициент
сезонности есть отношение фактического значения экономического показателя к
значению, рассчитанному по линейной модели.
Поэтому в
качестве оценки коэффициента сезонности I квартала F (-3) может служить отношение фактических и расчетных
значений Y (t) I квартала первого года, равное , и
такое же отношение для I квартала второго года (т.е. за
V квартал t=5) .
Для
окончательной, более точной, оценки этого коэффициента сезонности можно
использовать среднее арифметическое значение этих двух величин.
Аналогично находим оценки коэффициентов
сезонности для II, III и IV кварталов:
Построим
адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса (табл. 3) используя
следующие формулы:
Таблица 3.
Модель Хольта-Уинтерса
t
|
Y (t)
|
a (t)
|
b (t)
|
F (t)
|
Yp (t)
|
Абс. погр.,
E (t)
|
Отн. погр.,
в%
|
0
|
|
48,57
|
0,85
|
0,8612
|
-
|
|
-
|
1
|
43
|
49,57
|
0,89
|
0,8650
|
42,56
|
0,44
|
1,03
|
2
|
54
|
50,35
|
0,86
|
1,0746
|
54,39
|
-0,39
|
0,72
|
3
|
64
|
50,88
|
0,76
|
1,2658
|
65,43
|
-1,43
|
2,24
|
4
|
41
|
51,85
|
0,82
|
0,7877
|
40,44
|
0,56
|
1,37
|
5
|
45
|
52,48
|
0,76
|
0,8605
|
45,56
|
-0,56
|
1,24
|
6
|
58
|
53,46
|
0,83
|
1,0807
|
57,21
|
0,79
|
1,36
|
7
|
71
|
54,83
|
0,99
|
1,2833
|
68,73
|
2,27
|
3, 20
|
8
|
43
|
55,45
|
0,88
|
0,7803
|
43,97
|
-0,97
|
2,26
|
9
|
49
|
56,52
|
0,94
|
0,8644
|
48,47
|
0,53
|
1,07
|
10
|
62
|
57,43
|
0,93
|
1,0801
|
62,09
|
-0,09
|
0,15
|
11
|
74
|
58,15
|
0,87
|
1,2769
|
74,89
|
-0,89
|
1, 20
|
12
|
45
|
58,61
|
0,74
|
0,7728
|
46,05
|
-1,05
|
2,34
|
13
|
54
|
60,29
|
1,03
|
0,8832
|
51,31
|
2,69
|
4,99
|
14
|
66
|
61,25
|
1,01
|
1,0785
|
66,23
|
-0,23
|
0,34
|
15
|
79
|
62,14
|
0,97
|
1,2735
|
79,50
|
-0,50
|
0,63
|
16
|
48
|
62,81
|
0,88
|
0,7676
|
48,77
|
-0,77
|
1,61
|
|
|
|
|
|
|
|
25,75
|
Проверка
качества модели.
Для того
чтобы модель была качественной уровни, остаточного ряда E
(t) (разности между
фактическими и расчетными значениями экономического показателя) должны
удовлетворять определенным условиям (точности и адекватности). Для проверки
выполнения этих условий составим таблицу 4.
Таблица 4.
Промежуточные расчеты для оценки адекватности модели
t
|
E (t)
|
Точка поворота
|
E (t) 2
|
[E (t) - E (t-1)]
2
|
E (t) xE (t-1)
|
1
|
0,44
|
-
|
0, 194
|
-
|
-
|
2
|
-0,39
|
0
|
0,150
|
0,69
|
-0,17
|
3
|
-1,43
|
1
|
2,05
|
1,09
|
0,55
|
4
|
0,56
|
1
|
0,32
|
3,98
|
-0,81
|
5
|
-0,56
|
1
|
0,31
|
1,26
|
-0,32
|
6
|
0,79
|
0
|
0,62
|
1,81
|
-0,44
|
7
|
1
|
5,17
|
2,21
|
1,79
|
8
|
-0,97
|
1
|
0,95
|
10,54
|
-2,21
|
9
|
0,53
|
1
|
0,28
|
2,24
|
-0,51
|
10
|
-0,09
|
0
|
0,01
|
0,38
|
-0,05
|
11
|
-0,89
|
0
|
0,78
|
0,63
|
0,08
|
12
|
-1,05
|
1
|
1,11
|
0,03
|
0,93
|
13
|
2,69
|
1
|
7,26
|
14,03
|
-2,83
|
14
|
-0,23
|
0
|
0,05
|
8,52
|
-0,61
|
15
|
-0,50
|
0
|
0,25
|
0,07
|
0,11
|
16
|
-0,77
|
-
|
0,60
|
0,08
|
0,38
|
Сумма
|
0,41
|
8,00
|
20,09
|
47,57
|
-4,09
|
2. Проверка
точности модели.
Будем
считать, что условие точности выполнено, если относительная погрешность (абсолютное
значение отклонения abs{E (t) }, поделенное на фактическое значение Y
(t) и выраженное в процентах 100%* abs{E (t) }/ Y (t) в среднем не превышает 5%. Суммарное значение
относительных погрешностей составляет 25,75. Средняя величина: 25,75/16=1,61%,
значит, условие точности выполнено.
3. Проверка
условия адекватности.
Для того
чтобы модель была адекватна исследуемому процессу, ряд остатков E (t) должен обладать свойствами
случайности, независимости последовательных уровней, нормальности распределения.
Проверка
случайности уровней. Проверку случайности уровней остаточной компоненты (гр.2
табл.4) проводим на основе критерия поворотных точек. Для этого каждый уровень
ряда Е сравниваем с двумя соседними. Если он
больше (либо меньше) обоих соседних уровней, то точка считается поворотной и в
гр.3 табл.4 для этой строки ставится 1, в противном случае в гр.3 ставится 0. В
первой и в последней строке гр.3 табл.4 ставится прочерк или иной знак, так как
у этого уровня нет двух соседних уровней.
Общее
число поворотных точек в нашем примере равно р=8.
Рассчитаем
значение :
Функция int означает, что от полученного значения берется только
целая часть. При N = 16.
Так как
количество поворотных точек р= 8 больше q=6, то условие
случайности уровней ряда остатков выполнено.
Проверка
независимости уровней ряда остатков (отсутствия автокорреляции). Проверку
проводим двумя методами:
1) по d-критерию критерий Дарбина-Уотсона (критические уровни d1=1,10 и d2=1,37):
Так как полученное значение больше 2, то
величину d уточним:
Условие выполнено (1,37<1,63<2),
следовательно, уровни ряда Е (t) являются
независимыми.
2) по первому коэффициенту автокорреляции r (1):
Если
модуль рассчитанного значения первого коэффициента автокорреляции меньше
критического значения < rтабл.,
то уровни ряда остатков независимы. Для нашей задачи критический уровень rтабл. = 0,32. Имеем: =0,20
< rтабл. = 0,32 - значит уровни
независимы.
Проверка
соответствия ряда остатков нормальному распределению определяем по RS-критерию. Рассчитаем значение RS:
,
где - максимальное значение уровней ряда
остатков ;
- минимальное значение уровней ряда
остатков ;
S - среднее квадратическое отклонение.
Emax - Emin
= 2,69 - (-1,43) = 4,13
Уровни
ряда остатков подчиняются нормальному распределению т.к полученное значение RS (3,57) попадает в заданный интервал (3,00<3,57<4,21).
Таким
образом, все условия адекватности и точности выполнены. Следовательно, можно
говорить об удовлетворительном качестве модели и возможности проведения
прогноза показателя Yp (t)
на год.
4. Расчет
прогнозных значений экономического показателя.
Составим
прогноз на четыре квартала вперед (т.е. на 1 год, с t=17
по t=20). Максимальное значение t,
для которого могут быть рассчитаны коэффициенты и определяется количеством исходных
данных и равно 16. Рассчитав значения и (см. табл.1.4) по формуле:
,
где k - период упреждения;
- расчетное значение экономического
показателя для t-го периода;
- коэффициенты модели;
- значение коэффициента сезонности того
периода, для которого рассчитывается экономический показатель;
- период сезонности.
Определим
прогнозные значения экономического показателя Yp
(t) для: t = 17, 18,19 и 20.
5. На
нижеприведенном рисунке проводится сопоставление фактических и расчетных данных.
Здесь же показаны прогнозные значения о кредитах на год вперед. Из рисунка
видно, что расчетные данные хорошо согласуются с фактическими, что говорит об
удовлетворительном качестве прогноза.
Рис.1. Сопоставление
расчетных и фактических данных
Даны цены
(открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал
сглаживания принять равным 5 дням.
Дни
|
Цены
|
макс.
|
мин.
|
закр.
|
1
|
858
|
785
|
804
|
2
|
849
|
781
|
849
|
3
|
870
|
801
|
806
|
4
|
805
|
755
|
760
|
5
|
785
|
742
|
763
|
6
|
795
|
755
|
795
|
7
|
812
|
781
|
800
|
8
|
854
|
791
|
853
|
9
|
875
|
819
|
820
|
10
|
820
|
745
|
756
|
Рассчитать:
экспоненциальную скользящую среднюю; момент; скорость изменения цен; индекс
относительной силы; % R,% К,% D;
Расчеты
проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании
имеющихся данных.
Решение:
Для
расчета экспоненциальной скользящей средней воспользуемся формулой:
,
где k = 2/ (n + 1),
- цена закрытия t-го
дня;
- значение EMA
текущего дня t.
Момент
рассчитывается как разница конечной цены текущего дня и
цены n дней тому назад :
где - цена закрытия t-го
дня.
- значение МОМ текущего дня t.
Скорость
изменения цен рассчитываем как отношение конечной цены текущего дня к цене n дней тому назад, выраженное в процентах:
,
где - цена закрытия t-го
дня.
- значение ROC
текущего дня t.
Таблица 1. Результаты расчетов экспоненциальной скользящей средней, момента,
скорости изменения цен
Дни
|
Цены закр
|
ЕМАt
|
МОМt
|
ROCt
|
1
|
804
|
804,00
|
-
|
-
|
2
|
849
|
819,00
|
-
|
-
|
3
|
806
|
814,67
|
-
|
-
|
4
|
760
|
796,44
|
-
|
-
|
5
|
763
|
785,30
|
-
|
-
|
6
|
795
|
788,53
|
-9,0
|
98,88
|
7
|
800
|
792,35
|
-49,0
|
94,23
|
8
|
853
|
812,57
|
47,0
|
105,83
|
9
|
820
|
815,05
|
60,0
|
107,89
|
10
|
756
|
795,36
|
-7,0
|
99,08
|
Для
расчета индекса относительной силы используем формулу:
,
где AU - сумма приростов конечных цен за n последних дней;
AD - сумма убыли конечных цен за n последних дней.
Таблица 2.
Результаты расчета индекса относительной силы
Дни
|
Цены закрытия
|
Изменение (+/-)
|
RSI
|
|
|
1
|
804
|
45
|
-
|
|
2
|
849
|
-43
|
-
|
|
3
|
806
|
-46
|
-
|
|
4
|
760
|
3
|
-
|
|
5
|
763
|
32
|
-
|
|
6
|
795
|
5
|
47,3
|
|
7
|
800
|
53
|
31,0
|
|
8
|
853
|
-33
|
66,9
|
|
9
|
820
|
-64
|
73,8
|
|
10
|
756
|
45
|
48,1
|
|
Рассчитаем
%R, %К, %D используя следующие
формулы:
,
где - значение индекса текущего дня t;
- цена закрытия t-го
дня;
L5 и Н5 - минимальная и максимальные цены за n предшествующих дней, включая текущие.
,
где - значение индекса текущего дня t;
- цена закрытия t-го
дня;
L5 и Н5 - минимальная и максимальная цены за 5
предшествующих дней, включая текущие.
Индекс % D рассчитывается аналогично индексу %К, с той лишь разницей, что при
его построении величины и
сглаживают, беря их трехдневную сумму.
Таблица 3.
Результаты расчетов %R, %К, %D
Дни
|
Цены
|
% Kt
|
% Rt
|
%Dt
|
макс
|
мин
|
закр
|
1
|
858
|
785
|
804
|
|
-
|
-
|
2
|
849
|
781
|
849
|
-
|
-
|
-
|
3
|
870
|
801
|
806
|
-
|
-
|
-
|
4
|
805
|
755
|
760
|
-
|
-
|
-
|
5
|
785
|
742
|
763
|
16,41
|
83,59
|
-
|
6
|
795
|
755
|
795
|
41,41
|
58,59
|
-
|
7
|
812
|
781
|
800
|
45,31
|
54,69
|
34,38
|
8
|
854
|
791
|
853
|
99,11
|
60,33
|
9
|
875
|
819
|
820
|
58,65
|
41,35
|
66,22
|
10
|
820
|
745
|
756
|
8,46
|
91,54
|
53,33
|
3.1 Банк
выдал ссуду, размером 5 000 000 руб. Дата выдачи ссуды 08.01.02, возврата 22.03.02.
День выдачи и день возврата считать за 1 день. Проценты рассчитываются по
простой процентной ставке 55% годовых. Найти:
3.1 1) точные
проценты с точным числом дней ссуды;
3.1 2) обыкновенные
проценты с точным числом дней ссуды;
3.1 3) обыкновенные
проценты с приближенным числом дней ссуды.
Решение:
3.1 1) К
= 365, t = 73, I = 5 000 000 х
0,55 х 73/365 = 550 000,00 руб.
3.1 2) К
= 360, t = 73, I = 5 000 000 х
0,55 х 73/360 = 557 638,89 руб.
3.1 3) К
= 360, t = 74, I = 5 000 000 х
0,55 х 74/360 = 565 277,78 руб.
3.2 Через
90 дней после подписания договора должник уплатил 5 000 000 руб.
Кредит
выдан под 55% годовых (проценты обыкновенные).
Какова
первоначальная сумма и дисконт?
Решение:
P = S / (1 + ni)
= 5 000 000/ (1 + 0,55 х 90/360) = 4 395 604,40 руб.
D = S - P = 5 000 000 - 3 395 604,40 = 604 395,60 руб.
3.3 Через
90 предприятие должно получить по векселю 5 000 000 руб. Банк приобрел этот
вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке 55% годовых (год равен
360 дням). Определить полученную предприятием сумму и дисконт.
Решение:
D = Snd = 5 000 000 x 0,55 х 90/360 = 687 500,00 руб.
P = S - D = 5 000 000 - 687 500,00= 4 312 500,00 руб.
3.4 В
кредитном договоре на сумму 5 000 000 руб. и сроком на 5 лет, зафиксирована
ставка сложных процентов, равная 55% годовых. Определить наращенную сумму.
Решение:
S = P x (1+i) n
= 5 000 000 х (1+0,55) 5 = 44 733 048,44 руб.
3.5 Сумма
размером 5 000 000 руб. представлена на 5 лет. Проценты сложные, ставка 55%
годовых. Проценты начисляются 4 раза в году. Вычислить наращенную сумму.
Решение:
N = 5 x 4 = 20
S = P x (1+j / m) N = 5 000 000 х (1 + 0,55/4) 20
= 65 765 497,67 руб.
3.6. Вычислить
эффективную ставку процентов, если банк начисляет проценты 4 раза в год, исходя
из номинальной ставки 55% годовых.
Решение:
iэ = (1 + j / m) m - 1 = (1 + 0,55/4) 4
- 1 = 0,6742, т.е.67,42%.
3.7. Определить,
какой должна быть номинальная ставка при начислении процентов 4 раза в году,
чтобы обеспечить эффективную ставку 55% годовых.
Решение:
j = m x [ (1 + iэ) 1/m - 1] = 4 x [ (1 + 0,55) (1/4)
- 1] = 0,46316, т.е.46,316%.
3.8. Через
5 лет предприятию будет выплачена сумма 5 000 000 руб. Определить ее
современную стоимость при условии, что применяется сложная процентная ставка
55% годовых.
Решение:
руб.
3.9. Через
5 лет по векселю должна быть выплачена сумма 5 000 000 руб. Банк учел вексель
по учетной ставке 55% годовых. Определить дисконт.
Решение:
P = S (1 - dсл) n = 5
000 000 x (1 - 0,55) 5 = 92 264,06 руб.
D = S - P = 5 000 000 - 92 264,06 = 4 907 735,94 руб.
3.10. В
течение 5 лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 5 000 000 руб.,
на которые 4 раза в году начисляются проценты по сложной годовой ставке 55%. Определить
сумму на расчетном счете к концу указанного срока.
Решение:
руб.