Статистическая обработка результатов прямых многоразовых измерений с независимыми равноточными наблюдениями
Розрахунково-графічне
завдання
з теми:
«Статистична обробка
результатів прямих багаторазових вимірювань з незалежними рівноточними спостереженнями»
Виконала:
Студентка групиАП-48б
Арсентьєва К.Г.
Харків 2010
Исходные данные
Экспериментально получены результаты серии наблюдений
напряжения U постоянного размера. Результаты наблюдений считаются независимыми
и равноточными (по условиям эксперимента). В общем случае они могут содержать
систематическую и случайную составляющие погрешности измерений. Указана
доверительная вероятность P=0,95 результата измерения.
Задание
По результатам многократных наблюдений определить наиболее
достоверное значение измеряемой физической величины и его доверительные
границы.
Таблица 1
U(1)=170.02
|
U(17)=170.20
|
U(2)=170.41
|
U(18)=170.30
|
U(3)=169.95
|
U(19)=169.59
|
U(4)=170.17
|
U(20)=169.95
|
U(5)=169.95
|
U(21)=169.77
|
U(6)=170.01
|
U(22)=169.84
|
U(7)=170.26
|
U(23)=169.95
|
U(8)=190.23
|
U(24)=159.84
|
U(9)=169.84
|
U(25)=170.33
|
U(10)=169.73
|
U(26)=169.73
|
U(11)=169.74
|
U(27)=169.91
|
U(12)=170.21
|
U(28)=170.35
|
U(13)=169.76
|
U(29)=170.20
|
U(14)=169.67
|
U(30)=169.88
|
U(15)=169.83
|
U(31)=169.60
|
U(16)=170.35
|
U(32)=170.50
|
Доверительная вероятность: P= 0, 99
Доверительные границы:
Разрядность: 5 разрядов*
Количество наблюдений: n = 32
Обработка результатов измерений
Анализируем серию наблюдений на наличие промахов. Если они
имеются, то их необходимо исключить из дальнейшей обработки.
При анализе обнаружен один промах U(8)=190.23 и
U(24)=159.84 (В). Исключим его из результатов измерений.
Таблица 2
U(1)=170.02
|
U(16)=170.20
|
U(2)=170.41
|
U(17)=170.30
|
U(3)=169.95
|
U(18)=169.59
|
U(4)=170.17
|
U(19)=169.95
|
U(5)=169.95
|
U(20)=169.77
|
U(6)=170.01
|
U(21)=169.84
|
U(7)=170.26
|
U(22)=169.95
|
U(8)=169.84
|
U(23)=170.33
|
U(9)=169.73
|
U(24)=169.73
|
U(25)=169.91
|
U(11)=170.21
|
U(26)=170.35
|
U(12)=169.76
|
U(27)=170.20
|
U(13)=169.67
|
U(28)=169.88
|
U(14)=169.83
|
U(29)=169.60
|
U(15)=170.35
|
U(30)=170.50
|
Проверим соответствие экспериментального закона распределения
нормальному закону.
Для этого используем составной критерий согласия. Он включает
в себя два независимых критерия, их обозначают I и II. Первый из этих критериев
(критерий I) обеспечивает проверку соответствия распределения экспериментальных
данных нормального закона распределения вблизи центра распределения, а второй
критерий (критерий II) – на краях распределения. Если при проверке не
удовлетворяется хотя бы один из этих критериев, то гипотеза о нормальности
распределения результатов наблюдений отвергается.
Для проверки гипотезы о нормальности распределения исходной
серии результатов наблюдений по критерию I вычисляют параметр d, определяемый
соотношением:
(1),
где (В)
– среднее арифметическое результатов наблюдений Ui , ;
(В) – смещённая оценка СКО
результатов наблюдений Ui, .
Для облегчения дальнейших расчетов сведём значения и в таблицу:
Таблица 3
i
|
|
|
|
1.
|
0.02
|
0.0004
|
0.02
|
2.
|
0.41
|
0.1681
|
0.41
|
3.
|
-0.05
|
0.0025
|
0.05
|
4.
|
0.17
|
0.0289
|
0.17
|
5.
|
-0.05
|
0.0025
|
0.05
|
6.
|
0.01
|
0.0001
|
0.01
|
7.
|
0.26
|
0.0676
|
0.26
|
8.
|
-0.16
|
0.0256
|
0.16
|
9.
|
-0.27
|
0.0729
|
0.27
|
10.
|
-0.26
|
0.0676
|
0.26
|
11.
|
0.21
|
0.0441
|
0.21
|
12.
|
-0.24
|
0.0576
|
13.
|
-0.33
|
0.1089
|
0.33
|
14.
|
-0.17
|
0.0289
|
0.17
|
15.
|
0.35
|
0.1225
|
0.35
|
16.
|
0.20
|
0.04
|
0.20
|
17.
|
0.30
|
0.09
|
0.30
|
18.
|
-0.41
|
0.1681
|
0.41
|
19.
|
-0.05
|
0.0025
|
0.05
|
20.
|
-0.23
|
0.0529
|
0.23
|
21.
|
-0.16
|
0.0256
|
0.16
|
22.
|
-0.05
|
0.0025
|
0.05
|
23.
|
0.33
|
0.1089
|
0.33
|
24.
|
-0.27
|
0.0729
|
0.27
|
25.
|
-0.09
|
0.0081
|
0.09
|
26.
|
0.35
|
0.1225
|
0.35
|
27.
|
0.20
|
0.04
|
0.20
|
28.
|
-0.12
|
0.0144
|
0.12
|
29.
|
-0.4
|
0.16
|
0.4
|
30.
|
0.5
|
0.5
|
|
|
|
|
Рассчитаем параметр d в соответствии с формулой (1):
Результаты наблюдений Ui считаются распределёнными
по нормальному закону, если выполняется следующее условие
,
где , -
квантили распределения параметра d. Их находят по таблице П.1 α-процентных
точек распределения параметра d по заданному объёму выборки n и принятому для
критерия I уровню значимости α1. Выберем α1 и
α2 из условия α≤α1+α2,
где α=1-Р=1-0,99=0,01.
α1=0,02 и α2=0,01.
Для n=15,р=0,95, α=0,02
a)Для n=30,P=0.99 .
26
|
0.8901
|
30
|
У
|
31
|
0.8827
|
Проведём интерполяцию:
Y(d )=0.8901+0.8(0.8827-0.8901)=0.8901-0.0059=0.8842
Для n=30,P=0.99
26
|
0.7040
|
30
|
У
|
31
|
0.7110
|
Проведём интерполяцию:
Y( )=0,7040+0,8(0,7110-0,7040)=0,7040+0,0056=0,7096
0,7096<0,8643<0,8842
Распределение результатов наблюдений соответствует критерию
I.
По критерию II, распределение результатов наблюдений
соответствует нормальному закону распределения, если не более m разностей превзошли значение
,
где (В) – несмещенная
оценка СКО результатов наблюдений Ui;
- верхняя квантиль
распределения интегральной функции нормированного нормального распределения,
соответствующая доверительной вероятности Р2. Значение m и Р2
находим по числу наблюдений n и уровню значимости α2 для
критерия II по таблице П.2 приложения. m=2, Р2=0,99. Затем
вычисляем:
По таблице П.3 приложения интегральной функции нормированного
нормального распределения находят , соответствующее
вычисленному значению функции Ф(): при Ф()=0,995;=2,82;
=2,82*0,2597=0,7323 (В).
Ни одно значение не превосходит
величину , следовательно распределение
результатов наблюдений удовлетворяет и критерию II, поэтому экспериментальный
закон распределения соответствует нормальному закону.
Проведём проверку грубых погрешностей результатов наблюдений
(оценки анормальности отдельных результатов наблюдений). Для этого:
а) Составим упорядоченный ряд результатов наблюдений,
расположив исходные элементы в порядке возрастания, и выполним их
перенумерацию:
Таблица 4
U(1)=169.59
|
U(16)=169.95
|
U(2)=169.60
|
U(17)=169.95
|
U(3)=169.67
|
U(18)=170.01
|
U(4)=169.73
|
U(19)=170.02
|
U(5)=169.73
|
U(20)=170.17
|
U(6)=169.74
|
U(21)=170.20
|
U(7)=169.76
|
U(22)=170.20
|
U(8)=169.77
|
U(23)=170.21
|
U(9)=169.83
|
U(24)=170.26
|
U(10)=169.84
|
U(25)=170.30
|
U(11)=169.84
|
U(26)=170.33
|
U(12)=169.88
|
U(27)=170.35
|
U(13)=169.91
|
U(14)=169.95
|
U(29)=170.41
|
U(15)=169.95
|
U(30)=170.50
|
б) Для крайних членов упорядоченного ряда U1 и U15,
которые наиболее удалены от центра распределения (определяемого как среднее
арифметическое Ū этого рядя) и поэтому с наибольшей вероятностью могут
содержать грубые погрешности, находим модули разностей =(В) и =(В), и для большего из них вычисляем
параметр:
в) Для n=30, из таблицы 4 определим =3,071.
Так как ti< tT, поэтому грубых
результатов нет.
Вычислим несмещенную оценку СКО результата измерения в
соответствии с выражением:
(В).
Определим доверительные границы случайной
составляющей погрешности измерений с многократными наблюдениями в зависимости
от числа наблюдений n 30 в выборке, не содержащей анормальных результатов, по
формуле: , где Z– коэффициент по заданной
доверительной вероятности Р=0,99 ; Z =2,58
(В).
Определим доверительные границы суммарной
не исключённой систематической составляющей погрешности результатов измерений с
многократными наблюдениями:
(В).
Определим доверительные границы суммарной
(полной) погрешности измерений с многократными наблюдениями.
Так как , тогда
В.
Запишем результат измерений с многократными наблюдениями:
U= (170,000±0,151) В; Р=0,99