Анализ зависимости между уровня комплемента в крови больных системной красной волчанкой и степенью тяжести поражения почек
Санкт-Петербургский
Государственный Университет
Факультет
прикладной математики - процессов управления
Кафедра
диагностики функциональных систем
Анализ
зависимости между УК в крови больных СКВ и степенью тяжести поражения почек
Курсовая
работа
Варламова
Александра
Александровна
Научный руководитель
доктор медицинских наук, профессор
Шишкин В.И.
Санкт-Петербург
2008
Содержание
§1. Введение
§2. Постановка задачи
§3. Используемые методы
1. Дисперсионный анализ по одному признаку для проверки равенства
нескольких средних
2. Непараметрический дисперсионный анализ по одному признаку
с применением критерия Краскала-Уоллиса для нескольких независимых выборок
3. Непараметрический дисперсионный анализ по одному признаку
с применением критерия Джонкхиера для нескольких выборок, упорядоченных по
возрастанию влияния фактора
§4.Вывод
§5. Список литературы
§1. Введение
Формулировка проблемы
Изложим проблемную ситуацию, имеющую место в настоящее время в решении
задач обработки результатов исследований. Известно, что в распоряжении
исследователей имеется большая и постоянно растущая в объеме база данных
результатов измерений из разных областей естествознания: астрономии,
экспериментальной физики, экономики, биологии, медицины.
По мнению автора, сформировавшемуся вследствии ознакомления с содержанием
официальных высказываний ведущих политиков и ученых мира, наибольшего развития
в 21 веке среди других наук достигнут биология и медицина. Известно и
напечатано, например, в книге Е.В. Гублера "Информатика в патологии,
клинической медицине и педиатрии" [1] , что в этом аспекте решение задач
обработки результатов измерений приобретает ключевое значение . Следуя
рекомендациям пособия "Кандидатская диссертация" [2] выполним
критический анализ ситуации, сложившейся в настоящее время в России в решении
задач обработки результатов наблюдений. Уже на предварительном этапе
исследования имеет место противоречивая ситуация: с одной стороны - обработка
найденных в медицине результатов измерений является актуальной задачей в современной
науке, с другой стороны - известно, что в медицинских ВУЗах математика, как
дисциплина учебного процесса , практически не изучается. Следовательно, то что
методы обработки данных медицинских исследований стали предоставляться
математикам-специалистам, создает прецедент выдвижения медицины в число
приоритетных направлений Российской науки.
Изложив проблемную ситуацию, перейдем к определению цели и объекта
исследования.
§2. Постановка задачи
Предварительные замечания
Системные заболевания соединительной ткани, такие как системная красная
волчанка , характеризуются прежде всего выраженной патологией по
иммунологической компоненте. Мониторинг этого контингента больных позволяет
отнести системные заболевания к числу крайне тяжелых недугов, поражающих людей
в наиболее деятельный возрастной период ( в среднем 30-50 лет )[8] и приводящих
к ранней инвалидизации, а порой и к летальным исходам. Усиливающееся год от
года неблагоприятное воздействие окружающей среды приводит к росту
иммунодефицитов различной этиологии, в том числе возрастает заболеваемость
системными вариантами иммунокомплексных патологий.
В иммунокомплексных патологиях система комплемента играет важную, хотя и
не всегда ясную, роль. Таким образом изучение динамики комплемента приобретает
ключевое теоретическое и практическое значение. В связи с этим нами предпринят
анализ зависимости уровня комплемента с тяжестью течения классического
иммунокомплексного заболевания системной красной волчанкой.
Объект, предмет, цель и задача исследования
В качестве исходных данных для исследования даны выборки численных
значений медико-биологических показателей человеческого организма, а именно:
уровня комплемента в крови больных системной красной волчанкой ( в дальнейшем -
СКВ) и степенью тяжести поражения почек. . В целях полноты изложения приведем
необходимое определение : "Комплемент - система сывороточных белков,
которая активируется комплексом антиген - антитело с образованием
биологически-активных веществ, способных вызывать необратимые повреждения клеточных
мембран. Комплемент является одним из факторов естественного иммунитета и
широко применяется в диагностических иммунологических реакциях."[3, ст.
57]
Объектом нашего исследования являлись выборочные данные результатов
измерений уровня комплемента ( в дальнейшем - УК), причем изучаемые данные
представляют собой пять столбцов чисел ,в первом из которых представлены данные
без нефрита, во втором с нефритом слабовыраженным, в третьем с нефритом средней
выраженности, в четвертом с нефротическим синдром, а в пятом- с почечной
недостаточностью.
Предмет исследования определяем, как нахождение зависимости УК в крови
больных СКВ и степенью тяжести поражения почек.
§3. Используемые методы
Будем
использовать методы биометрического анализа, основанные на проверке гипотез
однородности выборок.[9]
1. Дисперсионный анализ по одному признаку для проверки
равенства нескольких средних
Во многих случаях практики интерес представляет вопрос о том, в какой
мере существенно влияние того или иного фактора на рассматриваемый признак [9].
В данном случае фактором является степень поражения почек, а признаком - УК.
Научное обоснованное решение подобной задачи при некоторых предположениях
составляет предмет дисперсионного анализа , введенного математиком- статистиком
Р. А. Фишером.[10]
Статистическая модель
Выборки производятся из
нормальных совокупностей. Первая выборка производиться из совокупности со
средним, вторая - со средним , k-я из
совокупности со средним . Все наблюдения независимы. Будем считать
распределение данной мне совокупности нормальным.
Гипотезы №1.
Н0 : = =…=
Н1: не все средние
равны. все средние равны.
Критическая область.
Верхняя 5%-ная область Fk-1.N-k -распределения. В нашем случае F4,474
-распределения, так как k=4, а =n1
+ n2 + n3 + n4 + n5 =479. Эта область определяется неравенством F>2.37. ( Определяется по таблице, см. Таблица А.4а на стр. 334
"Справочника по вычислительным методам статистики" Дж. Поллард [6] )
Вычисление значения
критериальной статистики
Будем рассматривать исходные
данные, представленные Таблицей №1.
Таблица №1. Значения УК в зависимости от тяжести ГН.
.Нет нефрита Выборка
объема n1= 210
|
Слабый нефрит Выборка
объема n2= 101
|
Средний нефрит Выборка
объема n3= 98
|
Нефротический синдром
Выборка объема n4 = 45
|
Почечная недостаточность
Выборка объема n5 = 25
|
36
|
11
|
7
|
10
|
20
|
38
|
35
|
27
|
5
|
20
|
40
|
37
|
6
|
6
|
21
|
31
|
15
|
5
|
15
|
24
|
33
|
40
|
40
|
20
|
3
|
33,8
|
0
|
5
|
25
|
12
|
37
|
33
|
45
|
28
|
10
|
38
|
33
|
45
|
32
|
0
|
33
|
5
|
46
|
46
|
18,2
|
37
|
40
|
45
|
33
|
46
|
48
|
25
|
24
|
44
|
10
|
40
|
33
|
24
|
25
|
0
|
42
|
50
|
43
|
22,5
|
20
|
35
|
25
|
24,5
|
24,5
|
30,4
|
15
|
20
|
20,5
|
38
|
0
|
35
|
50
|
9
|
12
|
33,3
|
48
|
50
|
12
|
54,7
|
14,7
|
45
|
18
|
32
|
20,7
|
34,1
|
38
|
20
|
43
|
0
|
22,4
|
15
|
33
|
35,5
|
26,1
|
17,8
|
13
|
43
|
44
|
11
|
33,5
|
40
|
10
|
50
|
11,7
|
29,6
|
40
|
12
|
34
|
34,4
|
13,6
|
38
|
23
|
12
|
0
|
35
|
32,7
|
34
|
0
|
0
|
37
|
60
|
30
|
25,1
|
42
|
|
50
|
35
|
22,5
|
32,3
|
|
51
|
22
|
31
|
16
|
|
45
|
22,2
|
33
|
32,5
|
|
25
|
20
|
41,9
|
39,3
|
|
33
|
21
|
41,7
|
40,2
|
|
33
|
22
|
37,1
|
0
|
|
39
|
10
|
33,4
|
39,1
|
|
35,8
|
37,4
|
33
|
37,7
|
|
41,7
|
22,4
|
34,3
|
33,5
|
|
38,2
|
35
|
33
|
43,8
|
|
37,4
|
37,3
|
36,9
|
16
|
|
10
|
39,6
|
41
|
16
|
|
37,9
|
0
|
33
|
31
|
|
39,3
|
32,8
|
32,15
|
52
|
|
37,2
|
24
|
38,8
|
51
|
|
37,8
|
25
|
48,1
|
33,5
|
|
49,1
|
38
|
0
|
48
|
|
36,15
|
29
|
0
|
27
|
|
43,8
|
32
|
26,6
|
48
|
|
40
|
32
|
52,8
|
|
|
40
|
20
|
27
|
|
|
36
|
32,3
|
13,6
|
|
|
45
|
10
|
10
|
|
|
43,5
|
33,9
|
19,5
|
|
|
35
|
45,74
|
51,2
|
|
|
35
|
0
|
40,4
|
|
|
19,5
|
49,1
|
46,05
|
|
|
24,2
|
38
|
0
|
|
|
33
|
0
|
25,2
|
|
|
40,4
|
43,5
|
28
|
|
|
30
|
32,3
|
27
|
|
|
36
|
41
|
35
|
|
|
10
|
40
|
29
|
|
|
25
|
29,7
|
50
|
|
|
30
|
30
|
20
|
|
|
32
|
27,6
|
0
|
|
|
31
|
21,4
|
15,6
|
|
|
45
|
23
|
35
|
|
|
20
|
34,3
|
0
|
|
|
45
|
18
|
46
|
|
|
15
|
50,4
|
59,2
|
|
|
30,4
|
48,2
|
0
|
|
|
50
|
37,3
|
22,5
|
|
|
46
|
35
|
0
|
|
|
35
|
25
|
24
|
|
|
15
|
20
|
45
|
|
|
18
|
38
|
28,9
|
|
|
28
|
47,5
|
30,5
|
|
|
36,7
|
37,9
|
45,5
|
|
|
47,8
|
40,3
|
43
|
60
|
34,7
|
|
|
36,5
|
34,1
|
32,6
|
|
|
32
|
46,7
|
38,4
|
|
|
45,7
|
39
|
37,15
|
|
|
46,9
|
31,4
|
39
|
|
|
15,6
|
32
|
52,15
|
|
|
34,1
|
42
|
52,2
|
|
|
44,7
|
43,8
|
0
|
|
|
26,5
|
39,1
|
0
|
|
|
36,6
|
16
|
0
|
|
|
30,3
|
26,5
|
33
|
|
|
47
|
43
|
43
|
|
|
50
|
36,9
|
46,6
|
|
|
52,2
|
29,4
|
59,3
|
|
|
38,5
|
30,6
|
0
|
|
|
41
|
35,6
|
15,5
|
|
|
40
|
38,7
|
21,2
|
|
|
45
|
38,2
|
22,8
|
|
|
25,5
|
26,1
|
28,3
|
|
|
27,7
|
43,2
|
28,15
|
|
|
22,5
|
46
|
38,5
|
|
|
45
|
35,6
|
26
|
|
|
33
|
32,4
|
|
|
|
48,3
|
50
|
|
|
|
47,5
|
50
|
|
|
|
32
|
|
|
|
|
50
|
|
|
|
|
35,6
|
|
|
|
|
33,5
|
|
|
|
|
56,9
|
|
|
|
|
28,9
|
|
|
|
|
40
|
|
|
|
|
35,2
|
|
|
|
|
42,5
|
|
|
|
|
50
|
|
|
|
|
46,2
|
|
|
|
|
52,7
|
|
|
|
|
49,1
|
|
|
|
|
38
|
|
|
|
|
33,7
|
|
|
|
|
32,6
|
|
|
|
|
30
|
|
|
|
|
28,9
|
|
|
|
|
44,4
|
|
|
|
|
48,2
|
|
|
|
|
38,15
|
|
|
|
|
42
|
|
|
|
|
28,4
|
|
|
|
|
33,5
|
|
|
|
|
39,4
|
|
|
|
|
38,6
|
|
|
|
|
34,3
|
|
|
|
|
37,7
|
|
|
|
|
27,3
|
|
|
|
|
39,2
|
|
|
|
|
29,2
|
|
|
|
|
39,2
|
|
|
|
|
33,5
|
|
|
|
|
18
|
|
|
|
|
31,2
|
|
|
|
|
23,4
|
|
|
|
|
36,9
|
|
|
|
|
57,3
|
|
|
|
|
45
|
|
|
|
|
45,3
|
|
|
|
|
16,5
|
|
|
|
|
34,9
|
|
|
|
|
43,1
|
|
|
|
|
30,8
|
|
|
|
|
0
|
|
|
|
|
34,5
|
|
|
|
|
28
|
|
|
|
|
16
|
|
|
|
|
28,9
|
|
|
|
|
23
|
|
|
|
|
27
|
|
|
|
|
41,6
|
|
|
|
|
43,4
|
|
|
|
|
36
|
|
|
|
|
49
|
|
|
|
|
25
|
|
|
|
|
41,5
|
|
|
|
|
35,5
|
|
|
|
|
35
|
|
|
|
|
33,1
|
|
|
|
|
41,7
|
|
|
|
|
39,15
|
|
|
|
|
30,8
|
|
|
|
|
45,7
|
|
|
|
|
35,4
|
|
|
|
|
35,8
|
|
|
|
|
27
|
|
|
|
|
19,5
|
|
|
|
|
29,4
|
|
|
|
|
33,3
|
|
|
|
|
36,6
|
|
|
|
|
42,6
|
|
|
|
|
30
|
|
|
|
|
36,1
|
|
|
|
|
43
|
|
|
|
|
33,3
|
|
|
|
|
28,7
|
|
|
|
|
28,7
|
|
|
|
|
45,1
|
|
|
|
|
31,8
|
|
|
|
|
33
|
|
|
|
|
39,1
|
|
|
|
|
29
|
|
|
|
|
46,7
|
|
|
|
|
41,05
|
|
|
|
|
29,9
|
|
|
|
|
50
|
|
|
|
|
47
|
|
|
|
|
34,4
|
|
|
|
|
11
|
|
|
|
|
20,6
|
|
|
|
|
36,6
|
|
|
|
|
38,6
|
|
|
|
|
29,48
|
|
|
|
|
25
|
|
|
|
|
0
|
|
|
|
|
38
|
|
|
|
|
34,7
|
|
|
|
|
38,2
|
|
|
|
|
43,8
|
|
|
|
|
40,3
|
|
|
|
|
38,5
|
|
|
|
|
60
|
|
|
|
|
50
|
|
|
|
|
36
|
|
|
|
|
55
|
|
|
|
|
33,5
|
|
|
|
|
25,1
|
|
|
|
|
24,8
|
|
|
|
|
Всего:Т1=7502,38
|
Т2=3157,44
|
Т3=2819,55
|
Т4=1223,50
|
Т5=505,60
|
Т = Т1 + Т2 + Т3 + Т4 + Т5
Т=15208,47, Т2 =
231297559,74,
N = 479
Средние значения выборок:
=35,6
= 31,1
= 28,7
= 26,38
= 19,8
Возведем в квадрат значение
всех наблюдений и просуммируем их [6].
Вычисляем:
=567988,11
Общая сумма квадратов будет
следующей:
- /N
= 85112,2
Находим сумму квадратов между
выборками:
(/n1 +….+/nk ) - T2/N =
8470,35
Теперь можно заполнить
таблицу дисперсионного анализа [6].
Таблица №2. Дисперсионный анализ по одному признаку.
Компонента дисперсии (1)
|
Сумма квадратов (2)
|
Степень свободы (3)
|
Средний квадрат (4)=(2)/(3)
|
Между выборками
|
()-/Nk-1(определяется делением)
|
|
|
Остаточная
|
(определяется вычитанием)
|
N-k
|
|
Полная
|
N-1-----
|
|
|
Получаем:
Таблица №2а. Дисперсионный анализ по одному признаку. Результаты.
Компонента дисперсии (1)
|
Сумма квадратов (2)
|
Степень свободы (3)
|
Средний квадрат (4)=(2)/(3)
|
Между выборками
|
8470,35
|
4
|
2117,59
|
Остаточная
|
76641,85
|
474
|
161,69
|
Полная
|
85112,2
|
478
|
-----
|
Значение критериальной статистики равно:
F =
средний квадрат между выборками / остаточный средний квадрат = 2117,59 / 161,69
= 13,09
Сравним F и Fкритич : 13,09>2,37
Вывод. Следовательно, мы отвергаем гипотезу
Н0 ,то есть можно предположить, что при 5%-ном уровне значимости УК
в крови больных СКВ зависит от степени тяжести поражения почек.
Мы не знаем, какое распределение имеют наши выборки. Описанный метод
применяется , как это было описано в статистической модели, для нормальных
совокупностей. В связи с этим будет правомочно применить непараметрический
метод для выяснения равенства нескольких средних.
2. Непараметрический дисперсионный анализ по одному признаку
с применением критерия Краскала-Уоллиса для нескольких независимых выборок
Для проверки
совпадений нескольких средних часто применяется непараметрический критерий,
свободный от распределения. Его можно использовать, когда рассматриваемые
совокупности не являются нормально распределенными [7].
Статистическая модель
Имеется k совокупностей, в нашем случае 5
совокупностей. Каждая выборка извлекается из своей совокупности. Все наблюдения
независимы.
Гипотезы
Н0 : все k
совокупностей одинаково распределены.
Н1 : нулевая гипотеза не верна.
Критическая область
Верхняя 5%-ная область
распределения 2k-1. В нашем случае 24 , что
соответствует значению критерия , превышающему 9,49. Данное число взято
из Таблицы А.2 на стр. 331 "Справочника по вычислительным методам
статистики" Дж. Полларда. [6]
Вычисление
значения критериальной статистики
Для этого
наблюдения xij заменяются их рангами rij .Все n наблюдений упорядоченны по возрастанию от 1 до n. Находим сумму рангов R1, R2,…, Rk для k групп. Вычисляем критерий [4]:
H= ( R21/n1
+….+ R2k/nk ) - 3 ( N + 1 )
Значения комплемента
упорядочены по возрастанию. Они иногда совпадают, тогда ранг принимает среднее
значение.
Далее, используя Таблицу
№1, присваиваем каждому значению комплемента соответствующий ранг в данных
пяти выборках и получаем сумму рангов [5] .
Таблица №3. Таблица рангов наблюдений.
Нет нефрита Выборка объема n1 = 210
|
Слабый нефрит Выборка
объема n2 = 101
|
Средний нефрит Выборка
объема n3 = 98
|
Нефротический синдром Выборка
объема n4 = 45
|
Почечная недостаточность
Выборка объема n5 = 25
|
УК
|
Ранг
|
УК
|
Ранг
|
УК
|
Ранг
|
УК
|
Ранг
|
УК
|
Ранг
|
36
|
282
|
11
|
45
|
7
|
33
|
10
|
39
|
20
|
86
|
38
|
315,5
|
35
|
264
|
27
|
144,5
|
5
|
28,5
|
20
|
86
|
40
|
352,5
|
37
|
296,5
|
6
|
31,5
|
6
|
31,5
|
21
|
95,5
|
31
|
188,5
|
15
|
59,5
|
5
|
28,5
|
15
|
59,5
|
24
|
115
|
33
|
220
|
40
|
352,5
|
40
|
352,5
|
20
|
86
|
3
|
26
|
33,8
|
242
|
0
|
13
|
5
|
28,5
|
25
|
126,5
|
12
|
50
|
37
|
296,5
|
33
|
220
|
45
|
405,5
|
28
|
28
|
10
|
39
|
38
|
315,5
|
33
|
220
|
45
|
405,5
|
32
|
197,5
|
0
|
13
|
33
|
220
|
5
|
28,5
|
46
|
420,5
|
46
|
420,5
|
77
|
37
|
296,5
|
40
|
352,5
|
45
|
405,5
|
33
|
220
|
46
|
420,5
|
48
|
436,5
|
25
|
126,5
|
24
|
115
|
44
|
396,5
|
10
|
39
|
40
|
352,5
|
33
|
220
|
24
|
115
|
25
|
126,5
|
0
|
13
|
42
|
375,5
|
50
|
453,5
|
43
|
383
|
22,5
|
105,5
|
20
|
86
|
35
|
264
|
25
|
126,5
|
24,5
|
119,5
|
24,5
|
119,5
|
30,4
|
181,5
|
15
|
59,5
|
20
|
86
|
20,5
|
92
|
38
|
315,5
|
0
|
13
|
35
|
264
|
50
|
453,5
|
9
|
34
|
12
|
50
|
33,3
|
231
|
48
|
436,5
|
50
|
453,5
|
12
|
50
|
54,7
|
471
|
14,7
|
56
|
45
|
405,5
|
18
|
74,5
|
32
|
197,5
|
20,7
|
94
|
34,1
|
247
|
38
|
315,5
|
20
|
86
|
43
|
383
|
0
|
13
|
22,4
|
102,5
|
15
|
59,5
|
33
|
220
|
35,5
|
273,5
|
26,1
|
137,5
|
17,8
|
72
|
13
|
53
|
43
|
383
|
44
|
396,5
|
11
|
45
|
33,5
|
237
|
40
|
352,5
|
10
|
39
|
50
|
453,5
|
11,7
|
47
|
29,6
|
171
|
40
|
352,5
|
12
|
50
|
34
|
244,5
|
34,4
|
252,5
|
13,6
|
54,5
|
38
|
315,5
|
23
|
110
|
12
|
50
|
0
|
13
|
35
|
264
|
32,7
|
210
|
34
|
244,5
|
0
|
13
|
0
|
13
|
37
|
296,5
|
60
|
478
|
30
|
176,5
|
25,1
|
132,5
|
42
|
375,5
|
|
|
50
|
453,5
|
35
|
264
|
22,5
|
105,5
|
32,3
|
204
|
|
|
51
|
462,5
|
22
|
99,5
|
31
|
188,5
|
16
|
68
|
|
|
45
|
405,5
|
22,2
|
101
|
33
|
220
|
32,5
|
207
|
|
|
25
|
26,5
|
20
|
86
|
41,9
|
373
|
39,3
|
345,5
|
|
|
33
|
220
|
21
|
95,5
|
41,7
|
371
|
40,2
|
359
|
|
|
33
|
220
|
22
|
99,5
|
37,1
|
299
|
0
|
13
|
|
|
39
|
334
|
10
|
39
|
33,4
|
233
|
39,1
|
337
|
|
|
35,8
|
278,5
|
37,4
|
304,5
|
33
|
220
|
37,7
|
306,5
|
|
|
41,7
|
371
|
22,4
|
102,5
|
34,3
|
250
|
33,5
|
237
|
|
|
38,2
|
323
|
35
|
264
|
33
|
220
|
43,8
|
393,5
|
|
|
37,4
|
304,5
|
37,3
|
302,5
|
36,9
|
293
|
16
|
68
|
|
|
10
|
39
|
39,6
|
346
|
41
|
365
|
16
|
68
|
|
|
37,9
|
309,5
|
0
|
13
|
33
|
220
|
31
|
188,5
|
|
|
39,3
|
343,5
|
32,8
|
211
|
32,15
|
202
|
52
|
465
|
|
|
37,2
|
301
|
24
|
115
|
38,8
|
332
|
51
|
462,5
|
|
|
37,8
|
308
|
25
|
126,5
|
48,1
|
439
|
33,5
|
237
|
|
|
49,1
|
445
|
38
|
315,5
|
0
|
13
|
48
|
436,5
|
|
|
36,15
|
286
|
29
|
165
|
0
|
13
|
27
|
144,5
|
|
|
43,8
|
393,5
|
32
|
197,5
|
26,6
|
141
|
48
|
436,5
|
|
|
40
|
352,5
|
32
|
197,5
|
52,8
|
470
|
|
|
|
|
40
|
352,5
|
20
|
86
|
27
|
144,5
|
|
|
|
|
36
|
282
|
32,3
|
204
|
13,6
|
54,5
|
|
|
|
|
45
|
405,5
|
10
|
39
|
10
|
39
|
|
|
|
|
43,5
|
390,5
|
33,9
|
243
|
19,5
|
|
|
|
|
35
|
264
|
45,74
|
417
|
51,2
|
464
|
|
|
|
|
35
|
264
|
0
|
13
|
40,4
|
362,5
|
|
|
|
|
19,5
|
79
|
49,1
|
445
|
46,05
|
424
|
|
|
|
|
24,2
|
118
|
38
|
315,5
|
0
|
13
|
|
|
|
|
33
|
220
|
0
|
13
|
25,2
|
134
|
|
|
|
|
40,4
|
362,5
|
43,5
|
390,5
|
28
|
152,5
|
|
|
|
|
30
|
176,5
|
32,3
|
204
|
27
|
144,5
|
|
|
|
|
36
|
282
|
41
|
365
|
35
|
264
|
|
|
|
|
10
|
39
|
40
|
352,5
|
29
|
165
|
|
|
|
|
25
|
126,5
|
29,7
|
172
|
50
|
453,5
|
|
|
|
|
30
|
176,5
|
30
|
176,5
|
20
|
86
|
|
|
|
|
32
|
197,5
|
27,6
|
149
|
0
|
13
|
|
|
|
|
31
|
188,5
|
21,4
|
98
|
15,6
|
64,5
|
|
|
|
|
45
|
405,5
|
23
|
110
|
35
|
264
|
|
|
|
|
20
|
86
|
34,3
|
250
|
0
|
13
|
|
|
|
|
45
|
405,5
|
18
|
74,5
|
46
|
425
|
|
|
|
|
15
|
59,5
|
50,4
|
461
|
59,2
|
475
|
|
|
|
|
30,4
|
181,5
|
48,2
|
440,5
|
0
|
13
|
|
|
|
|
50
|
453,5
|
37,3
|
302,5
|
22,5
|
105,5
|
|
|
|
|
46
|
420,5
|
35
|
264
|
0
|
13
|
|
|
|
|
35
|
264
|
25
|
126,5
|
24
|
115
|
|
|
|
|
15
|
59,5
|
20
|
86
|
45
|
405,5
|
|
|
|
|
18
|
74,5
|
38
|
315,5
|
28,9
|
161,5
|
|
|
|
|
28
|
152,5
|
47,5
|
432,5
|
30,5
|
183
|
|
|
|
|
36,7
|
291
|
37,9
|
309,5
|
45,5
|
414
|
|
|
|
|
47,8
|
434
|
40,3
|
360,5
|
43
|
383
|
|
|
|
|
39,2
|
341
|
60
|
478
|
34,7
|
255,5
|
|
|
|
|
36,5
|
287
|
34,1
|
247
|
32,6
|
208,5
|
|
|
|
|
32
|
197,5
|
46,7
|
427,5
|
38,4
|
325
|
|
|
|
|
45,7
|
415,5
|
39
|
334
|
37,15
|
300
|
|
|
|
|
46,9
|
429
|
31,4
|
192
|
39
|
334
|
|
|
|
|
15,6
|
64,5
|
32
|
197,5
|
52,15
|
466
|
|
|
|
|
34,1
|
247
|
42
|
375,5
|
52,2
|
467,5
|
|
|
|
|
44,7
|
399
|
43,8
|
393,5
|
0
|
13
|
|
|
|
|
26,5
|
139,5
|
39,1
|
337
|
0
|
13
|
|
|
|
|
36,6
|
289
|
16
|
68
|
0
|
13
|
|
|
|
|
30,3
|
180
|
26,5
|
139,5
|
33
|
220
|
|
|
|
|
47
|
430,5
|
43
|
383
|
43
|
383
|
|
|
|
|
50
|
453,5
|
36,9
|
293
|
46,6
|
426
|
|
|
|
|
52,2
|
467,5
|
29,4
|
168,5
|
59,3
|
476
|
|
|
|
|
38,5
|
327
|
30,6
|
184
|
0
|
13
|
|
|
|
|
41
|
365
|
35,6
|
276
|
15,5
|
63
|
|
|
|
|
40
|
352,5
|
38,7
|
331
|
21,2
|
97
|
|
|
|
|
45
|
405,5
|
38,2
|
323
|
22,8
|
108
|
|
|
|
|
25,5
|
135
|
26,1
|
137,5
|
28,3
|
156
|
|
|
|
|
27,7
|
150
|
43,2
|
388
|
28,15
|
155
|
|
|
|
|
22,5
|
|
46
|
420,5
|
38,5
|
327
|
|
|
|
|
45
|
105,5
|
35,6
|
276
|
26
|
136
|
|
|
|
|
33
|
220
|
32,4
|
206
|
|
|
|
|
|
|
48,3
|
442
|
50
|
453,5
|
|
|
|
|
|
|
47,5
|
432,5
|
50
|
453,5
|
|
|
|
|
|
|
32
|
197,5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50
|
453,5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35,6
|
276
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33,5
|
237
|
|
|
|
|
|
|
|
|
56,9
|
473
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28,9
|
161,5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40
|
352,5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35,2
|
271
|
|
|
|
|
|
|
|
|
42,5
|
378
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50
|
453,5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
46,2
|
425
|
|
|
|
|
|
|
|
|
52,7
|
469
|
|
|
|
|
|
|
|
|
49,1
|
445
|
|
|
|
|
|
|
|
|
38
|
315,5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33,7
|
241
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32,6
|
208,5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30
|
176,5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28,9
|
161,5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
44,4
|
398
|
|
|
|
|
|
|
|
|
48,2
|
440,5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
38,15
|
321
|
|
|
|
|
|
|
|
|
42
|
375,5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28,4
|
157
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33,5
|
237
|
|
|
|
|
|
|
|
|
39,4
|
345
|
|
|
|
|
|
|
|
|
38,6
|
|
|
|
|
|
|
|
|
34,3
|
250
|
|
|
|
|
|
|
|
|
37,7
|
306,5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27,3
|
148
|
|
|
|
|
|
|
|
|
39,2
|
341
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29,2
|
167
|
|
|
|
|
|
|
|
|
39,2
|
341
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33,5
|
237
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18
|
74,5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31,2
|
191
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23,4
|
112
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36,9
|
293
|
|
|
|
|
|
|
|
|
57,3
|
474
|
|
|
|
|
|
|
|
|
45
|
405,5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
45,3
|
413
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16,5
|
71
|
|
|
|
|
|
|
|
|
34,9
|
257
|
|
|
|
|
|
|
|
|
43,1
|
387
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30,8
|
185,5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0
|
13
|
|
|
|
|
|
|
|
|
34,5
|
254
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28
|
152,5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16
|
68
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28,9
|
161,5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23
|
110
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27
|
144,5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
41,6
|
369
|
|
|
|
|
|
|
|
|
43,4
|
389
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36
|
282
|
|
|
|
|
|
|
|
|
49
|
443
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25
|
126,5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
41,5
|
368
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35,5
|
273,5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35
|
264
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33,1
|
229
|
|
|
|
|
|
|
|
|
41,7
|
371
|
|
|
|
|
|
|
|
|
39,15
|
339
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30,8
|
185,5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
45,7
|
415,5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35,4
|
272
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35,8
|
278,5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27
|
144,5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19,5
|
79
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29,4
|
168,5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33,3
|
231
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36,6
|
289
|
|
|
|
|
|
|
|
|
42,6
|
379
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30
|
176,5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36,1
|
285
|
|
|
|
|
|
|
|
|
43
|
383
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33,3
|
231
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28,7
|
158,5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28,7
|
158,5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
45,1
|
412
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31,8
|
193
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33
|
220
|
|
|
|
|
|
|
|
|
39,1
|
337
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29
|
165
|
|
|
|
|
|
|
|
|
46,7
|
427,5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
41,05
|
367
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29,9
|
173
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50
|
453,5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
47
|
430,5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
34,4
|
252,5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11
|
45
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20,6
|
93
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36,6
|
289
|
|
|
|
|
|
|
|
|
38,6
|
289
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29,48
|
170
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25
|
126,5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0
|
13
|
|
|
|
|
|
|
|
|
38
|
315,5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
34,7
|
255,5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
38,2
|
323
|
|
|
|
|
|
|
|
|
43,8
|
393,5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40,3
|
360,5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
38,5
|
327
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60
|
478
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50
|
453,5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36
|
282
|
|
|
|
|
|
|
|
|
55
|
472
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33,5
|
237
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25,1
|
132,5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24,8
|
121
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Всего:
|
R1=
57877
|
|
R2=
23298.5
|
|
R3=
21259.5
|
|
R4=
8789
|
|
R5=
3072
|
N = 479
|
k = 5
|
R1 =
57877
|
n1 = 210
|
R2 =
23298,5
|
n2 = 101
|
R3 =
21259,5
|
n3 = 98
|
R4 = 8789
|
n4 = 45
|
R5 = 3072
|
n5 = 25
|
Теперь можно полученные суммы рангов подставить в формулу и получить
значение критериальной статистики Краскела-Уоллиса [4] :
Н=23,03
Полученный результат не является незначимым, поэтому нельзя считать, что
выборки извлечены из одинаково распределенных совокупностей и что средние
значения совокупностей совпадают. Но этот вывод является приближенным, так как
в нашей таблице есть много совпадающих значений. Для учета влияния связей можно
воспользоваться модифицированной формой статистики Краскела-Уоллиса [4]:
Н` =
, где g -
число групп совпадающих значений, Тj = (t - t), t- число
совпадающих наблюдений в группе с номером j .
Таблица №4. Группы совпадающих наблюдений.
Повторяющиеся значения УК
|
Кол-во повторений t j
|
Значение Tj
|
0
|
25
|
15600
|
5
|
4
|
60
|
6
|
2
|
6
|
10
|
9
|
720
|
11
|
3
|
24
|
12
|
5
|
120
|
13,6
|
2
|
6
|
15
|
6
|
210
|
15,6
|
2
|
6
|
16
|
5
|
120
|
18
|
4
|
60
|
19,5
|
3
|
24
|
20
|
11
|
1320
|
21
|
2
|
6
|
22
|
2
|
6
|
22,4
|
2
|
6
|
22,5
|
4
|
60
|
23
|
3
|
24
|
24
|
5
|
120
|
24,5
|
2
|
6
|
25
|
10
|
990
|
25,1
|
2
|
6
|
26,1
|
2
|
6
|
26,5
|
2
|
6
|
27
|
6
|
210
|
28
|
4
|
60
|
28,7
|
2
|
6
|
28,9
|
4
|
60
|
29
|
3
|
24
|
29,4
|
2
|
6
|
30
|
6
|
210
|
30,4
|
2
|
6
|
30,8
|
2
|
6
|
31
|
4
|
60
|
32
|
8
|
504
|
32,3
|
3
|
24
|
32,6
|
2
|
6
|
33
|
17
|
4896
|
33,3
|
3
|
24
|
33,5
|
7
|
336
|
34
|
2
|
6
|
34,1
|
3
|
24
|
34,3
|
3
|
24
|
34,4
|
2
|
6
|
34,7
|
2
|
6
|
35
|
13
|
2184
|
35,5
|
2
|
6
|
35,6
|
3
|
24
|
35,8
|
2
|
6
|
36
|
5
|
120
|
36,6
|
3
|
24
|
36,9
|
3
|
24
|
37
|
60
|
37,3
|
2
|
6
|
37,4
|
2
|
6
|
37,7
|
2
|
6
|
37,9
|
2
|
6
|
38
|
10
|
990
|
38,2
|
3
|
24
|
38,5
|
3
|
24
|
38,6
|
2
|
6
|
39
|
3
|
24
|
39,1
|
3
|
24
|
39,2
|
3
|
24
|
39,3
|
2
|
6
|
40
|
12
|
1716
|
40,3
|
2
|
6
|
40,4
|
2
|
6
|
41
|
3
|
24
|
41,7
|
3
|
24
|
42
|
4
|
60
|
43
|
7
|
336
|
43,5
|
2
|
6
|
43,8
|
4
|
60
|
44
|
2
|
6
|
45
|
12
|
1716
|
45,7
|
2
|
6
|
46
|
6
|
210
|
46,7
|
2
|
6
|
47
|
2
|
6
|
47,5
|
2
|
6
|
48
|
4
|
60
|
48,2
|
2
|
6
|
49,1
|
3
|
24
|
50
|
14
|
2730
|
51
|
2
|
6
|
52,2
|
2
|
6
|
60
|
3
|
24
|
g = 88
Теперь можно полученные результаты подставить в модифицированную формулу
и получить уточненное значение критериальной статистики Краскела-Уоллиса :
Н` = 23,037
Вывод. Скорректированное значение Н` статистики Краскела-Уоллиса
несущественно отличается от значения Н, т.о. мы можем отвергнуть гипотезу Н0
на минимальном уровне значимости. Следовательно , мы подтвердили результат
полученный ранее : существует зависимость между УК в крови больных СКВ и
степенью тяжести поражения почек .
3. Непараметрический дисперсионный анализ по одному признаку
с применением критерия Джонкхиера для нескольких выборок, упорядоченных по
возрастанию влияния фактора
Нам заранее известно, что имеющиеся группы результатов упорядочены по
возрастанию влияния фактора.. В нашем случае фактором является степень тяжести
ГН. В таких случаях целесообразно использовать критерий Джонхиера , более
чувствительный против альтернатив об упорядоченном влиянии фактора [5].
Статистическая модель
Имеется k
совокупностей, в нашем случае 5 совокупностей. Каждая выборка извлекается из
своей совокупности. Все наблюдения независимы. имеющиеся группы результатов
упорядочены по возрастанию влияния фактора . 1-й
столбец Таблицы №1 отвечает наименьшему уровню фактора, последний -
наибольшему, а промежуточные столбцы получили номера, соответствующие их
положению. В нашем случае фактором является степень тяжести поражения почек [4]
.
Гипотезы
Н0 :==…= (
влияние фактора упорядоченно.)
Н1 : …
Критическая область
Верхняя 5% область F-распределения,
что в нашем случае соответствует значению критерия, превышающему значение 2,21.
Данное число взято из таблицы А.4 на стр. 334 [6].
Вычисление значения
критериальной статистики
Вычислим статистику Манна - Уитни. Сравниваем k способов обработки, в нашем случае 5. Поступим следующим
образом : для каждой пары натуральных чисел u и v ,
где 1£ u < v £ k , составляем по выборкам с номерами u,v статистику Манна
- Уитни [4].
U = , y)
Определим так же статистику
Джонхиера как :
J =
Для нахождения значений
статистики Манна - Уитни будем использовать программу,( так как мы имеем
выборки большого объема) написанную на языке Fortran
Power Station для Windows , версия 4.0 .Выбор данного языка программирования
связан с тем, что он максимально приближен к общепринятому языку математических
формул. [11].
implicit real*8
(a-h, o-z)
dimension a1(210), a2(101),a3(98),a4(45),a5(25)
open (unit=11, file='1.dat', access='sequential',
status='old')
open (unit=12, file='2.dat', access='sequential',
status='old')
open (unit=13, file='3.dat', access='sequential',
status='old')
open (unit=14, file='4.dat', access='sequential',
status='old')
open (unit=15, file='5.dat', access='sequential',
status='old')
open (unit=16,
file='res.dat',access='append',status='unknown')
do 2222 i=1,210
read (11, 21) a1(i)
21 format(e8.1)
2222 continue
do 2223 i=1,101
read (12, 21) a2(i)
2223 continue
do 2224 i=1,98
read (13, 21) a3(i)
2224 continue
do 2225 i=1,45
read (14, 21) a4(i)
2225 continue
do 2226 i=1,25
read (15, 21) a5(i)
2226 continue
u12=0
do 101 i=1,210
do 91 j=1,101
if (a1(i)<a2(j)) then
u12 = u12+1
elseif (a1(i).eq.a2(j)) then
u12= u12+0.5
else
u12= u12+0.0
endif
91 continue
101 continue
u13=0
do 102 i=1,210
do 92 j=1,98
if (a1(i)<a3(j)) then
u13 = u13+1
elseif (a1(i).eq.a3(j)) then
u13= u13+0.5
else
u13= u13+0.0
endif
92 continue
102 continue
u14=0
do 103 i=1,210
do 93 j=1,45
if (a1(i)<a4(j)) then
u14 = u14+1
elseif (a1(i).eq.a4(j)) then
u14= u14+0.5
else
u14= u14+0.0
endif
93 continue
103 continue
u15=0
do 104 i=1,210
do 94 j=1,25
if (a1(i)<a5(j)) then
u15 = u15+1
elseif (a1(i).eq.a5(j)) then
u15= u15+0.5
else
u15= u15+0.0
endif
94 continue
104 continue
u23=0
do 105 i=1,101
do 95 j=1,98
if (a2(i)<a3(j)) then
u23 = u23+1
elseif (a2(i).eq.a3(j)) then
u23= u23+0.5
else
u23= u23+0.0
endif
95 continue
105 continue
u24=0
do 106 i=1,101
do 96 j=1,45
if (a2(i)<a4(j)) then
u24 = u24+1
elseif (a2(i).eq.a4(j)) then
u24= u24+0.5
else
u24= u24+0.0
endif
96 continue
106 continue
u25=0
do 107 i=1,101
do 97 j=1,25
if (a2(i)<a5(j)) then
u25 = u25+1
elseif (a2(i).eq.a5(j)) then
u25= u25+0.5
else
u25= u25+0.0
endif
97 continue
107 continue
u34=0
do 108 i=1,98
do 98 j=1,45
if (a3(i)<a4(j)) then
u34 = u34+1
elseif (a3(i).eq.a4(j)) then
u34= u34+0.5
else
u34= u34+0.0
endif
98 continue
108 continue
u35=0
do 109 i=1,98
do 99 j=1,25
if (a3(i)<a5(j)) then
u35 = u35+1
elseif (a3(i).eq.a5(j)) then
u35= u35+0.5
else
u35= u35+0.0
endif
99 continue
109 continue
u45=0
do 110 i=1,45
do 100 j=1,25
if (a4(i)<a5(j)) then
u45 = u45+1
elseif (a4(i).eq.a5(j)) then
u45= u45+0.5
else
u45= u45+0.0
endif
100 continue
110 continue
U=u12+u13+u14+u15+u23+u24+u25+u34+u35+u45
22 format(2x,'u12=',f10.3)
23 format(2x,'u13=',f10.3)
24 format(2x,'u14=',f10.3)
25 format(2x,'u15=',f10.3)
26 format(2x,'u23=',f10.3)
27 format(2x,'u24=',f10.3)
28 format(2x,'u25=',f10.3)
29 format(2x,'u34=',f10.3)
30 format(2x,'u35=',f10.3)
31 format(2x,'u45=',f10.3)
32 format(2x,'U=',f10.3)
write(16,22)u12
write(16,23)u13
write(16,24)u14
write(16,25)u15
write(16,26)u23
write(16,27)u24
write(16,28)u25
write(16,29)u34
write(16,30)u35
write(16,31)u45
write(16,32)U
end
Обработав таким образом результаты наблюдений, получаем значения
статистики Манна - Уитни:
u12= 8441,000
u13= 7793,500
u14= 3172,500
u15= 888,000
u23= 4637,500
u24= 1928,500
u25= 648,500
u34= 2054,500
u35= 805,500
u45= 411,000
Подставив в формулу
полученные значения получаем результат для статистики Джонхиера:
J= 30780,5
Значение статистики Джонхиера
очень велико, что свидетельствует в пользу гипотезы Н1 об
упорядоченном влиянии фактора , в нашем случае - зависимости УК в крови больных
СКВ от степени поражения почек. То есть мы снова подтвердили результат,
полученный ранее.
Но поскольку предложенные
выборки велики, то можно проверить полученный результат, подсчитав приближенную
статистику J* для большой выборки [4].
Вычислим величину:
J* = ( J - MJ )
/
Где MJ = ( N2 - ) , DJ = ( N2 ( 2N + 3 ) - ( 2nj + 3))
В результате вычислений мы
получаем значение J* = 5,9.
Вывод. Полученный результат превышает критическое значение,
что позволяет отклонить гипотезу Н0, и принять гипотезу Н1. Таким
образом мы подтверждается результат, полученный с помощью статистики J -
влияние фактора в предложенных выборках упорядоченно.
§4.
Вывод
Целью данной курсовой работы был анализ зависимости между УК в крови
больных СКВ и степенью тяжести поражения почек. Исходные данные были
подвергнуты методам статистического анализа, независимым между собой.
Результатом является доказательство наличия зависимости УК в крови больных СКВ
и степенью тяжести поражения почек в каждом из использованных методов, что
позволяет сформулировать окончательный вывод : УК в крови больных СКВ зависит
от степени тяжести поражения почек, причем УК уменьшается с возрастанием
степени тяжести поражения почек.
§5. Список литературы
1. Гублер Е.В. Информатика в патологии, клинической
медицине и педиатрии. -Л.: Медицина, 1990.-176с.
2. Кузин Ф.А. Кандидатская диссертация . Методика
написания, правила оформления и порядок защиты. Практическое пособие для аспирантов
и соискателей ученой степени. -5-е изд., доп.-М.:Ось 89, 2000.-224с.
3. Энциклопедический словарь медицинских терминов: В 3-х
томах. Около 60000 терминов.-М.: Советская энциклопедия, - Т.2. 1983.-448с.
4. Тюрин Ю.Н. , Макаров А.А. Статистический анализ
данных на компьютере .-М.: Инфра - М., 1982.-528с.
5. Холлендер М., Вулф Д.А. Непараметрические методы
статистики.-М.: Финансы и статистика., 1983.-518с.
6. Поллард Дж. Справочник по вычислительным методам
статистики.-М.: Финансы и статистика., 1982.-344с.
7. Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная
статистика. Исследование зависимостей.-М.: Финансы и статистика,-Т.2.
1985.-488с.
8. Шишкин В.И., Кудрявцева Г.В. Регуляторная роль
функциональной системы "Комплемент - простагландиды - пентозофосфатный
путь обмена углеводов" в патогенезе основных ревматологических
заболеваний.-СПб.: НИИХ. 2002.-38с.
9. Колмогоров А.Н. Теория вероятности и математическая
статистика.-М.:Наука.,1986.-535с.
10. Фишер Р.А. Статистические методы для исследователей.-М.:Госстатиздат.,1982.-344с.
11. Фишер Ф.П., Суиндл Д.Ф. Системы
программирования.-М.:Статистика.,1971.-606с.