Деление произвольно заданного угла на 3 равновеликие части. Трисекция угла
Деление
произвольно заданного угла на 3 равновеликие части. Трисекция угла
Россия. г. Пенза
Е. И. Терёшкин.
Возьмем
прямой угол BAD (чертеж1) достроим его да квадрата ABCD, примем сторону
квадрата за 1. Продолжим стороны BC и DC до величины равной . Поставим
точки M и N. Соединим точки M и N с точкой A и наш прямой угол BAD разделен на
3 равновеликие части т.е.
Чертеж
1.
Чертеж
2.
Но
чтобы делить другие углы надо найти некоторую закономерность. Из точки C
радиусом CM опишем окружность.
.
.
.
.
.
По
теореме Пифагора находим . Из точки радиусом опишем
окружность. Из точки через точку
проводим
линию до пересечения с большой дугой и ставим точку . , .
.
- диаметры
большого круга. Проводим линию , она пересекает малый круг в точке . Из точки , через
точку проводим
линию до пересечения с большой дугой, ставим точку . Соединяем
точки и .
.
.
По
теореме Пифагора Из точки проводим
линию . подобен , значит
Рассмотрим
, т.к. этот
угол вписанный и опирается на диаметр, а в этом треугольнике будет средняя
линия, а значит По теореме
косинусов , значит но , значит
линия проходит
через точку , т.е. через
центр квадрата.
Далее
чертим две пересекающиеся прямые, чтобы верхний и нижний вертикальные углы были
тупыми (чертеж 3) и острыми (чертеж 4). В местах пересечения ставим точки . Из точек любым
радиусом описываем окружность.
Чертеж
3. Чертеж 4.
Там
где стороны верхнего тупого угла (чертеж 3) и острого ( чертеж 4) пересекаются
с дугой окружности ставим точки M и N. Проводим биссектрисы обоих тупых углов (
чертеж 3) и острых углов ( чертеж 4). Там где биссектрисы пересекаются с
окружностями ставим точки и . Из точек радиусом описываем
окружности. Там где биссектрисы пересекаются с нижней точкой окружности ставим
точки F. Соединяем точки N с точками F. В местах пересечений линий NF с малой
окружностью ставим точки Е. Из точек через точки Е проводим линии до
пересечения с большой дугой и ставим точки . Соединяем точки М с точками . В местах
пересечений линий М и F ставим
точки О. От точек О в сторону точек F по биссектрисам откладываем расстояние
СО. Получаем точки А. Из точек А // МС проводим линии до пересечения с
продолжениями линий CN и ставим точки В. Из точек А // ВС проводим линии до
пересечения с продолжениями линий МС и ставим точки D. Соединяем точки М с
точками А и точки N с точками А. Если требуется разделить начальные
углы MCN на три равновеликие части, то из точек С направляя вверх проводим
линии параллельные AM и AN.
Теперь
в местах пересечения АМ и ВС ставим точки Р, а в местах пересечения AN и СD
ставим точки Q. Соединяем точки М с точками N. В местах пересечения хорды MN с
биссектрисой А ставим
точку .
Треугольники АМ и АN равны по
двум катетам. Треугольники АРС и АСQ равны, т.к. а АС - общая. Следовательно в обоих
чертежах РС=СQ, а ВР=QD и АР=АQ. Далее вынесем оба наших ромба АВСD в отдельные
чертежи.
Чертеж
5.
На
чертеж 5 (а, б) вынесены ромбы АВСD с тупыми и острыми углами как и на чертежах
3 и 4. Только вместо букв Р и Q применим буквы М и N. Из доказанного ранее
известно, что это ромбы, т.е. АВ=ВС=СD=АD, ВМ=ND, и АМ=АN.
Из
точек А, радиусом АВ проводим дуги ВD, Из точек М, радиусом ВМ проводим дуги ВF
до пересечения с дугами ВD. Из точек N радиусом DN проводим дуги DЕ до
пересечения с дугами ВD. Соединяем точки Е с точками N, а точки F с точками М.
ВМ=МF=EN=DN. Соединяем точки А с точками Е и F. Проводим хорды BF и ЕD,
Фигуры
АВМF состоят из двух равнобедренных треугольников АВF и ВМF имеющих общее
основание BF. Значит линии АМ делят эти фигуры на два равных треугольника АВМ и
АМF, треугольники равны по трем сторонам.
Фигуры
АЕND состоят из двух равнобедренных треугольников АЕD и ЕND, имеющих общее
основание ЕD. Значит линии АN делят эти фигуры на два равных треугольника АЕN и
АND, треугольники равны по трем сторонам.
Треугольники
АВМ равны треугольникам AND по трем сторонам, значит и треугольники АМF равны
треугольникам АЕN. Следовательно в обоих чертежах , а и фигуры
АВМF равны фигурам AEND каждая в своем чертеже. Но точки Е на линиях АМ могут
находиться, а могут и не находиться и точки F на линиях АN могут находиться, а
могут и не находиться.
Рассмотрим
на обоих чертежах по два четырехугольника: ромбы АВСD и фигуры АЕND. Сумма
углов у обоих одинакова. а значит или
В
обоих чертежах равны
фигурам АЕND.
.
В
результате получается:
или
Рассмотрим
в обоих чертежах фигуры АВМF и ромбы АВСD.
или
следовательно
или
Но где
находятся точки Е и F пока не известно.
Чертеж
6.
Чертеж
7.
На
чертежах 6 (а, б) и 7 (а, б) указанны возможные варианты расположения точек Е и
F относительно угла МАN.
Так
как углы МАN симметричны относительно биссектрис ромбов АС, потому что, а , значит
точки Е и F если и не находятся на линиях АМ и АN, то находятся на одинаковом
расстоянии от этих линий. Иными словами и , если таковые углы существуют, то
эти углы равны между собой. Если меньше то больше на 2 И наоборот
если больше то меньше на 2
На
чертеже 6 (а, б) рассмотрим (вместе равны фигуре АЕND) и ромб
АВСD.
или
На
чертеже 7 (а, б) рассмотрим и ромб АВСD.
Получится, что
Но
и могут быть
равны каким-либо углам, если .
Следовательно,
наши углы NAF и EAM = 0, и точка Е находится на линии АМ, а точка F находится
на линии AN и .
Угол
больше развернутого этот способ не делит на три равновеликие части. Значит, его
надо разделить пополам, любую из половинок разделить на три части и взять 2/3.
Это и будет 1/3 делимого угла.