Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения
Министерство
образования Российской Федерации
Государственное
образовательное учреждение
высшего
профессионального образования
«Самарский
государственный университет»
механико-математический
факультет
кафедра дифференциальных уравнений
и теории управления
специальность прикладная математика
Существование решения
дифференциального уравнения и последовательные приближения
Курсовая
работа
Выполнил студент
2 курса 1222 группы
Труфанов Александр Николаевич
Научный руководитель
Долгова Ольга Андреевна
__________
работа защищена
«___»___________200_г.
Оценка _______________
зав. Кафедрой профессор д.ф.-м.н.
Соболев В.А.
Самара
2004
Теорема существования
и единственности решения уравнения
Пусть дано уравнение
с начальным условием
Пусть в замкнутой области R функции и непрерывны). Тогда на некотором отрезке существует единственное
решение, удовлетворяющее начальному условию .
Последовательные приближения определяются
формулами:
k =
1,2....
Задание №9
Перейти от уравнения
к системе нормального вида и при начальных условиях
, ,
построить два последовательных приближения к решению.
Произведем замену переменных
;
и перейдем к системе нормального вида:
Построим последовательные приближения
Задание №10
Построить три последовательных приближения к решению задачи
,
Построим последовательные приближения
Задание №11
а) Задачу
,
свести к интегральному уравнению и построить последовательные
приближения
б) Указать какой-либо отрезок, на котором сходятся последовательные
приближения, и доказать их равномерную сходимость.
Сведем данное уравнение к интегральному :
Докажем равномерную сходимость последовательных приближений
С помощью метода последовательных приближений мы можем построить
последовательность
непрерывных функций, определенных на некотором отрезке , который содержит внутри
себя точку .
Каждая функция последовательности определяется через предыдущую при помощи
равенства
i =
0, 1, 2 …
Если график функции проходит в области Г, то функция определена этим
равенством, но для того, чтобы могла быть определена следующая функция , нужно, чтобы и график
функции проходил
в области Г. Этого удается достичь, выбрав отрезок достаточно коротким. Далее, за счет
уменьшения длины отрезка ,
можно достичь того, чтобы для последовательности выполнялись неравенства:
, i
= 1, 2, …,
где 0 < k <
1. Из этих неравенств вытекает следующее:
Рассмотрим нашу
функцию на достаточно малом отрезке, содержащим , например, на . На этом промежутке все последовательные
приближения являются непрерывными функциями. Очевидно, что т.к. каждое
приближение представляет из себя функцию от бесконечно малого более высокого
порядка, чем предыдущее приближение, то выполняются и описанные выше
неравенства. Из этих неравенств следует:
что и является условием равномерной
сходимости последовательных приближений.
С другой стороны, на нашем отрезке
выполняется ,
что также совершенно очевидно. А так как последовательность сходится, то последовательность
приближений является равномерно сходящийся на этом отрезке.
Список использованной литературы
1.
Л.С. Понтрягин.
«Обыкновенные дифференциальные уравнения», М.: Государственное издательство
физико-математической литературы, 1961
2.
А.Ф. Филиппов «Сборник
задач по дифференциальным уравнениям», М.: Интеграл-Пресс, 1998
3.
О.П. Филатов «Лекции по
обыкновенным дифференциальным уравнениям»,Самара: Издательство «Самарский
университет», 1999
4.
А.Н. Тихонов, А.Б.
Васильева «Дифференциальные уравнения», М.: Наука. Физматлит, 1998