Основные направления западноевропейской экономической мысли 2-ой половины 19 века
Федеральное
агентство по образованию РФ
ГОУ ВПО
"Московский
Государственный Текстильный Университет им. А.Н. Косыгина"
ФИТАЭ
Кафедра
автоматики и промышленной электроники
Курсовая
работа
Тема: "Синтез
астатических систем"
Дисциплина: "Теория
Автоматического Управления"
Москва 2009
Исходные данные:
ПИ-закон
1. По заданной системе
уравнений получить передаточную функцию объекта управления и составить
структурную схему замкнутой САУ, считая регулятор звеном с входной величиной Е,
выходной U и передаточной функцией
2. Выбрать регулятор
таким образом, чтобы система обладала свойством астатизма по отношению к
постоянному задающему g(t) и возмущающему f(t) воздействию.
Для того чтобы система
обладала астатизмом необходимо выполнение условия – величина установившейся
ошибки по заданию и возмущению должна быть равна 0. Проверим это условие на
регуляторах:
·
Выбираем П – регулятор
Т.к. величина
установившейся ошибки не равна нулю, то система не обладает астатизмом,, а
следовательно считать ошибку по каналу f-E нет
необходимости.
·
Выбираем И –
регулятор
Обе ошибки равны нулю
следовательно система с И - регулятором является астатической. Данный регулятор
нам подходит
·
Проверим наш ПИ –
регулятор
Система так же является
астатической, что является тем, что выбранный нами ПИ – регулятор подходит к
условию задания.
3. Найти область значений
постоянной времени регулятора для И – закона управления, обеспечивающих
устойчивость системы.
Найдем передаточную
функцию замкнутой системы по каналу g-y и затем выделим ее
характеристическое уравнение.
Характеристическое
уравнение Q(p):
Уравнение 3 порядка,
следовательно, для устойчивости системы необходимо чтобы произведение
внутренних коэффициентов характеристического уравнения было больше произведения
внешних коэффициентов.
Следовательно область
значений для И – закона можно определить интервалом .
4. Для И – закона
регулирования найти минимальную возможную величину установившейся ошибки, если g(t)=2t и f(t)=-3t.
Для определения
минимальной установившейся ошибки нам необходимо узнать при каком значении
постоянной времени система находится на границе устойчивости. Для этого отыщем
передаточную функцию и характеристическое уравнение системы с И – регулятором.
И затем найдем значение
Находим значение
постоянной времени на границе устойчивости:
Найдем величину
установившейся ошибки при g(t)=2t и f(t)=-3t
Поскольку задающее воздействие
у нас g(t)=2t, то используя
преобразование Лапласа получаем:
тогда величина
установившейся ошибки будет
Подставляем полученное
значение и получаем
Найдем ошибку по каналу f-E
Подставляем и получаем
Тогда
5. Построить, с
использованием ЭВМ, область устойчивости, на плоскости, параметров регулятора
при использовании ПИ – закона, обосновать возможность и путь получения
допустимой установившейся ошибки при и .
Для построение области
устойчивости необходимо найти характеристическое уравнение передаточной функции
для данного регулятора.
Отсюда:
Запишем условие, при
котором система находится на границе устойчивости:
Выразим зависимость
от
Строим область
устойчивости по по лученной зависимости:
Ти
|
Кп
|
0,01
|
4,00
|
0,02
|
1,50
|
0,03
|
0,67
|
0,04
|
0,25
|
0,05
|
0,00
|
0,06
|
-0,17
|
0,07
|
-0,29
|
0,08
|
-0,38
|
0,09
|
-0,44
|
Таким образом выбирая
значения параметров регулятора над границей устойчивости – мы получаем устойчивую
систему, и наоборот.
6. Вычислить значения
параметров ПИ – регулятора, обеспечивающих устойчивость и установившуюся ошибку
в системе = 0,06 при g(t)=2t и f(t)=0
Поскольку возмущение f(t)=0, то . Найдем :
для этого найдем
передаточную функцию замкнутой системы по каналу g-E
По условию , тогда подставим это значение в
получившееся выражение:
Таким образом для
получения в системе установившейся ошибке равной 0,06 необходимо задать
параметру постоянной времени значение 0,03.
7. Для интегрального
закона регулирования и начальных условий ,
выбрать оптимальное значение постоянной времени регулятора по критерию: (Рассматривается движение в системе при g(t)=f(t)=0 и ненулевых начальных условиях).
Для решения мы будем
использовать метод Мондельштама. Для этого нам необходимо найти передаточную
функцию замкнутой системы и взять характеристическое уравнение:
Получаем уравнение:
Поочередно умножаем его
на и на Е
Интегрируем полученное
уравнение по частям
Получаем:
Интегрируем полученное
уравнение по частям
Получаем:
Из полученных уравнений
составим систему уравнений:
Выбираем =1,054
8. Для найденного в
пункте 7 значения постоянной времени регулятора построить с помощью ЭВМ
вещественную частотную характеристику P(ω), приняв входным воздействием g(t) и входной координатой E(t)/
Для нахождения вещественной
характеристики нам понадобится передаточная функция замкнутой системы по каналу
g-y.
Перейдем в частотную
область p=jω:
Домножаем на сопряженное
знаменателю число и получаем:
Отделяем действительную
часть U(ω):
При =1,054
w
|
p(w)
|
0
|
1
|
0,1
|
1,010058
|
0,2
|
1,039191
|
0,3
|
1,079471
|
0,4
|
1,099022
|
0,5
|
0,997092
|
0,6
|
0,58593
|
0,7
|
-0,06976
|
0,8
|
-0,48243
|
0,9
|
-0,56794
|
1
|
-0,5208
|
1,1
|
-0,44696
|
1,2
|
-0,3782
|
1,3
|
-0,32081
|
1,4
|
-0,27428
|
1,5
|
-0,23666
|
1,6
|
-0,20606
|
1,7
|
-0,18095
|
1,8
|
-0,16013
|
1,9
|
-0,14269
|
2
|
-0,12796
|
2,5
|
-0,08003
|
3
|
-0,05481
|
3,5
|
-0,03991
|
4
|
-0,03037
|
4,5
|
-0,02389
|
5
|
-0,01929
|
5,5
|
-0,0159
|
6
|
-0,01334
|
9. По вещественной
характеристике P(ω) пункта 8 построить переходной
процесс E(t) при единичном ступенчатом изменении g(t) и нулевых начальных условиях методом трапециидальных
частотных характеристик.
Для построения переходного
процесса нам необходимо разбить получившуюся вещественную характеристику на
трапеции и построить переходный процесс для каждой из полученных трапеций.
|
|
R(0)
|
Wo
|
Wd
|
æ
|
I
|
-
|
0,099021688
|
0,38
|
0,1
|
0,263158
|
II
|
+
|
1,666965285
|
0,88
|
0,43
|
0,488636
|
III
|
-
|
0,567943597
|
6
|
0,95
|
0,158333
|
1-я трапеция
t табл
|
h(æ)
|
t=t табл/Wo
|
h=R(0)*h(æ)
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0,5
|
0,199
|
1,315789474
|
-0,019705316
|
1
|
0,386
|
2,631578947
|
-0,038222372
|
1,5
|
0,56
|
3,947368421
|
-0,055452145
|
2
|
0,709
|
5,263157895
|
-0,070206377
|
2,5
|
0,833
|
6,578947368
|
-0,082485066
|
3
|
0,928
|
7,894736842
|
-0,091892127
|
3,5
|
0,994
|
9,210526316
|
-0,098427558
|
4
|
1,039
|
10,52631579
|
-0,102883534
|
4,5
|
1,057
|
11,84210526
|
-0,104665924
|
5
|
1,067
|
13,15789474
|
-0,105656141
|
5,5
|
1,067
|
14,47368421
|
-0,105656141
|
6
|
1,054
|
15,78947368
|
-0,104368859
|
6,5
|
1,043
|
17,10526316
|
-0,103279621
|
7
|
1,035
|
18,42105263
|
-0,102487447
|
7,5
|
1,025
|
19,73684211
|
-0,10149723
|
8
|
1,024
|
21,05263158
|
-0,101398209
|
8,5
|
1,022
|
22,36842105
|
-0,101200165
|
9
|
1,025
|
23,68421053
|
-0,10149723
|
9,5
|
1,027
|
25
|
-0,101695274
|
10
|
1,027
|
26,31578947
|
-0,101695274
|
10,5
|
1,028
|
27,63157895
|
-0,101794295
|
11
|
1,025
|
28,94736842
|
-0,10149723
|
11,5
|
1,021
|
30,26315789
|
-0,101101144
|
12
|
1,015
|
31,57894737
|
-0,100507013
|
12,5
|
1,01
|
32,89473684
|
-0,100011905
|
13
|
1,005
|
34,21052632
|
-0,099516797
|
13,5
|
1
|
35,52631579
|
-0,099021688
|
14
|
0,997
|
36,84210526
|
-0,098724623
|
14,5
|
0,996
|
38,15789474
|
-0,098625601
|
15
|
0,995
|
-0,09852658
|
15,5
|
0,995
|
40,78947368
|
-0,09852658
|
16
|
0,995
|
42,10526316
|
-0,09852658
|
16,5
|
0,995
|
43,42105263
|
-0,09852658
|
17
|
0,995
|
44,73684211
|
-0,09852658
|
17,5
|
0,995
|
46,05263158
|
-0,09852658
|
18
|
0,995
|
47,36842105
|
-0,09852658
|
18,5
|
0,994
|
48,68421053
|
-0,098427558
|
19
|
0,992
|
50
|
-0,098229515
|
19,5
|
0,991
|
51,31578947
|
-0,098130493
|
20
|
0,991
|
52,63157895
|
-0,098130493
|
2-я трапеция
t табл
|
h(æ)
|
t=t табл/Wo
|
h=R(0)*h(æ)
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0,5
|
0,24
|
0,568181818
|
0,400071669
|
1
|
0,461
|
1,136363636
|
0,768470997
|
1,5
|
0,665
|
1,704545455
|
1,108531915
|
2
|
0,833
|
2,272727273
|
1,388582083
|
2,5
|
0,967
|
2,840909091
|
1,611955431
|
3
|
1,061
|
3,409090909
|
1,768650168
|
3,5
|
1,115
|
3,977272727
|
1,858666293
|
4
|
1,142
|
4,545454545
|
1,903674356
|
4,5
|
1,138
|
5,113636364
|
1,897006495
|
5
|
1,118
|
5,681818182
|
1,863667189
|
5,5
|
1,092
|
6,25
|
1,820326092
|
6
|
1,051
|
6,818181818
|
1,751980515
|
6,5
|
1,018
|
7,386363636
|
1,696970661
|
7
|
0,993
|
7,954545455
|
1,655296528
|
7,5
|
0,974
|
8,522727273
|
1,623624188
|
8
|
0,966
|
9,090909091
|
1,610288466
|
8,5
|
0,966
|
9,659090909
|
1,610288466
|
9
|
0,97
|
10,22727273
|
1,616956327
|
9,5
|
0,975
|
10,79545455
|
1,625291153
|
10
|
0,982
|
11,36363636
|
1,63695991
|
10,5
|
0,987
|
11,93181818
|
1,645294737
|
11
|
0,993
|
12,5
|
1,655296528
|
11,5
|
0,997
|
13,06818182
|
1,66196439
|
12
|
0,997
|
13,63636364
|
1,66196439
|
12,5
|
0,997
|
14,20454545
|
1,66196439
|
13
|
0,997
|
14,77272727
|
1,66196439
|
13,5
|
0,998
|
15,34090909
|
1,663631355
|
14
|
1
|
15,90909091
|
1,666965285
|
14,5
|
1,002
|
16,47727273
|
1,670299216
|
15
|
1,005
|
17,04545455
|
1,675300112
|
15,5
|
1,008
|
17,61363636
|
1,680301008
|
16
|
1,011
|
18,18181818
|
1,685301904
|
16,5
|
1,011
|
18,75
|
1,685301904
|
17
|
1,012
|
19,31818182
|
1,686968869
|
17,5
|
1,009
|
19,88636364
|
1,681967973
|
18
|
1,008
|
20,45454545
|
1,680301008
|
18,5
|
1,006
|
21,02272727
|
1,676967077
|
19
|
1,001
|
21,59090909
|
1,668632251
|
19,5
|
0,998
|
22,15909091
|
1,663631355
|
20
|
0,996
|
22,72727273
|
1,660297424
|
|
|
|
|
|
3-я трапеция
t табл
|
h(æ)
|
t=t табл/Wo
|
h=R(0)*h(æ)
|
0
|
0
|
0,0000
|
0,0000
|
0,5
|
0,184
|
0,0833
|
-0,1045
|
1
|
0,256
|
0,1667
|
-0,1454
|
1,5
|
0,516
|
0,2500
|
-0,2931
|
2
|
0,655
|
0,3333
|
-0,3720
|
2,5
|
0,833
|
0,4167
|
-0,4731
|
3
|
0,863
|
0,5000
|
-0,4901
|
3,5
|
0,928
|
0,5833
|
-0,5271
|
4
|
0,974
|
0,6667
|
-0,5532
|
4,5
|
0,977
|
0,7500
|
-0,5549
|
5
|
1,012
|
0,8333
|
-0,5748
|
5,5
|
1,019
|
0,9167
|
-0,5787
|
6
|
1,013
|
1,0000
|
-0,5753
|
6,5
|
1,009
|
1,0833
|
-0,5731
|
7
|
1,006
|
1,1667
|
-0,5714
|
7,5
|
1,006
|
1,2500
|
-0,5714
|
8
|
1,008
|
1,3333
|
-0,5725
|
8,5
|
1,01
|
1,4167
|
-0,5736
|
9
|
1,016
|
1,5000
|
-0,5770
|
9,5
|
1,022
|
1,5833
|
-0,5804
|
10
|
1,025
|
1,6667
|
-0,5821
|
10,5
|
1,028
|
1,7500
|
-0,5838
|
11
|
1,029
|
1,8333
|
-0,5844
|
11,5
|
1,027
|
1,9167
|
-0,5833
|
12
|
1,025
|
2,0000
|
-0,5821
|
12,5
|
1,022
|
2,0833
|
-0,5804
|
13
|
1,019
|
2,1667
|
-0,5787
|
13,5
|
1,017
|
2,2500
|
-0,5776
|
14
|
1,016
|
2,3333
|
-0,5770
|
14,5
|
1,015
|
2,4167
|
-0,5765
|
15
|
1,014
|
2,5000
|
-0,5759
|
15,5
|
1,014
|
2,5833
|
-0,5759
|
16
|
1,014
|
2,6667
|
-0,5759
|
16,5
|
2,7500
|
-0,5759
|
17
|
1,013
|
2,8333
|
-0,5753
|
17,5
|
1,012
|
2,9167
|
-0,5748
|
18
|
1,011
|
3,0000
|
-0,5742
|
18,5
|
1,009
|
3,0833
|
-0,5731
|
19
|
1,008
|
3,1667
|
-0,5725
|
19,5
|
1,006
|
3,2500
|
-0,5714
|
20
|
1,005
|
3,3333
|
-0,5708
|
20,5
|
1,004
|
3,4167
|
-0,5702
|
21
|
1,003
|
3,5000
|
-0,5696
|
21,5
|
1,003
|
3,5833
|
-0,5696
|
22
|
1,002
|
3,6667
|
-0,5691
|
22,5
|
1,002
|
3,7500
|
-0,5691
|
23
|
1,002
|
3,8333
|
-0,5691
|
23,5
|
1,002
|
3,9167
|
-0,5691
|
24
|
1,001
|
4,0000
|
-0,5685
|
24,5
|
1
|
4,0833
|
-0,5679
|
25
|
1
|
4,1667
|
-0,5679
|
25,5
|
0,999
|
4,2500
|
-0,5674
|
26
|
0,999
|
4,3333
|
-0,5674
|
Суммируем графически
полученные процесы и получаем
10. Определить время
регулирования и максимальное перерегулирование в системе.
11. Разработать и
начертить структурную схему комбинированной САУ, инвариантной по отношению к
контролируемому возмущению .
Привести передаточную
функцию устройства управления.
Проверить выполнение
условия инвариантности.
Условия инвариантности:
, если
, если
При выборе корректирующих
звеньев в виде обратных передаточных функций возникает проблема. Она обычно
связана с тем, что порядок числителя корректирующего звена становится больше
порядка знаменателя. Это означает, что частотные характеристики таких звеньев
являются расходящимися, что говорит о том, что физически такие звенья
нереализуемы. В тех случаях, когда корректирующие звенья применять необходимо,
порядок числителя этих звеньев искусственно приравнивают к порядку знаменателя,
отбрасывая в числители высшие порядки.
12. Предложить и
обосновать методы компенсации действия неконтролируемых возмущений, если
известен класс функций, которыми они описываются.
астатический
автоматический управление моделирование программа
Решить проблему
инвариантности можно, если известна предварительная информация о классе
возмущающих воздействий. В частности, если известен математический аппарат,
описывающий функцию f(t), заданный в виде решения некоторого
дифференциального уравнения.
Процедура синтеза
предусматривает:
1.
восстановление
вида дифференциального уравнения по заданному решению;
2.
получение
характеристического уравнения;
3.
выбор
передаточной функции регулятора, в которой знаменатель совпадает с видом
полученного характеристического уравнения. Числитель передаточной функции
регулятора выбирается того же порядка, что и знаменатель;
4.
неизвестные
коэффициенты числителя передаточной функции регулятора определяются из условий
устойчивости замкнутой системы.
13. Провести
моделирование в программе MatLab.
Определить настройки регулятора, обеспечивающего минимизацию времени
регулирования.
При нулевом задающем
воздействии со значением регулятора, полученными в 7 пункте:
При единичном задающем
воздействии:
Для снижения времени
регулирования можно немного увеличить значения регулятора примерно до 1,085.
Так же значительно
уменьшает время регулирование и введение
пропорциональной составляющей, т.е. использование ПИ – регулятора. С его помощью
легко можно уменьшить время регулирования примерно в 1,7 раза.
Список используемой
литературы
·
Лекции по курсу
ТАУ, Румянцев Ю.Д.
·
"Теория
автоматического управления", Воронов А.А.
·
"Теория
систем автоматического управления", Бесекерский В.А.
Приложение