Системы линейных уравнений и неравенств
Системы линейных уравнений и неравенств
Основные вопросы лекции: основные понятия и определения теории систем
уравнений; система n линейных уравнений с n неизвестными; метод обратной матрицы; метод Крамера; метод
Гаусса; теорема Кронекера-Капелли; система n линейных
уравнений с m неизвестными; однородные системы линейных
уравнений; фундаментальная система решений; структура общего решения.
Система m линейных
уравнений с nпеременными имеет вид:
или
(1)
где a11, a12, … , amn—
произвольные числа, называемые соответственно коэффициентами при переменных и b1,b2, … , bm - свободными
членами уравнений.
Решением системы(1) называется такая совокупность nчисел
х1, х2, ... , хn , при
подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.
Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы
одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.
Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет
единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.
Запишем систему (1) в матричной форме. Обозначим:
;
В=(b1, b2,
… , bn)т; Х=(x1, x2,
… , xn)т
где А— матрица коэффициентов при переменных, или матрица системы,
X — матрица-столбец переменных; В — матрица-столбец
свободных членов.
На основании определения равенства матриц систему (1) можно записать в
виде:
А*Х=B (2)
А матрица состоящая из А, В, Х матриц называется расширенной матрицей:
- расширенная матрица.
Метод Гаусса — метод последовательного исключения переменных —
заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений
приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из
которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся
все остальные переменные.
Рассмотрим решение системы (1) m линейных
уравнений с nпеременными в общем виде:
Если m=n, то рассмотрим расширенную матрицу.
Учитывая правую часть, приведем данную матрицу к треугольному виду:
Ситема линейных уравнении соотвествующее данной матрице
запишем в следуюшем виде
(4)
Если в данном уравнении cnn≠0, cn-1n-1≠0,
... , c33≠0, c22≠0, a11≠0
то, в первую очередь найдем
xn, а затем постепенно поднимаясь находим
остольные решения - xn-1, … , x3, x2, x1.
Формула Крамера
Теорема Крамера. Пусть |A|— определитель матрицы
системы А, а Δj — определитель матрицы,
получаемой из матрицы А заменой j-го столбца столбцом
свободных членов. Тогда, если Δ ≠0, то система
имеет единственное решение, определяемое по формулам:
(5)
Формулы (5) получили название формул Крамера.
Метод обратной матрицы
Пусть число уравнений системы (1) равно числу переменных, т.е. m=n. Тогда матрица системы является
квадратной, а ее определитель Δ=|A| называется определителем
системы.
(1) уравнение можно записать в матричном виде
А*Х=B (6)
, , .
Умножая слева обе части матричного равенства (6) на матрицу А-1,получим А-1(АХ)=А-1В.
Так как А-1(АХ)=( А-1А)Х=ЕХ=Х,то
решением системы методом обратной матрицы будет матрица-столбец
Х=А-1*B (7).
Система n линейных уравнений с n переменными
Решение системы n линейных уравнений с n переменными
находять ниже укаженными методами:
2)
Формула Крамера;
3)
Метод Гаусса.
Теорема Кронекер – Капелли. Система m линейных уравнений с
n переменными
Теорема Кронекера—Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и
только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой
системы.
Для совместных систем линейных уравнений верны следующие теоремы.
1. Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, т.е. r=n, то система (1) имеет
единственное решение.
2. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных, т.е. r<n, то система (1) неопределенная
и имеет бесконечное множество решений.
Системы линейных однородных уравнений
Система mлинейных уравнений с n
переменными называется системой линейных однородныхуравнений, если все их
свободные члены равны нулю. Такая система имеет вид:
(8)
Система линейных однородных уравнений всегда совместна, так как она
всегда имеет, по крайней мере, нулевое (или тривиальное) решение (0; 0; ...;
0).
Систему (8) можно записать а виде:
А*Х=0 (9).
Если в системе (8) m=n, а ее определитель отличен от
нуля, то такая система имеет только нулевое решение, как это следует из теоремы
и формул Крамера. Ненулевые решения, следовательно, возможны лишь для таких
систем линейных однородных уравнений, в которых число уравнений меньше числа
переменных или при их равенстве, когда определитель системы равен нулю.
Иначе: система линейных однородных уравнений имеет ненулевые решения
тогда и только тогда, когда ранг ее матрицы коэффициентов при переменных меньше
числа переменных, т.е. при r(A)<n.