xi
|
0,0
|
0,2
|
0,4
|
0,6
|
0,8
|
1,0
|
yi
|
0,9
|
1,1
|
1,2
|
1,3
|
1,4
|
1,5
|
Решение
Система нормальных уравнений
в задаче
n = 6
Тогда
решая ее получаем .
y = 0,5714x + 0,9476
Задача 5
Найти неопределенный интеграл
Решение
Ответ:
Задача 6
Найти неопределенный интеграл
Решение
Ответ:
Задача 7
Найти неопределенный интеграл, применяя метод
интегрирования по частям
Решение
Ответ:
Задача 8
Вычислить площадь, ограниченную заданными параболами
Решение
Точки пересечения по
х: х = -1, х = 5.
Площадь фигуры
найдем из выражения
Ответ:
Задача 9
Найти общее решение дифференциального уравнения
первого порядка
Решение
Разделим переменные
Проинтегрируем
Ответ:
Задача 10
Найти частное
решение линейного дифференциального уравнения первого порядка, удовлетворяющее
начальному условию
Решение:
Запишем функцию y в виде произведения y = u * v. Тогда находим производную:
Подставим эти выражения в уравнение
Выберем v
таким, чтобы
Проинтегрируем выражение
,
Найдем u
,
,
,
,
Тогда
Тогда
Ответ:
Задача 11
Исследовать на
сходимость ряд:
а) с помощью признака Даламбера знакоположительный ряд
Решение
Проверим необходимый признак сходимости ряда
Т. к. , то необходимый признак
сходимости ряда не соблюдается, и ряд расходится.
Используем признак Даламбера
Ответ: ряд расходится
б) с помощью признака Лейбница знакочередующийся ряд
Решение
Проверим необходимый признак сходимости ряда
Т. к. , то необходимый признак
сходимости ряда соблюдается, можно исследовать ряд на сходимость.
По признаку подобия
данный
ряд аналогичен гармоническому ряду начиная с пятого члена, таким образом, т.к.
гармонический ряд расходится, то и исходный ряд расходится.
Ответ: ряд расходится
в) Найти радиус сходимости степенного ряда и
определить тип сходимости ряда на концах интервала сходимости
Решение
Используем признак Даламбера:
При х =5 получим ряд
Ряд знакопостоянный, lim Un = n
Ряд расходится, так как состоит из суммы возрастающих
элементов, каждый из которых больше 1.
При х = -5 получим ряд
Ряд знакочередующийся, lim Un = n
|Un|
> |Un+1| > |Un+2| … - не выполняется.
По теореме Лейбница данный ряд расходится
Ответ: Х Î (-5; 5)
Задача 12
Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001
путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования
этого ряда
Решение
В разложении функции sin(x) в
степенной ряд
заменим . Тогда получим
Умножая этот ряд почленно на будем
иметь
Следовательно
Ответ: » 0,006.